山东省烟台市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析

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烟台市2019-2020学年度第二学期期末学业水平诊断 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ ‎1. 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图形可得阴影部分表示的集合为，求出即可.‎ ‎【详解】根据图形可得阴影部分表示的集合为,‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查根据图形判断集合运算，属于基础题.‎ ‎2. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断出，，的范围即可.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以 - 20 -‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查的是指对数式的大小比较，较简单.‎ ‎3. 函数的定义域为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求使函数有意义的取值范围，即解可得解.‎ ‎【详解】要使函数有意义，只需 得，即或 所以函数定义域为，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域的求法，属于基础题.‎ ‎4. 已知函数为偶函数，则在处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数是偶函数可得，可求出，求出函数在处的导数值即为切线斜率，即可求出切线方程.‎ ‎【详解】函数为偶函数，‎ - 20 -‎ ‎，即，解得，‎ ‎，则，‎ ‎，且，‎ 切线方程为，整理得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查利用导数求切线方程，属于基础题.‎ ‎5. 根据我国《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，车辆驾驶人员100mL血液中酒精含量在（单位：mg）即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，为避免酒后驾车，他至少经过小时才能开车，则的最小整数值为（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数列不等式，解不等式即得结果.‎ ‎【详解】由题意得 故选：C ‎【点睛】本题考查指数函数实际应用、解指数不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎6. 若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为（ ）‎ A. 或 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可知在其定义域上不单调等价于有两个解，利用即可求解.‎ - 20 -‎ ‎【详解】可得，‎ 在其定义域上不单调等价于方程有两个解，‎ ‎，解得或.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.‎ ‎7. 函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据函数奇偶性的概念可判断出函数为奇函数，于是排除选项和；再对比选项和，只需计算时的函数值，并与0比较大小即可作出选择．‎ ‎【详解】解：因为，所以为奇函数，排除选项和；‎ 又因为，所以排除选项，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ - 20 -‎ 本题考查函数的图象与性质，一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．‎ ‎8. 已知函数，若，则的取值范围为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得为奇函数且在上为增函数，据此可得原不等式等价于，则有，解可得的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，，其定义域为，‎ 有，函数为奇函数，‎ 又由，则在上为增函数，‎ ‎，‎ 即的取值范围为；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数奇偶性与单调性的判断，属于中档题．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9. 下列四个命题中，为假命题的是（ ）‎ A. ，‎ B. “，”的否定是“，”‎ C. “函数在内”是“在内单调递增”的充要条件 D. 已知在处存在导数，则“”是“是函数的极值点”‎ - 20 -‎ 的必要不充分条件 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据各命题对应的知识逐个判断即可解出．对于，利用导数判断其单调性，再根据零点存在性定理即可判断；对于，由全称命题的否定是特称命题即可判断；对于，根据函数的单调性与导数的关系即可判断；对于，根据极值存在的条件即可判断；‎ ‎【详解】解：对于，设，，因为，所以在上单调递增，而，（1），（1），‎ 即，使得，即，正确；‎ 对于，“，”的否定是“，” 不正确；‎ 对于，“函数在内”是“在内单调递增”的充分条件，不正确；‎ 对于，因为在处存在导数，根据极值点的定义可知，“是函数的极值点”可以推出“”，但是“”不一定可以推出“是函数的极值点”，‎ 比如函数在处有，但是不是函数的极值点，正确．‎ 故选：BC．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数零点分布判断，全称命题的否定，以及导数与函数单调性，极值的关系应用，属于中档题．‎ ‎10. 已知函数，则（ ）‎ A. 对于任意实数，在上均单调递减 B. 存在实数，使函数为奇函数 C. 对任意实数，函数在上函数值均大于0‎ D. 存在实数，使得关于的不等式的解集为 ‎【答案】ABD - 20 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据各选项条件，逐一判断即可解出．