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文档介绍
【数学】2020届一轮复习(文)人教通用版5-3平面向量的数量积学案
§5.3 平面向量的数量积 最新考纲 考情考向分析 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题,考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的垂直关系.一般以选择题、填空题的形式考查,偶尔会在解答题中出现,属于中档题. 1.两个向量的夹角 (1)定义 已知两个非零向量a,b,作=a,=b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉. (2)范围 向量夹角〈a,b〉的范围是[0,π],且〈a,b〉=〈b,a〉. (3)向量垂直 如果〈a,b〉=,则a与b垂直,记作a⊥b. 2.向量在轴上的正射影 已知向量a和轴l(如图),作=a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影),该射影在轴l上的坐标,称作a在轴l上的 数量或在轴l的方向上的数量. =a在轴l上正射影的坐标记作al,向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ,则由三角函数中的余弦定义有al=|a|cos θ. 3.向量的数量积 (1)向量的数量积(内积)的定义 |a||b|cos〈a,b〉叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. (2)向量数量积的性质 ①如果e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos〈a,e〉; ②a⊥b⇔a·b=0; ③a·a=|a|2,|a|=; ④cos〈a,b〉= (|a||b|≠0); ⑤|a·b|≤|a||b|. (3)向量数量积的运算律 ①交换律:a·b=b·a. ②对λ∈R,λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb). ③分配律:(a+b)·c=a·c+b·c. (4)向量数量积的坐标运算与度量公式 设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 ①a·b=a1b1+a2b2; ②a⊥b⇔a1b1+a2b2=0; ③|a|=; ④cos〈a,b〉=. 概念方法微思考 1.a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影相同吗? 提示 不相同.因为a在b方向上的正投影为|a|cos θ,而b在a方向上的正投影为|b|cos θ,其中θ为a与b的夹角. 2.两个向量的数量积大于0,则夹角一定为锐角吗? 提示 不一定.当夹角为0°时,数量积也大于0. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的正投影为数量,而不是向量.( √ ) (2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ ) (3)由a·b=0可得a=0或b=0.( × ) (4)(a·b)c=a(b·c).( × ) (5)两个向量的夹角的范围是.( × ) (6)若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( × ) 题组二 教材改编 2.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=________. 答案 12 解析 ∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k), 由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0, ∴10+2-k=0,解得k=12. 3.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的正投影为________. 答案 -2 解析 由数量积的定义知,b在a方向上的正投影为 |b|cos θ=4×cos 120°=-2. 题组三 易错自纠 4.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________. 答案 2 解析 方法一 |a+2b|= = = ==2. 方法二 (数形结合法) 由|a|=|2b|=2知,以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB,如图,则|a+2b|=||. 又∠AOB=60°,所以|a+2b|=2. 5.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的正投影为________. 答案 解析 =(2,1),=(5,5), 由定义知,在方向上的正投影为 ==. 6.已知△ABC的三边长均为1,且=c,=a,=b,则a·b+b·c+a·c=________. 答案 - 解析 ∵〈a,b〉=〈b,c〉=〈a,c〉=120°,|a|=|b|=|c|=1, ∴a·b=b·c=a·c=1×1×cos 120°=-, ∴a·b+b·c+a·c=-. 题型一 平面向量数量积的基本运算 1.已知a=(x,1),b=(-2,4),若(a+b)⊥b,则x等于( ) A.8 B.10 C.11 D.12 答案 D 解析 ∵a=(x,1),b=(-2,4), ∴a+b=(x-2,5), 又(a+b)⊥b, ∴(x-2)×(-2)+20=0, ∴x=12. 2.(2018·全国Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.0 答案 B 解析 a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b. ∵|a|=1,a·b=-1,∴原式=2×12+1=3. 3.(2019·铁岭模拟)设D,E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点,且BC=2,则·等于( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 如图, ||=||=2,〈,〉=60°, ∵D,E是边BC的两个三等分点, ∴·=·=· =||2+·+||2=×4+×2×2×+×4=. 思维升华 平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解. 题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模 例1 (1)(2019·抚顺模拟)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=6,D是AB上一点,且·=-5,则||等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 如图所示, 设=k,所以=-=k-, 所以·=·(k-) =k2-· =25k-5×6× =25k-15=-5, 解得k=,所以||=||=3. (2)如果=2,=3,a·b=4,则的值是( ) A.24 B.2 C.-24 D.-2 答案 B 解析 由=2,=3,a·b=4, 得== ==2. 命题点2 求向量的夹角 例2 (1)(2018·通辽质检)设向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·(a-b)=3,则a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 由题意得a·(a-b)=a2-a·b =4-2×1×cos α=4-2cos α=3, ∴cos α=,∵0≤α≤π,∴α=. (2)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是________. 答案 解析 由题意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=0, |e1-e2|= = ==2. 同理|e1+λe2|=. 所以cos 60°= = ==, 解得λ=. 思维升华 (1)求解平面向量模的方法 ①利用公式|a|=. ②利用|a|=. (2)求平面向量的夹角的方法 ①定义法:cos θ=,θ的取值范围为[0,π]. ②坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos θ=. ③解三角形法:把两向量的夹角放到三角形中. 跟踪训练1 (1)(2019·锦州模拟)已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=1,|2a-b|=1,则|b|=________. 答案 解析 ∵|2a-b|=1, ∴|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=1, ∴4-4|b|cos 30°+b2=1, 整理得|b|2-2|b|+3=(|b|-)2=0, 解得|b|=. (2)已知|a|=1,|b|=,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 ∵a⊥(a-b), ∴a·(a-b)=a2-a·b=1-cos〈a,b〉=0, ∴cos〈a,b〉=,∴〈a,b〉=. 题型三 平面向量与三角函数 例3 已知向量a=,b=,且x∈. (1)求a·b及|a+b|; (2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值. 解 (1)a·b=cos cos -sin ·sin =cos 2x. ∵a+b=, ∴|a+b|= ==2|cos x|. ∵x∈, ∴cos x>0,∴|a+b|=2cos x. (2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1 =22-. ∵x∈,∴≤cos x≤1, ∴当cos x=时,f(x)取得最小值-; 当cos x=1时,f(x)取得最大值-1. 思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等. 跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值. 解 (1)因为m=,n=(sin x,cos x),m⊥n. 所以m·n=0,即sin x-cos x=0, 所以sin x=cos x,所以tan x=1. (2)因为|m|=|n|=1,所以m·n=cos =, 即sin x-cos x=, 所以sin=, 因为0查看更多