高一数学 （人教版必修3）：第一章 算法初步 word版含解析

高一数学 （人教版必修3）：第一章 算法初步 word版含解析

重点列表： 重点 名称 重要指数 重点 1 算法的概念 ★★★ 重点 2 顺序结构 ★★★★ 重点 3 分支结构 ★★★★ 重点详解： 1．算法的概念及特点 (1)算法的概念 在数学中，算法通常是指按照一定______解决某一类问题的________和________的步骤． (2)算法的特点之一是具有______性，即算法中的每一步都应该是确定的，并能有效的执行， 且得到确定的结果，而不应是模棱两可的；其二是具有______性，即算法步骤明确，前一步 是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行后一步，并且每一步都准确无误才能解决问题； 其三是具有______性，即一个算法应该在有限步操作后停止，而不能是无限的；另外，算法 还具有不唯一性和普遍性，即对某一个问题的解决不一定是唯一的，可以有不同的解法，一 个好的算法应解决的是一类问题而不是一两个问题． 2．程序框图 (1)程序框图的概念 程序框图又称流程图，是一种用 、 及 来表示算法的图形． (2)构成程序框图的图形符号、名称及其功能 图形符 号 名 称 功 能 ① 表示一个算法的起始和 结束 ② 表示一个算法输入和输 出的信息 ③ 赋值、计算 ④ 判断某一条件是否成 立，成立时在出口处标 明“是”或“Y”；不成 立 时 标 明 “ 否 ” 或 “N” ⑤ 连接程序框 ○ ⑥ 连接程序框图的两部分 3. 算法的基本逻辑结构 (1)顺序结构 顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按__________的顺序进行 的．它是由若干个__________的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的基本结构．顺序 结构可用程序框图表示为如图所示的形式： (2)条件结构 在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向．常 见的条件结构可以用程序框图表示为如图所示的两种形式： 程序语句 1．输入(INPUT)语句 输入语句的一般格式： . 要求： (1)输入语句要求输入的值是具体的常量； (2)提示内容提示用户输入的是什么信息，必须加双引号，“提示内容”原原本本地在计算机 屏幕上显示，提示内容与变量之间要用分号隔开； (3)一个输入语句可以给多个变量赋值，中间用“，”分隔． 2．输出(PRINT)语句 输出语句的一般格式： . 功能：实现算法输出信息(表达式)． 要求： (1)表达式是指算法和程序要求输出的信息； (2)提示内容提示用户要输出的是什么信息，提示内容必须加双引号，提示内容要用分号和表 达式分开； (3)如同输入语句一样，输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能，不同的表达式之间可 用“，”分隔． 3．赋值语句 赋值语句的一般格式： . 赋值语句中的“＝”叫做赋值号，它和数学中的等号不完全一样． 作用：赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量． 要求： (1)赋值语句左边只能是变量，而不是表达式，右边表达式可以是一个常量、变量或含变量的 运算式．如：2＝x 是错误的； (2)赋值号的左右两边不能对换．赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变 量．如“A＝B”、“B＝A”的含义和运行结果是不同的，如 x＝5 是对的，5＝x 是错的，A＋B ＝C 是错的，C＝A＋B 是对的； (3)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解、解方程等)． 4．条件语句 (1)“IF—THEN”语句 格式： ____________________． 说明：当计算机执行“IF—THEN”语句时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果(IF)条件符合， 那么(THEN)执行语句体，否则执行 END IF 之后的语句． (2)“IF—THEN—ELSE”语句 格式： ____________________． 说明：当计算机执行“IF—THEN—ELSE”语句时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果(IF)条 件符合，那么(THEN)执行语句体 1，否则(ELSE)执行语句体 2. 