对于，判断函数的导数在上的符号即可；‎ 对于，根据奇函数的定义即可求出是否存在这样的实数；对于，赋值即可判断；‎ 对于，根据方程的根与不等式的解集端点的关系即可判断．‎ ‎【详解】解：对于，当，，所以，‎ 对于任意实数，在上均单调递减，正确；‎ 对于，函数定义域为，，，定义域关于原点对称，由可得，‎ ‎，变形可得，，解得，‎ 即存在实数，使函数为奇函数，正确；‎ 对于，取，（1），不正确；‎ 对于，当时，不等式的解集为，正确．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查通过函数的解析式研究函数的性质，以及导数的应用，属于中档题．‎ ‎11. 为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量（单位：mg）随时间（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），则（ ）‎ A. 当时，‎ B. 当时，‎ C. 小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下 - 20 -‎ D. 小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下 ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用待定系数法求出函数解析式，并根据函数解析式计算药含量变化情况．‎ ‎【详解】解：当时，设，则，故，即，故正确；‎ 当时，把代入可得：，，即，故错误；‎ 令，即，，解得，故错误，正确．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的意义，函数解析式及不等式解法，属于基础题．‎ ‎12. 已知函数，下述结论正确的是（ ）‎ A. 存在唯一极值点，且 B. 存在实数，使得 C. 方程有且仅有两个实数根，且两根互为倒数 D. 当时，函数与的图象有两个交点 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行求导可得，利用导数研究函数的单调性和极值，逐个判断即可得解.‎ ‎【详解】对进行求导可得：‎ ‎，显然为减函数，‎ ‎，‎ - 20 -‎ 故存在，使得，‎ 并且，，为增函数，‎ ‎ ， ，为减函数，‎ 故为极大值点，所以A正确；‎ 所以，‎ 可得：，‎ 因为，所以，故B错误，‎ 若是的一解，即，‎ 则，‎ 故和都是的解，故C正确，‎ 由，可得，‎ 令，‎ ‎，‎ 令 ，‎ 因为，所以，‎ 故为减函数，‎ 而，‎ 所以当，，即，为增函数 ‎，，即，为减函数，‎ 所以，‎ - 20 -‎ 故当，有两个解，故D正确.‎ 故选：ACD.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了方程双根问题，同时考查了虚设零点问题以及二次求导问题，是导数作为选择题压轴题的典型题型，对思路要求和计算能力要求非常高，属于难题.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 设集合，，若，则实数的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出数轴图，分析即可得到答案.‎ ‎【详解】画出数轴图，要使，满足即可.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据集合间的基本关系求参数，属于基础题.‎ ‎14. 高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，当时，函数的值域为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据高斯函数定义分类讨论求函数值．‎ ‎【详解】，则，‎ - 20 -‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴值域为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查新定义函数，解题关键是理解新函数，利用新函数定义分类讨论求解．‎ ‎15. 设满足，满足，则________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 令得到，利用函数在上单调递增，可得，即，故可求得答案．‎ ‎【详解】解：因为满足，即有，‎ 令，则，则可化为，即，‎ 由题知满足，即有，‎ 因为函数在上单调递增，‎ 所以此函数只有一个零点，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及换元思想，转化思想，属于中档题．‎ - 20 -‎ ‎16. 已知，函数，当时，不等式的解集是________；若函数恰有2个零点，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】 (1). (2). 或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分情况解不等式组求出的范围；（2）对的取值范围进行讨论，得出的零点个数，得出答案．‎ ‎【详解】解：（1）时，由可得：或，解得或，‎ 的解集是．‎ ‎（2）令可得或，令可得．‎ ‎①若，则在，上无零点，在上有两个零点0，1，符合题意；‎ ‎②若，则在，上有1个零点，在上有两个零点0，1，不符合题意；‎ ‎③若，则在，上有1个零点，在上有1个零点1，符合题意；‎ ‎④，则在，上有1个零点，在上无零点，不符合题意；‎ 综上，或．‎ 故答案为：，或．‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点个数判断，考查分类讨论思想，属于中档题．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. 已知集合，．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）设：，：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，分别求出集合，集合，然后求并集即可；‎ ‎（2）先表示出集合，集合，根据题意判断出集合是集合的真子集，即可求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】（1）若，由，解得，所以，‎ 当时，，所以，‎ 所以．