- 2021-06-16 发布 |
- 37.5 KB |
- 9页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
【数学】上海市浦东新区进才中学2021届高三上学期12月月考试题
上海市浦东新区进才中学 2021 届高三上学期 12 月月考 数学试题 一、填空题 1.若集合 { 1 2}A x x Z∣ , 2 2 0B x x x ∣ ,则 A B __________. 2.若 x 、 y 满足约束条件 0 2 6 2 x y x y x y ,则 3x y 的最小值为________. 3.已知向量 (2,1), (2 , 1)a b k k ,且 a b ,求实数 k _______. 4.直线 1l :( 3) 3 0a x y 与直线 2 :5 ( 3) 4 0l x a y ,若 1l 的方向向量是 2l 的法 向量,则实数 a ______. 5. 5 2 12x x 的展开式中,含 4x 项的系数为______. 6.通过手机验证码登录共享单车 APP,验证码由四位数字随机组成,如某人收到的验证码 1 2 3 4, , ,a a a a 满足 1 2 3 4a a a a ,则称该验证码为递增型验证码,某人收到一个验证码, 那么是首位为 2 的递增型验证码的概率为______. 7.已知等比数列 na 满足 2 32, 1a a ,则 1 2 2 3 1lim n nn a a a a a a ______. 8.设函数 ( ) sin 3f x x ,其中 0 ,若函数 ( )f x 在[0,2 ] 上恰有 2 个零点,则 的取值范围为_____. 9.欧拉公式 ie cos isin ,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和 指 数 函 数 的 联 系 , 被 誉 为 “ 数 学 中 的 天 桥 ” , 已 知 数 列 na 的 通 项 公 式 为 cos sin ( 1,2,3, )2020 2020n n na i n , 则 数 列 na 前 2020 项 的 乘 积 为 ___________. 10.已知函数 1( ) ( 1)2 x xf x a a a 的反函数为 1( )y f x ,当 [ 3,5]x 时,函数 1( ) ( 1) 1F x f x 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M m ____________. 11.已知实数 同时满足:(1) (1 )AD AB AC ,其中 D 是 ABC 边 BC 延长线 上一点:(2)关于 x 的方程 22sin ( 1)sin 1 0x x 在[0,2 ) 上恰有两解,则实数 的 取值范围是___________. 12.已知 na 的首项为 4,且满足 * 12( 1) 0n nn a na n N ,则下列命题: ① na n 是等差数列;② na 是递增数列;③设函数 2 1 1( ) 2 x n n af x x a ,则存在某 个区间 *( , 1)n n n N ,使得 ( )f x 在 ( , 1)n n 上有唯一零点;则其中正确的命题序号 为__________. 二、选择题 13.直线3 4 9 0x y 与圆 2 2 4x y 的位置关系是( ) A.相交且过圆心 B.相交且不过圆心 C.相以 D.相离 14.已知函数 ( )f x 的图像是由函数 ( ) cosg x x 的图像经过如下变换得到:先将 ( )g x 的图 像向右平移 3 个单位长度,再将其图像上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变, 则函数 ( )f x 的图像的一条对称轴方程为( ) A. 6x B. 5 12x C. 3x D. 7 12x 15.已知数列 na 、 nb 、 nc ,以下两个命题:①如果 n na b 、 n nb c 、 n na c 都是递增数列,则 na 、 nb 、 nc 都是递增数列;②如果 n na b 、 n nb c 、 n na c 是等差数列,则 na 、 nb 、 nc 都是等差数列;下列判断正确的是( ) A.①②都是真命题 B.①②都是假命题 C.①是真命题,②是假命题 D.①是假命题,②是真命题 16.已知单位向量 a 、b ,且 0a b ,若 [0,1]t ,则 5| ( ) | (1 )( )12t b a a b t a b 的最小值为( ) A. 193 12 B. 13 12 C. 2 D.1 三.解答题 17.如图所示,在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, 12, 2, 4AB BC CC ,M 为棱 1CC 上一点. (1)若 1 1C M ,求异面直线 1A M 和 1 1C D 所成的角; (2)若 1 2C M ,求点 B 到平面 1 1A B M 的距离. 18.在 ABC 中,角 A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c . (1)若 23 , 2, cos 3a c b B ,求 c 的值 (2)若 sin cos 2 A B a b ,求sin 2B 的值. 19.