【数学】2020届一轮复习人教A版极坐标与参数方程学案

【数学】2020届一轮复习人教A版极坐标与参数方程学案

‎2020届一轮复习人教A版 极坐标与参数方程 学案 ‎【考纲要求】‎ ‎1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．‎ ‎2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．‎ ‎4.了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．‎ ‎【命题规律】‎ ‎ 极坐标与参数方程近几年是在第22题解答题中考查，主要是极坐标方程、参数方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系的判断以及距离的最值问题.难度中等.‎ ‎【典型高考试题变式】‎ ‎（一）参数方程与极坐标方程的综合运用 例1.【2017新课标3】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）写出C的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.‎ ‎【分析】（1）由题意得直线l1，l2的普通方程，然后消去参数即可得到曲线的普通方程；‎ ‎（2）联立两个极坐标方程可得，代入极坐标方程进行计算可得极径为.‎ ‎【解析】（1）消去参数得的普通方程；‎ 消去参数m得l2的普通方程.‎ 设,由题设得，消去k得.‎ 所以C的普通方程为.‎ ‎【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.‎ ‎【变式1】【2018衡水联考】在平面直角坐标系中，已知曲线： （为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点，且与直线平行的直线交曲线于， 两点，求点到， 两点的距离之积．‎ ‎【解析】（1）由题知，曲线化为普通方程为，由，得，所以直线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）由题知，直线的参数方程为（为参数），‎ 代入曲线：中，化简，得，‎ 设， 两点所对应的参数分别为， ，则，所以．‎ ‎ 【变式2】【2018山西两校联考】在平面直角坐标系中，曲线 (为参数)，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）分别求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若分别为曲线上的动点，求的最大值.‎ ‎【解析】（1）因为曲线参数方程为，所以，‎ 因为,所以的普通方程为.‎ 因为曲线的极坐标方程为，即，‎ 故曲线的直角坐标方程为，即.‎ ‎（二）参数方程的运用 例2.【2017年新课标1】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.‎ ‎（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ ‎【分析】（1）先将曲线和直线l的参数方程化成普通方程，然后联立两方程即可求出交点坐标；（2）由直线的普通方程为，设上的点为，易求得该点到的距离为.对a再进行讨论，即当和时，求出a的值.‎ ‎【解析】（1）曲线的普通方程为.‎ 当时，直线的普通方程为.‎ 由解得或 从而与的交点坐标为，.‎ ‎【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.‎ ‎【变式1】已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎（1）求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎【解析】（1）消去参数t可得直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，‎ 消去参数θ可得圆C的普通方程为x2＋y2＝16．‎ ‎（2）因为直线l与圆C有公共点，‎ 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，解得－2≤a≤2．‎ ‎【变式2】【2017云南省、四川省、贵州省联考】在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），直线.‎ ‎（1）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值；‎ ‎（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积.‎ ‎【解析】（1）设点，则点到直线的距离为 ‎，‎ 所以当时，，此时.‎ ‎【数学思想】‎ ①数形结合思想.‎ ②分类讨论思想．‎ ③转化与化归思想.‎ ‎【温馨提示】‎ ①在参数方程、极坐标方程与平面直角坐标方程互化的过程中，要注意等价性，注意其中曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变，如果发生改变则它们所表示的曲线就不是同一曲线．‎ ②参数方程、极坐标方程是解析几何中曲线方程的另外两种表示形式，可以说是曲线的两种巧妙的表示形式，有时解决一些问题要借助参数的几何意义.‎ ‎【典例试题演练】‎ ‎1.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线的参数方程是（为参数），曲线的极坐标方程是．‎ ‎（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于，两点，点为的中点，点的极坐标为，求的值．‎ ‎【解析】（1）因为直线的参数方程是（为参数），消去参数得直线的普通方程为．‎ 由曲线的极坐标方程，得．‎ 所以曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）由得，‎ 设，，则的中点，‎ 因为，所以，‎ 又点的直角坐标为，‎ 所以．‎ ‎2.【2018黑龙江齐齐哈尔一模】在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与圆相交于两点，求.‎ ‎3.【2017广东湛江市调研】已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）若，直线与轴的交点为是圆上一动点，求的最大值；‎ ‎（2）若直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，求的值.‎ ‎【解析】（1）当时，圆的极坐标方程为，可化为，‎ 化为直角坐标方程为，即.‎ 直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为.‎ 因为圆心与点的距离为，‎ 所以的最大值为.‎ ‎（2）由可得，‎ 所以圆的普通方程为.‎ 因为直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，‎ 所以由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距离为圆半径的一半，‎ 所以.解得或.‎ ‎4.【2017河南省豫北名校联盟对抗赛】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）经过点（平面直角坐标系中点）作直线交曲线于两点，若恰好为线段的三等分点，求直线的斜率.‎ ‎【解析】（1）由曲线的参数方程，得所以曲线的普通方程为.‎ ‎（2）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数）.‎ 代入曲线的直角坐标方程，得，‎ 所以由题意可知.‎ 所以，即.解得.‎ 所以直线的斜率为.‎ ‎5.【2017河南省广东省佛山市检测】在极坐标系中，射线与圆交于点，椭圆的方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎（1）求点的直角坐标和椭圆的参数方程；‎ ‎（2）若为椭圆的下顶点，为椭圆上任意一点，求的取值范围.‎ ‎（2）设，又，所以，，‎ 于是，‎ 因为，所以，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎6.【2018广西柳州摸底联考】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (其中为参数）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）把曲线的方程化为普通方程， 的方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线， 相交于两点， 的中点为，过点做曲线的垂线交曲线于两点，求.‎ ‎【解析】（1）曲线的参数方程为（其中为参数），消去参数可得.‎ 曲线的极坐标方程为，展开为，‎ 化为..‎ ‎（2）设，且中点为，‎ 联立，解得，‎ 所以.所以.‎ 线段的中垂线的参数方程为（为参数），代入，可得，‎ 所以，所以.‎