高中数学人教a必修5学业分层测评15等比数列前n项和的性质及应用word版含解析

高中数学人教a必修5学业分层测评15等比数列前n项和的性质及应用word版含解析

学业分层测评（十五） (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．已知 an＝(－1)n，数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S9 与 S10 的值分别是( ) A．1,1 B．－1，－1 C．1,0 D．－1,0 【解析】 S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1. S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0. 【答案】 D 2．已知等比数列的公比为 2，且前 5 项和为 1，那么前 10 项和等于( ) A．31 B．33 C．35 D．37 【解析】 根据等比数列性质得S10－S5 S5 ＝q5， ∴S10－1 1 ＝25，∴S10＝33. 【答案】 B 3．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 4a1,2a2，a3 成等差数列．若 a1＝1，则 S4 等于( ) A．7 B．8 C．15 D．16 【解析】 设{an}的公比为 q， ∵4a1,2a2，a3 成等差数列， ∴4a2＝4a1＋a3，即 4a1q＝4a1＋a1q2， 即 q2－4q＋4＝0， ∴q＝2， 又 a1＝1， ∴S4＝1－24 1－2 ＝15，故选 C. 【答案】 C 4．在等比数列{an}中，如果 a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么 a7＋a8＝( ) A．135 B．100 C．95 D．80 【解析】 由等比数列的性质知 a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8 成等比数列， 其首项为 40，公比为60 40 ＝3 2. ∴a7＋a8＝40× 3 2 3＝135. 【答案】 A 5．数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且 a30＋b30＝60，则{an＋ bn}的前 30 项的和为( ) A．1 000 B．1 020 C．1 040 D．1 080 【解析】 {an＋bn}的前 30 项的和 S30＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(a30＋b30) ＝(a1＋a2＋a3＋…＋a30)＋(b1＋b2＋b3＋…＋b30)＝30a1＋a30 2 ＋30b1＋b30 2 ＝ 15(a1＋a30＋b1＋b30)＝1 080. 【答案】 D 二、填空题 6．等比数列{an}共有 2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的 3 倍，则公 比 q＝________. 【解析】 设{an}的公比为 q，则奇数项也构成等比数列，其公比为 q2，首 项为 a1， S2n＝a11－q2n 1－q ， S 奇＝a1[1－q2n] 1－q2 . 由题意得a11－q2n 1－q ＝3a11－q2n 1－q2 . ∴1＋q＝3，∴q＝2. 【答案】 2 7．数列 11,103,1 005,10 007，…的前 n 项和 Sn＝________. 【解析】 数列的通项公式 an＝10n＋(2n－1)． 所以 Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋ 3＋…＋(2n－1)]＝101－10n 1－10 ＋n1＋2n－1 2 ＝10 9 (10n－1)＋n2. 【答案】 10 9 (10n－1)＋n2 8．如果 lg x＋lg x2＋…＋lg x10＝110，那么 lg x＋lg2x＋…＋lg10x＝________. 【解析】 由已知(1＋2＋…＋10)lg x＝110， ∴55lg x＝110.∴lg x＝2. ∴lg x＋lg2x＋…＋lg10x＝2＋22＋…＋210＝211－2＝2 046. 【答案】 2 046 三、解答题 9．在等比数列{an}中，已知 S30＝13S10，S10＋S30＝140，求 S20 的值. 【导学 号：05920073】 【解】 ∵S30≠3S10，∴q≠1. 由 S30＝13S10， S10＋S30＝140， 得 S10＝10， S30＝130. ∴ a11－q10 1－q ＝10， a11－q30 1－q ＝130. ∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3， ∴S20＝a11－q20 1－q ＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40. 10．已知{an}是首项为 1 的等比数列，Sn 是{an}的前 n 项和，且 9S3＝S6，求 数列 1 an 的前 5 项和． 【解】 若 q＝1，则由 9S3＝S6 得 9×3a1＝6a1，则 a1＝0，不满足题意，故 q≠1. 由 9S3＝S6 得 9×a11－q3 1－q ＝a11－q6 1－q ，解得 q＝2.故 an＝a1qn－1＝2n－1，1 an ＝ 1 2 n －1. 所以数列 1 an 是以 1 为首项，1 2 为公比的等比数列，其前 5 项和为 S5＝ 1× 1－ 1 2 5 1－1 2 ＝31 16. [能力提升] 1．(2015·广州六月月考)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10∶S5＝1∶2， 则 S15∶S5＝( ) A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3 【解析】 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为 S10∶S5＝1∶2，所以 S5＝2S10，S15＝3 4S5，得 S15∶S5＝3∶4，故选 A. 【答案】 A 2．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，称 Tn＝S1＋S2＋…＋Sn n 为数列 a1，a2，a3，…， an 的“理想数”，已知数列 a1，a2，a3，a4，a5 的理想数为 2 014，则数列 2，a1， a2，…，a5 的“理想数”为( ) A．1 673 B．1 675 C.5 035 3 D.5 041 3 【 解析 】 因 为 数 列 a1 ， a2 ， … ， a5 的 “ 理 想 数 ” 为 2 014 ， 所 以 S1＋S2＋S3＋S4＋S5 5 ＝2 014，即 S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2 014，所以数列 2，a1， a2，…，a5 的“理想数”为2＋2＋S1＋2＋S2＋…＋2＋S5 6 ＝6×2＋5×2 014 6 ＝ 5 041 3 . 【答案】 D 3．已知首项为3 2 的等比数列{an}不是递减数列，其前 n 项和为 Sn(n∈N*)，且 S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4 成等差数列，则 an＝________. 【解析】 设等比数列{an}的公比为 q，由 S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4 成等差数 列，所以 S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即 4a5＝a3，于是 q2＝a5 a3 ＝1 4. 又{an}不是递减数列且 a1＝3 2 ，所以 q＝－1 2. 故等比数列{an}的通项公式为 an＝3 2 ×－1 2 n－1 ＝(－1)n－1× 3 2n. 【答案】 (－1)n－1× 3 2n 4．(2015·重庆高考)已知等差数列{an}满足 a3＝2，前 3 项和 S3＝9 2. (1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足 b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前 n 项和 Tn. 【解】 (1)设{an}的公差为 d，则由已知条件得 a1＋2d＝2,3a1＋3×2 2 d＝9 2 ， 化简得 a1＋2d＝2，a1＋d＝3 2 ， 解得 a1＝1，d＝1 2 ， 故{an}的通项公式 an＝1＋n－1 2 ，即 an＝n＋1 2 . (2)由(1)得 b1＝1，b4＝a15＝15＋1 2 ＝8. 设{bn}的公比为 q，则 q3＝b4 b1 ＝8，从而 q＝2， 故{bn}的前 n 项和 Tn＝b11－qn 1－q ＝1×1－2n 1－2 ＝2n－1.