某油库的设计最大容量为 30 万吨,年初储量为 10 万吨,从年初起每月购进石油 m 万 吨,以满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油 1 万吨,区域外前 x 个月的需求量 y (万吨)与 x 的函数关系为 *2 0, 1 16,y px p x x N ,并且前 4 个月, 区域外的需求量为 20 万吨. (1)试写出第 x 个月油库满足区域内外需求后,油库内储油量 M (万吨)与 x 的函数关系 式: (2)要使 16 个月内油库总能满足区域内和区域外的需求,且油库的石油剩余量不超过油库 的最大容量,试确定 m 的取值范围. 20.已知数列 na 、 nb 的各项均为正数,且对任意 *n N ,都有 na 、 nb 、 1na 成等差 数列, nb 、 1na 、 1nb 成等比数列,且 1 210, 15a a . (1)求证:数列 nb 是等差数列; (2)求数列 na 、 nb 的通项公式; (3)设 1 2 1 1 1 n n S a a a ,如果对任意 *n N ,不等式 2 2 n n n ba S a 恒成立,求 实数 a的取值范围. 21.设对集合 D 上的任意两相异实数 1x 、 2x ,若 1 2 1 2f x f x g x g x 恒成立, 则称 ( )f x 在 D 上优于 ( )g x ,若 1 2 1 2f x f x g x g x 恒成立,则称 ( )f x 在 D 上严格优于 ( )g x . (1)设 ( )f x 在 R 上优于 ( )g x ,且 ( )y f x 是偶函数,判断并证明 ( )y g x 的奇偶性; (2)若 ( )f x 在 R 上严格优于 ( )g x , ( ) ( ) ( )h x f x g x ,若 ( )y f x 是 R 上的增函数, 求证: ( ) ( ) ( )h x f x g x 在 R 上也是增函数; (3)设函数 ( ) log 8 , ( ) log ( ) log ( )a a af x x g x a x a x ,若 0 1a ,是否存在 实数 (0, )t a 使得 ( )f x 在 (0, ]D t 上优于 ( )g x ,若存在,求实数 t 的最大值,若不存在, 请说明理由. 参考答案 一、填空题 1.{0,1,2} 2. 2 3.5 4. 2 5.80 6. 7 2000 7. 32 3 8. 5 4,6 3 9.i 10.2 11. 4 或 1 2 2 12.②③ 二、选择题 13.B 14.A 15.D 16.B 三、解答题 17.解:(1)由题意, 1 1 11, 2C M B C BC , 1 1 1B C C M ,得 1 5B M ∵ 1 1 1 1A B C D∥ ,所以异面直线 1A M 和 1 1C D 所成角即为 1A M 和 1 1A B ,所成角长方体 1 1 1 1ABCD A B C D ,D 中, 1 1 1 1 1 1 1,A B B C A B B B , ∴ 1 1A B 面 1 1B BCC , ∴ 1 1 1A B B M ,故可得 1 1B A M 为锐角且 1 1 1 1 1 5tan 2 B MB A M B A 1 1 5 5 2arctan , arcsin , arccos2 3 3B A M (2)设点 B 到平面 1 1A B M 的距离为 h , 1 1 1 1 1, 2 2B A B M M A B BV V B M , 1 1 1 12 2 2 2 4 2, 2 23 2 3 2h h . 18.解:(1)由余弦定理 2 2 2 cos 2 a c bB ac ,得 2 2 22 (3 ) ( 2) 3 2 3 c c c c ,即 2 1 3c , 所以 3 3c . ( 2 ) 因 为 sin cos 2 A B a b , 由 正 弦 定 理 sin sin a b A B , 得 cos sin 2 B B b b , 所 以 cos 2sinB B 从而 2 2cos (2sin )B B ,即 2 2cos 4 1 cosB B ,故 2 4cos 5B . 因为sin 0B ,所以 cos 2sin 0B B , 2 5cos 5B .因此 2 5sin cos2 5B B 19.解:(1) *10 10 1 16,M mx x x x x N ;(2) 7 19 2 4m (1)由条件得 20 2 4 2 100p p , *10 1 16,y x x x N 2 分 *10 10, 1 16,M mx x x x x N 6 分 (2)因为 0 30M ,所以 *10 10 0 1 16, 10 10 30 mx x x x x N mx x x 恒成立. 8 分 * 10 10 1 1 16,20 10 1 m x x x x N m x x 恒成立 10 分 设 1 t x ,则: 2 2 10 10 11 11 14 420 10 1 m t tt t m t t 恒成立, 由 2 2 1 7 110 10 1 10 12 2 4m t t t t 恒成立得 7 2m ( 4x 时取等号) 12 分 2 120 10 1 14m t t t 恒成立得 19 4m ( 16x 时取等号) 所以 7 19 2 4m . 14 分 20.解:(1)由已知. 12 n n nb a a ①, 2 1 1n n na b b ②.