【数学】2020届一轮复习人教B版立体几何中的建系设点问题学案

【数学】2020届一轮复习人教B版立体几何中的建系设点问题学案

微专题63 立体几何解答题的建系设点问题 ‎ 在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。‎ 一、基础知识：‎ ‎（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴 ‎1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点 ‎2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：‎ ‎（1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上 ‎（2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 ‎（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 ‎3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意。‎ ‎4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。‎ ‎5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。‎ ‎6、与垂直相关的定理与结论：‎ ‎（1）线面垂直：‎ ‎① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ‎② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ‎③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ‎④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 ‎（2）线线垂直（相交垂直）：‎ ‎① 正方形，矩形，直角梯形 ‎② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）‎ ‎③ 菱形的对角线相互垂直 ‎④ 勾股定理逆定理：若，则 ‎ ‎（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 ‎1、能够直接写出坐标的点 ‎（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下：‎ 轴： 轴： 轴： ‎ 规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0‎ ‎（2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：‎ 则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了 ‎ ‎ ‎2、空间中在底面投影为特殊位置的点：‎ ‎ 如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同）‎ ‎ 由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：‎ ‎3、需要计算的点 ‎① 中点坐标公式：，则中点，图中的等中点坐标均可计算 ‎② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而 ， ‎ 二、典型例题：‎ 例1：在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标 解：平面 ‎ ‎ 两两垂直 以为轴建立直角坐标系 坐标轴上的点： ‎ 中点：中点 ‎ ‎ 中点 ‎ 中点 综上所述：‎ 小炼有话说：本讲中为了体现某些点坐标的来历，在例题的过程中进行详细书写。这些过程在解答题中可以省略。‎ 例2：在长方体中，分别是棱上的点，，，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标 思路：建系方式显而易见，长方体两两垂直，本题所给的是线段的比例，如果设等，则点的坐标都含有，不便于计算。对待此类问题可以通过设单位长度，从而使得坐标都为具体的数。‎ 解：因为长方体 两两垂直 以为轴如图建系，设为单位长度 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例3：如图，在等腰梯形中，，‎ ‎， 平面，且，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。‎ 思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面找过的相互垂直的直线即可。由题意，不是直角。所以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系 方案一：（选择为轴），连结 可知 在中 ‎ ‎ ‎ ‎ 由可解得 ‎ ‎ 平面 ‎ ‎ 以为坐标轴如图建系：‎ ‎ ‎ 方案二（以 为轴）‎ 过作的垂线 平面 ‎ ‎ 以为坐标轴如图建系：‎ ‎（同方案一）计算可得： ‎ ‎ ‎ 小炼有话说：建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即轴），对于轴的选取，如果没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴，本题中的两个方案就是选过垂足的直线为轴建立的坐标系。‎ 例4：已知四边形满足，是中点，将翻折成，使得平面平面，为中点 思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。本题在翻折时，是等边三角形，四边形为的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根据平面平面，结合是等边三角形，可取中点，则可证平面，再在四边形找一组过的垂线即可建系 解：取中点，连结 ‎ 是等边三角形 ‎ ‎ 平面平面 平面，连结 ‎ ‎ 四边形为的菱形 为等边三角形 ‎ ‎ 两两垂直 如图建系，设为单位长度 ‎ ‎ 为中点 ‎ 例5：如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，且平面，点为的三等分点（靠近），建立适当的直角坐标系并求各点坐标 思路：由平面，可得作为轴，在底面上可利用菱形对角线相互垂直的性质，选取作为轴。在所有点中只有的坐标相对麻烦，对于三等分点可得，从而转化为向量关系即可求出坐标 解：平面 ‎ ‎ 菱形 ‎ 两两垂直 以为坐标轴如图建系 可得： ‎ 设 由可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 小炼有话说：（1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质 ‎（2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来 例6：如图所示的多面体中，已知正方形与直角梯形所在的平面互相垂直，，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标 思路：题目已知面面垂直，从而可以找到与底面垂直，再由底面是正方形，可选为轴，图中点坐标相对麻烦，可以用投影法和向量法计算得到 解：平面平面 又因为直角梯形 ‎ 平面 ‎ 正方形 ‎ 两两垂直 以为轴建立直角坐标系 坐标轴上的点： ‎ 底面上的点： ‎ 点两种确定方式：‎ ‎① 可看其投影，落在中点处，且高度为1，所以 ‎② 设 ‎ ‎ ‎ 综上所述：‎ 例7：如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，，建立适当的坐标系并确定各点坐标 思路：平面，从而可作轴，只需在平面找到过的两条垂线即可建系（两种方案），对于坐标只有坐标相对麻烦，但由可以利用向量进行计算。‎ 解：方案一：（利用正方形相邻边垂直关系建系）‎ 如图建系：则 ‎ ‎ 设，则 ‎ 由可得： ‎ 综上所述：‎ 方案二：（利用正方形对角线相互垂直建系）‎ 如图建系：由计算可得 ‎ ‎ ‎ 设，则 ‎ 由可得： ‎ 综上所述：‎ 小炼有话说：本题虽然两种建系方法均可以，但从坐标上可以发现，用方案二写出的坐标相对简单，尤其是底面上的坐标不仅在轴上，而且数比较整齐。（相信所给的目的也倾向使用方案二建系）因为在解决立体几何解答题时，建系写坐标是基础，坐标是否整齐会决定计算过程是否更为简便。所以若题目中建系有多种选择时，不妨观察所给线段长度的特点，选择合适的方法建系，为后面的计算打好基础 例8：如图，在四棱柱中，侧棱,,,‎ ‎,且点和分别为的中点。建立合适的空间直角坐标系并写出各点坐标 思路：由，可得两两垂直，进而以它们为轴建立坐标系，本题中均可通过投影到底面得到横纵坐标，图中点坐标相对麻烦，可作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。‎ 解： 侧棱 ‎ ‎ ‎ 两两垂直 以为轴建立直角坐标系 底面上的点： ‎ 由可得为等腰三角形，若为中点，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 可投影到底面上的点：‎ 因为和分别为的中点 ‎ ‎ 综上所述：‎ ‎ ‎ 例9：如图：已知平面，点在上，且，四边形为直角梯形，，建立适当的坐标系并求出各点坐标 思路：由条件可得，而平面，可得到平面，从而以为轴建系。难点在于求底面梯形中的长度。可作出平面图利用平面几何知识处理。‎ 解：平面，‎ ‎ 平面 ‎ ‎ ‎ ‎ 两两垂直，如图建系：‎ ‎ ‎ 中： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为等边三角形 ‎ ‎ ‎ 为等边三角形 ‎ ‎ ‎ ‎ 在底面投影为且 ‎ 综上所述：‎ 例10：已知斜三棱柱在底面上的射影恰为的中点，又知，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标 思路：本题建系方案比较简单，平面，进而作轴，再过引垂线即可。难点有二：一是三棱柱的高未知，进而无法写出上底面点的竖坐标；二是 的投影不易在图中作出（需要扩展平面），第一个问题可先将高设为，再利用条件求解；第二个问题可以考虑利用向量计算得到。‎ 解：过作的垂线 ，平面 ‎ ‎，而 以为轴建立直角坐标系 ‎，设高为 ‎ 则，设 ‎ 则 ‎ 由可得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，解得 ‎ ‎ ‎ 设 ‎ 而且 ‎ ‎ ‎ 综上所述：‎