【数学】2019届一轮复习人教A版（文）11-4不等式的证明教案
证明不等式的基本方法
[必备知识]
考点1 比较法
比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．
名称
作差比较法
作商比较法
理论依据
a>b⇔a－b>0
a
0，>1⇒a>b
b<0，>1⇒a1，则x＋2y>x－y.( )
3.|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.( )
4.若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.( )
答案 1.× 2.× 3.√ 4.√
二、小题快练
1.[2017·温州模拟]若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
A.< B．a2>b2
C.> D．a|c|>b|c|
答案 C
解析 应用排除法．取a＝1，b＝－1，排除A；取a＝0，b＝－1，排除B；取c＝0，排除D.显然>0，对不等式a>b的两边同时乘以，立得>成立，故选C.
2.[课本改编]不等式：①x2＋3>3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③＋≥2，其中恒成立的是( )
A.①③ B．②③
C．①②③ D．①②
答案 D
解析 由①得x2＋3－3x＝2＋>0，所以x2＋3>3x；对于②，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成立；对于③，因为当ab<0时，＋－2＝<0，即＋<2，故选D.
3.[2017·南通模拟]若|a－c|<|b|，则下列不等式中正确的是( )
A.ac－b
C.|a|>|b|－|c| D．|a|<|b|＋|c|
答案 D
解析 |a|－|c|≤|a－c|<|b|，即|a|<|b|＋|c|，故选D.
4.已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
答案 9
解析 把a＋b＋c＝1代入＋＋，得
＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
考向 比较法证明不等式
例1 [2016·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
[解] (1)f(x)＝
当x≤－时，由f(x)<2，得－2x<2，
解得x>－1，即－1f(a)－f(－b)．
解 (1)当x≤－1时，原不等式可化为－x－1<－2x－2，解得x<－1；
当－11，
综上，M＝{x|x<－1或x>1}．
(2)证明：证法一：因为f(ab)＝|ab＋1|＝|(ab＋b)＋(1－b)|≥|ab＋b|－|1－b|＝|b||a＋1|－|1－b|.
因为a，b∈M，所以|b|>1，|a＋1|>0，
所以f(ab)>|a＋1|－|1－b|，
即f(ab)>f(a)－f(－b)．
证法二：因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|
≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，
所以要证f(ab)>f(a)－f(－b)，
只需证|ab＋1|>|a＋b|，即证|ab＋1|2>|a＋b|2，
即证a2b2＋2ab＋1>a2＋2ab＋b2，
即证a2b2－a2－b2＋1>0，即证(a2－1)(b2－1)>0.
因为a，b∈M，所以a2>1，b2>1，所以(a2－1)(b2－1)>0成立，所以原不等式成立.
考向 用综合法与分析法证明不等式
例2 [2015·全国卷Ⅱ]设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d
，证明：
(1)若ab>cd，则＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
[证明] (1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，
得(＋)2>(＋)2.所以＋>＋.
(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
由(1)得＋>＋.
②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，
即a＋b＋2>c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，
因此|a－b|<|c－d|.
综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件.
触类旁通
综合法与分析法的逻辑关系
用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提.
提醒 用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件.
【变式训练2】 柯西不等式是大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，柯西不等式是指：对任意实数ai，bi(i＝1,2，…，n)，有(a1b1＋a2b2＋…anbn)2≤(a＋a＋…a)(b＋b＋…b)，当且仅当ai
＝ bi(i＝1,2，…n)时，等号成立．
(1)证明当n＝2时的柯西不等式；
(2)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求的最小值．
解 (1)证明：当n＝2时，柯西不等式的二维形式为(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2.(a＋a)(b＋b)－(a1b1＋a2b2)2＝ab＋ab－2a1a2b1b2＝(a1b2－a2b1)2≥0，当且仅当a1b2＝a2b1时取得等号．
(2)由柯西不等式得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2，所以5(m2＋n2)≥52即m2＋n2≥5，所以的最小值为.
考向 反证法证明不等式
例3 [2015·湖南高考]设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
[证明] 由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0
查看更多