由②可得 1 1n n na b b ③ 将③代入①,得对任意 *2,n n N ,有 1 12 n n n n nb b b b b ,即 12 n n nb b b , 所以, nb 是等差数列 (2)设数列 nb 的公差为 d .由 1 210, 15a a , 得 1 2 1 2 25 5 2, 18, , 3 22 2b b b b , 2 1 2 2d b b , 所以 2 1 5 2 2 2 ( 4)( 1) ( 1) ( 4),2 2 2 2n n nb b n d n n b . 由已知,当 2n 时, 1 ( 3)( 4) 2n n n n na b b ,而 1 10a 也满足此式. 所以数列 na 、 nb 的通项公式为: 2( 3)( 4) ( 4),2 2n n n n na b . (3)由(2),得 1 2 1 12( 3)( 4) 3 4na n n n n , 则 1 1 1 1 1 1 1 12 24 5 5 6 3 4 4 4nS n n n 不等式 2 2 n n n baS a 化为 1 1 44 24 4 3 na n n . 解法一:不等式化为 2( 1) (3 6) 8 0a n a n , 设 2( ) ( 1) (3 6) 8f n a n a n ,则 ( ) 0f n 对任意 *n N 恒成立. 当 1 0a ,即 1a 时,不满足条件,当 1 0a ,即 1a 时,满足条件. 当 1 0a ,即 1a 时,函数 ( )f n 图像的对称轴为直线 3( 2) 02( 1) ax a , ( )f n 关于 n 递减, 只需 (1) 4 15 0f a ,解得 15 4a ,故 1a . 综上可得, a的取值范围是 ( ,1] . 解法二:不等式化为 2 2 6 8 3 n na n n 对任意 *n N 恒成立,即 2 3 81 3 na n n 设 2 3 8( ) 3 nf n n n ,任取 1n 、 * 2n N ,且 1 2n n ,则 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 3 8 3 8 3 3 n nf n f n n n n n 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 3 8 24 0 3 3 n n n n n n n n n n ,故 ( )f n 关于 n递减. 又 ( ) 0f n 且 lim ( ) 0n f n ,所以 2 3 81 13 n n n 对任意 *n N 恒成立,所以 1a . 因此,实数 a的取值范围是 ( ,1] . 21.解:(1)设 为任意实数,因为 ( )y f x 是偶函数,所以 ( ) ( )f x f x , 即 ( ) ( ) 0f x f x , ∴| ( ) ( ) | 0g x g x ,即 ( ) ( )g x g x , ∴ ( )y g x 为偶函数 4 分 (2)对于任意 1x , 2x ,且 1 2x x ,因为 ( )y f x 是 R 上的增函数,所以 1 2f x f x , 即 1 2 0f x f x , 5 分 所以 1 2 1 2 2 1g x g x f x f x f x f x 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2f x f x g x g x f x f x f x g x f x g x 即 1 2h x h x ,得证. 10 分 (3)若存在实数 (0, )t a 使得 ( )f x 在 (0, ]D t 上优于 g x ,因为 0 1a , 1 2 1 2f x f x g x g x ,在 1 2, (0, ]x x t 时恒成立,不妨设 1 20 x x t ,则 1 2 0 1x x ,∴ 1 1 2 1 2 2 log 8 log 8 loga a a xf x f x x x x , 2 2 1 2 2 1 1 2 2 11 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 log log log loga a a a a x x a x x a x x a x xa x a xg x g x a x a x a x x a x x a x x a x x 2 1 2 2 11 2 2 1 2 2 1 a x x a x xx x a x x a x x 在 1 2, (0, ]x x t 时恒成立 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 0a x x x x x x a x x x x 在 1 2, (0, ]x x t 时恒成立, 2 1 2 1 2 0a x x a x x 在 1 2, (0, ]x x t 时恒成立. 令 2 2 2 0a t at ,取 ( 2 1)t a 当 1 20 ( 2 1)x x a 时, 2 2 2 2 1 2 1 2 [( 2 1) ] 2( 2 1) 0a x x a x x a a a , 当 1 2( 2 1)a x x a 时, 2 2 2 2 1 2 1 2 [( 2 1) ] 2( 2 1) 0a x x a x x a a a 不合题意.综上所述,实数 t 的最大值为 ( 2 1)a .查看更多