【数学】2021届一轮复习人教版(文)第1章第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

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【数学】2021届一轮复习人教版(文)第1章第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ‎[最新考纲] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ ‎1.简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词.‎ ‎(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称量词和存在量词 ‎(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“∀”表示.‎ ‎(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示.‎ ‎3.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x,有p(x)成立 ‎∀x∈M,p(x)‎ ‎∃x0∈M,p(x0)‎ 特称命题 存在M中的一个x0,使p(x0)成立 ‎∃x0∈M,p(x0)‎ ‎∀x∈M,p(x)‎ ‎1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 ‎(1)p∨q:p,q中有一个为真,则p∨q为真,即有真为真.‎ ‎(2)p∧q:p,q中有一个为假,则p∧q为假,即有假即假.‎ ‎(3)p:与p的真假相反,即一真一假,真假相反.‎ ‎2.含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.‎ ‎3.命题的否定和否命题的区别:命题“若p,则q”的否定是“若p,则q”,否命题是“若p,则q”.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)命题“3≥2”是真命题. (  )‎ ‎(2)若命题p∧q为假命题,则命题p,q都是假命题. (  )‎ ‎(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.(  )‎ ‎(4)“全等的三角形面积相等”是全称命题. (  )‎ ‎[答案]  (1)√ (2)× (3)× (4)√‎ 二、教材改编 ‎1.命题“∀x∈R,x2+x≥0”的否定是(  )‎ A.∃x0∈R,x+x0≤0  B.∃x0∈R,x+x0<0‎ C.∀x∈R,x2+x≤0 D.∀x∈R,x2+x<0‎ B [由全称命题的否定是特称命题知选项B正确.故选B.]‎ ‎2.下列命题中的假命题是(  )‎ A.∃x0∈R,lg x0=1    B.∃x0∈R,sin x0=0‎ C.∀x∈R,x3>0 D.∀x∈R,2x>0‎ C [当x=10时,lg 10=1,则A为真命题;当x=0时,sin 0=0,则B为真命题;当x≤0时,x3≤0,则C为假命题;由指数函数的性质知,∀x∈R,2x>0,则D为真命题.故选C.]‎ ‎3.已知p:2是偶数,q:2是质数,则命题p,q,p∨q,p∧q中真命题的个数为(  )‎ A.1     B.2 ‎ C.3     D.4‎ B [p和q显然都是真命题,所以p,q都是假命题,p∨q,p∧q 都是真命题.]‎ ‎4.命题“实数的平方都是正数”的否定是________.‎ 存在一个实数的平方不是正数 [全称命题的否定是特称命题,故应填:存在一个实数的平方不是正数.]‎ 考点1 全称命题、特称命题 ‎(1)全称命题与特称命题的否定 ‎①改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写.‎ ‎②否定结论:对原命题的结论进行否定.‎ ‎(2)全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 ‎ 全称命题、特称命题的否定 ‎(1)(2019·西安模拟)命题“∀x>0,>0”的否定是(  )‎ A.∃x<0,≤0    B.∃x>0,0≤x≤1‎ C.∀x>0,≤0 D.∀x<0,0≤x≤1‎ ‎(2)已知命题p:∃m∈R,f(x)=2x-mx是增函数,则p为(  )‎ A.∃m∈R,f(x)=2x-mx是减函数 B.∀m∈R,f(x)=2x-mx是减函数 C.∃m∈R,f(x)=2x-mx不是增函数 D.∀m∈R,f(x)=2x-mx不是增函数 ‎(1)B (2)D [(1)因为>0,所以x<0或x>1,所以>0的否定是0≤x≤1,所以命题的否定是∃x>0,0≤x≤1,故选B.‎ ‎(2)由特称命题的否定可得p为“∀m∈R,f(x)=2x-mx不是增函数”.]‎ ‎ 全(特)称命题的否定方法:∀x∈M,p(x) ∃x0∈M,p(x0),简记:改量词,否结论.‎ ‎ 全称命题、特称命题的真假判断 ‎(1)下列命题中的假命题是(  )‎ A.∀x∈R,x2≥0‎ B.∀x∈R,2x-1>0‎ C.∃x0∈R,lg x0<1‎ D.∃x0∈R,sin x0+cos x0=2‎ ‎(2)下列四个命题:‎ 其中的真命题是(  )‎ A.p1,p3 B.p1,p4‎ C.p2,p3 D.p2,p4‎ ‎(1)D (2)D [(1)A显然正确;由指数函数的性质知2x-1>0恒成立,所以B正确;当0<x<10时,lg x<1,所以C正确;因为sin x+cos x=sin,所以-≤sin x+cos x≤,所以D错误.‎ ‎(2)对于p1,当x0∈(0,+∞)时,总有成立,故p1是假命题;对于p2,当x0=时,有1=log =log>log 成立,故p2是真命题;对于p3,结合指数函数与对数函数在(0,+∞)上的图象,可以判断p3‎ 是假命题;对于p4,结合指数函数与对数函数在上的图象可以判断p4是真命题.]‎ ‎ 因为命题p与p的真假性相反,因此不管是全称命题,还是特称命题,当其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.‎ ‎ 1.命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(  )‎ A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n C.