【数学】2018届一轮复习人教A版第九章平面解析几何专题探究课五高考中解析几何问题的热点题型学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第九章平面解析几何专题探究课五高考中解析几何问题的热点题型学案

专题探究课五 高考中解析几何问题的热点题型 高考导航　圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主.这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现.‎ 热点一　圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型.‎ ‎【例1】 (1)(2015·天津卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1 ‎ C.－y2＝1 D.x2－＝1‎ ‎(2)若点M(2，1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值为________.‎ ‎(3)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与抛物线y2＝2px(p＞0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若直线PQ经过焦点F，则椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为________.‎ 解析　(1)双曲线－＝1的一个焦点为F(2，0)，‎ 则a2＋b2＝4，①‎ 双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ 由题意得＝，②‎ 联立①②解得b＝，a＝1，‎ 所求双曲线的方程为x2－＝1，选D.‎ ‎(2)设点B为椭圆的左焦点，点M(2，1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝‎2a，所以|AM|＋|AC|≥‎2a－|BM|，而a＝4，|BM|＝＝，所以(|AM|＋|AC|)最小＝8－.‎ ‎(3)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.如图所示，将x＝代入抛物线方程得y＝±p，又因为PQ经过焦点F，所以P且PF⊥OF.‎ 所以|PE|＝＝p，‎ ‎|PF|＝p，|EF|＝p.‎ 故‎2a＝p＋p，‎2c＝p，e＝＝－1.‎ 答案　(1)D　(2)8－　(3)－1‎ 探究提高　(1)在椭圆和双曲线中，椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦点的距离联系在一起，可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，也可以结合三角形的知识，求出曲线上的点到两个焦点的距离.在抛物线中，利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题.‎ ‎(2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各个系数之间的关系，或者求出圆锥曲线方程中的各个系数，再根据圆锥曲线的几何性质通过代数方法进行计算得出结果.‎ ‎【训练1】 (2017·衡水金卷)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，以下结论：①△ABF2的周长为8；②原点到l的距离为1；③|AB|＝.其中正确结论的个数为(　　)‎ A.3 B‎.2 ‎ C.1 D.0‎ 解析　①由椭圆的定义，得|AF1|＋|AF2|＝4，|BF1|＋|BF2|＝4，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，故①正确；②由条件，得F1(－，0)，因为过F1且倾斜角为45°的直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y＝x＋，则原点到l的距离d＝＝1，故②正确；③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以|AB|＝·|x1－x2|＝，故③正确.故选A.‎ 答案　A 热点二　圆锥曲线中的定点、定值问题(规范解答)‎ 定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.‎ ‎【例2】 (满分12分)(2015·全国Ⅱ卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，)在C上.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.‎ 满分解答　(1)解　由题意有＝，＋＝1，‎ ‎2分 解得a2＝8，b2＝4.4分 所以C的方程为＋＝1.5分 ‎(2)证明　设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，‎ A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).‎ 将y＝kx＋b代入＋＝1得 ‎(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.7分 故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.‎ ‎10分 于是直线OM的斜率kOM＝＝－，‎ 即kOM·k＝－.‎ 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.‎ ‎12分 ‎　‎ ‎❶列出方程组，解出a2，b2得4分.‎ ‎❷设出直线l的方程后与椭圆方程联立消去y得到关于x的方程准确者得4分.‎ ‎❸求出点M的坐标得1分，再得到直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值得2分.‎ ‎❹结论得1分.‎ ‎ 解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤 第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值.‎ 第二步：探究一般情况.探究一般情形下的目标结论.‎ 第三步：下结论，综合上面两种情况定结论.‎ ‎【训练2】 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C 上异于O的两点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点.‎ ‎(1)解　因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，所以p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)证明　①当直线AB的斜率不存在时，设A，B.因为直线OA，OB的斜率之积为－，‎ 所以·＝－，化简得t2＝32.‎ 所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.‎ ‎②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立得化简得ky2－4y＋4b＝0.‎ 根据根与系数的关系得yAyB＝，因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，即xAxB＋2yAyB＝0.即·＋2yAyB＝0，解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.‎ 所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，‎ 即y＝k(x－8).‎ 综上所述，直线AB过定点(8，0).‎ 热点三　圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.‎ ‎【例3】 (2016·山东卷)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.‎ ‎①求证：点M在定直线上；‎ ‎②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.‎ 解　(1)由题意知＝，可得a2＝4b2，‎ 因为抛物线E的焦点F，所以b＝，a＝1，‎ 所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.‎ ‎(2)①证明　设P(m>0)，由x2＝2y，可得y′＝x，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为y－＝m(x－m).‎ 即y＝mx－.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0).‎ 联立方程 得(‎4m2‎＋1)x2－‎4m3‎x＋m4－1＝0.‎ 由Δ>0，得0

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