‎ ‎（2）由，可得，所以集合，由（1）知，因为是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，‎ 所以，解得，所以实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，以及对充分条件，必要条件的理解，属于中档题．‎ ‎18. 已知函数．‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若函数有3个零点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）极大值，极小值；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，令导数值为0，求出，列表分析函数的单调性，即可判断极值点并求出极值；‎ ‎（2）根据（1）中得到的变化情况列出不等式即可计算.‎ ‎【详解】（1），‎ 令，解得或，‎ 则有：‎ - 20 -‎ ‎0‎ ‎0‎ 单增 极大值 单减 极小值 单增 所以，当时，取得极大值，‎ 当时，取得极小值；‎ ‎（2）要使函数有3个零点，‎ 只需，解得．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，以及已知函数零点个数求参数范围，属于中档题.‎ ‎19. 已知是定义域为的奇函数，当时，．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据奇函数的性质即可求出解析式；‎ ‎（2）根据函数的奇偶性和单调性将不等式化为有解，即可求解.‎ ‎【详解】（1）当，，又因为是奇函数，‎ 所以，‎ - 20 -‎ 所以;‎ ‎（2）当时，，所以在上是增函数．‎ 又是为的奇函数，所以在上是增函数．‎ 于是,‎ 等价于，‎ 即．‎ 于是原问题可化为，存在，使得有解．‎ 只需或，‎ 由得或，‎ 由得或，‎ 故或．‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.‎ ‎20. 已知函数．‎ ‎（1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，证明：．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，由在上恒成立，用分离参数法转化为求函数的最小值，可得结论；‎ ‎（2）求出，利用（1）中结论得存在唯一解，也是的最小值点，计算并转化为的函数，然后求得这个新函数的单调性，证明结论成立．‎ ‎【详解】（1）由题意，在上恒成立．‎ - 20 -‎ 即在上恒成立．‎ 令，则，‎ 所以在上单调递增．‎ 于是，所以．‎ ‎（2）当时，‎ 由（1）知，函数在单增，且．‎ 因此，存在唯一的满足，‎ 且当时，，即；‎ 当时，，即．‎ 因此为在上的极小值，也是最小值．‎ 下证：．‎ 因为，所以，，‎ 于是 ‎，不等式得证．‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查函数不等式的证明，证明函数不等式关键是问题的转化，由导数得出函数的最小值，这个最小值含有参数，因此利用极值点的定义把转化为关于的函数，再由函数的知识证明结论．考查了转化与化归思想．‎ ‎21. 某科技公司2019年实现利润8千万元，为提高产品竞争力，公司决定在2020年增加科研投入．假设2020年利润增加值（千万元）与科研经费投入（千万元）之间的关系满足：①‎ - 20 -‎ 与成正比，其中为常数，且；②当时，；③2020年科研经费投入不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%．‎ ‎（1）求关于的函数表达式；‎ ‎（2）求2020年利润增加值的最大值以及相应的的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）答案见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知函数模型求出函数表达式；‎ ‎（2）利用导数研究函数的单调性，得最大值．注意分类讨论．‎ ‎【详解】（1）设，‎ 当时，，可得，‎ 所以，‎ 因为不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%；‎ 所以定义域为， ‎ 所以关于的函数表达式为，．‎ ‎（2）令，，．‎ 则．‎ 当时，恒成立，在上单调递增，‎ 此时，．‎ 当时，，‎ 在单调递减，在单调递增，‎ 此时，．‎ - 20 -‎ 又，，‎ 所以，‎ 当时，，，．‎ 当时，，，．‎ 综上：当时，科研经费投入6千万元，利润增加值的最大值为千万元；‎ 当时，科研经费投入2千万元，利润增加值的最大值为千万元．‎ ‎【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用，利用已知函数模型求出函数表达式，然后用导数求得函数的最值是解此类问题的基本方法．‎ ‎22. 已知函数，．‎ ‎（1）讨论函数极值点的个数；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，，证明：．‎ ‎【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，研究在上解个数，由的正负确定的单调性，确定极值点个数；‎ ‎（2）由（1）知，当时，函数有两个极值点，，且，．计算并转化为关于的函数，然后求出函数的单调性证明结论成立．‎ 详解】解：（1），．‎ 当时，，‎ 在单调递增，没有极值点；‎ - 20 -‎ 当时，令，时，或，‎ 设当时，方程的两根为，，且．‎ 若，则，注意到，，‎ 知的两根，满足．‎ 当，，，单增；‎ 当，，，单减，‎ 所以只有一个极值点；‎ 若，则，，‎ 即恒成立，‎ 在单调递增，所以没有极值点；‎ 若，则，注意到，，‎ 知的两根，满足．‎ 当，，，单增；‎ 当，，，单减；‎ 当，，，单增；‎ 所以有两个极值点．‎ 综上：当时，有一个极值点；‎ 当时，没有极值点；‎ 当时，有两个极值点．‎ ‎（2）由（1）知，当时，函数有两个极值点，，‎ 且，．‎ 所以 - 20 -‎ ‎，，‎ 令，．‎ 则，‎ 所以在单调递减，‎ 所以，所以．‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究函数的极值问题，证明有关极值点的不等式，证明有关极值点不等式的关键是问题的转化，利用极值点与题中参数关系，把问题转化为关于参数的函数，转化为确定函数的单调性．‎ - 20 -‎