∃x0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0‎ D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0‎ D [“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”,全称命题的否定为特称命题,故选D.]‎ ‎2.已知命题p:∃x0∈,使得cos x0≤x0,则p为________,是________命题.(填“真”或“假”)‎ ‎∀x∈,都有cos x>x 假 [p:∀x∈,都有cos x>x,此命题是假命题.]‎ 考点2 含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎ 判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤 ‎(1)判断复合命题的结构;‎ ‎(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假;‎ ‎(3)依据“‘或’:一真即真;‘且’:一假即假;‘非’:真假相反”作出判断即可.‎ ‎ [一题多解](2019·全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9;命题q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题 ‎①p∨q ②p∨q ③p∧q ④p∧ q 这四个命题中,所有真命题的编号是(  )‎ A.①③ B.①②‎ C.②③ D.③④‎ A [法一:画出可行域如图中阴影部分所示.目标函数z=2x+y是一条平行移动的直线,且z的几何意义是直线z=2x+y的纵截距.显然,直线过点A(2,4)时,zmin=2×2+4=8,即z=2x+y≥8.∴2x+y∈[8,+∞).由此得命题p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9正确;‎ 命题q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12不正确.∴①③真,②④假.故选A.‎ 法二:取x=4,y=5,满足不等式组且满足2x+y≥9,不满足2x+y≤12,故p真,q假.‎ ‎∴①③真,②④假.故选A.]‎ ‎ 含逻辑联结词命题真假的等价关系 ‎(1)p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(p)∧(q)假;‎ ‎(2)p∨q假⇔p,q均假⇔(p)∧(q)真;‎ ‎(3)p∧q真⇔p,q均真⇔(p)∨(q)假;‎ ‎(4)p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(p)∨(q)真;‎ ‎(5)p真⇔p假;p假⇔p真.‎ ‎ 1.(2019·石家庄模拟)命题p:若sin x>sin y,则x>y;命题q:x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是(  )‎ A.p∨q B.p∧q C.q D.p B [取x=,y=,可知命题p不正确;由(x-y)2≥0恒成立,可知命题q正确,故p为真命题,p∨q是真命题,p∧q是假命题.]‎ ‎2.给定下列命题:‎ p1:函数y=ax+x(a>0,且a≠1)在R上为增函数;‎ p2:∃a,b∈R,a2-ab+b2<0;‎ p3:cos α=cos β成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β(k∈Z).‎ 则下列命题中的真命题为(  )‎ A.p1∨p2 B.p2∧p3‎ C.p1∨(p3) D.(p2)∧p3‎ D [对于p1:令y=f(x),当a=时,f(0)=+0=1,f(-1)=-1=1,所以p1为假命题;对于p2:a2-ab+b2=+b2≥0,所以p2为假命题;对于p3:由cos α=cos β,可得α=2kπ±β(k∈Z),所以p3是真命题,所以(p2)∧p3为真命题.]‎ 考点3 由命题的真假确定参数的取值范围 ‎ 根据命题真假求参数的方法步骤 ‎(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);‎ ‎(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;‎ ‎(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.‎ ‎ 已知p:存在x0∈R,mx+1≤0,q:任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假命题,求实数m的取值范围.‎ ‎[解] 依题意知p,q均为假命题,当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是真命题时,则有Δ=m2-4<0,-2<m<2.因此由p,q均为假命题得 即m≥2.‎ 所以实数m的取值范围为[2,+∞).‎ ‎[母题探究]‎ ‎1.(变问法)在本例条件下,若p∧q为真,求实数m的取值范围.‎ ‎[解] 依题意知p,q均为真命题,当p是真命题时,有m<0;‎ 当q是真命题时,有-2<m<2,‎ 由可得-2<m<0.‎ 所以实数m的取值范围为(-2,0).‎ ‎2.(变问法)在本例条件下,若p∧q为假,p∨q为真,求实数m的取值范围.‎ ‎[解] 若p∧q为假,p∨q为真,则p,q一真一假.‎ 当p真q假时 所以m≤-2;‎ 当p假q真时 所以0≤m<2.‎ 所以m的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2).‎ ‎ 根据命题的真假求参数取值范围的策略 ‎(1)全称命题可转化为恒成立问题,特称命题可转化为存在性问题.‎ ‎(2)含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,转化为函数的最值解决.‎ ‎ (2019·福建三校联考)若命题“∃x0∈R,使得3x+2ax0+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是________.‎ ‎[-,] [命题“∃x0∈R,使得3x+2ax0+1<0”是假命题,‎ 即“∀x∈R,3x2+2ax+1≥0”是真命题,‎ 故Δ=4a2-12≤0,‎ 解得-≤a≤.]‎
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