【答案】 1．(1)规则 明确 有限 (2)确定 有序 有穷 2．(1)程序框 流程线 文字说明 (2)①终端框(起止框) ②输入、输出框 ③处理框(执行框) ④判断框 ⑤流程线 ⑥连接点 3．(1)从上到下 依次执行 程序语句 1．INPUT “提示内容”；变量 2．PRINT “提示内容”；表达式 3．变量＝表达式 4．(1) IF 条件 THEN 语句体 END IF (2) 重点 1：算法的概念 【要点解读】 算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤． 【考向 1】算法的概念 【例题】下列语句是算法的个数为( ) ①从济南到巴黎：先从济南坐火车到北京，再坐飞机到巴黎； ②统筹法中“烧水泡茶”的故事； ③测量某棵树的高度，判断其是否为大树； ④已知三角形的两边及夹角，利用三角形的面积公式求出该三角形的面积． A．1 B．2 C．3 D．4 【评析】算法过程要做到一步一步地执行，每一步执行的操作必须确切，不能含糊不清，且 在有限步后必须得到问题的结果． 【考向 2】经典算法 【例题】“韩信点兵”问题．韩信是汉高祖刘邦手下的大将，为了保守军事机密，他在点兵 IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF 时采用下述方法：先令士兵从 1～3 报数，结果最后一个士兵报 2；再令士兵从 1～5 报数，结 果最后一个士兵报 3；又令士兵从 1～7 报数，结果最后一个士兵报 4.这样，韩信很快就知道 了自己部队士兵的总人数．请设计一个算法，求出士兵至少有多少人． 解：在本题中，士兵从 1～3 报数，最后一个士兵报 2，说明士兵的总人数是除以 3 余 2，其 他两种情况依此类推． (算法一)步骤如下： 第一步：先确定最小的满足除以 7 余 4 的数是 4； 第二步：依次加 7 就得到所有满足除以 7 余 4 的数：4，11，18，25，32，39，46，53，60，…； 第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以 5 余 3 的正整数：18； 第四步：依次加上 35，得 18，53，88，…； 第五步：在第四步得到的一列数中，找到最小的满足除以 3 余 2 的正整数：53，这就是我们 要求的数． (算法二)步骤如下： 第一步：先确定最小的满足除以 3 余 2 的数是 2； 第二步：依次加 3 就得到所有满足除以 3 余 2 的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29， 32，35，38，41，44，47，50，53，56，…； 第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以 5 余 3 的正整数：8； 第四步：然后依次加 15 就得 8，23，38，53，…，不难看出，这些数既满足除以 3 余 2，又 满足除以 5 余 3； 第五步：在第四步所得的一列数中找到满足除以 7 余 4 的最小数是 53，这就是我们要求的数． 【评析】给出一个问题，设计算法时要注意：(1)认真分析问题，研究解决此问题的一般方法； (2)将解决问题的过程分解成若干步骤；(3)用简练的语言将各步骤表示出来；(4)把解题过程 条理清楚地表达出来，就得到一个明确的算法．对于同一问题，可以设计不同的算法，其最 终的结果是一样的，但解决问题的繁简程度不同，我们要寻找最优算法． 重点 2：顺序结构 【要点解读】 (1)程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法 的图形． (2)程序框图通常由程序框和流程线组成． (3)基本的程序框有终端框(起止框)、输入、输出框、处理框(执行框)、判断框． 输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能 语句 一般格式 功能 输入语句 INPUT“提示内容”；变量 输入信息 输出语句 PRINT“提示内容”；表达式 输出常量、变量的值和系统信息 赋值语句 变量＝表达式 将表达式的值赋给变量 【考向 1】顺序结构程序框图 【例题】已知点 P(x0，y0)和直线 l：Ax＋By＋C＝0，求点 P(x0，y0)到直线 l 的距离 d，写出 其算法并画出流程图． 解：算法如下： 第一步：输入 x0，y0 及直线方程的系数 A，B，C. 第二步：计算 z1＝Ax0＋By0＋C. 第三步：计算 z2＝A2＋B2. 第四步：计算 d＝|z1| z2 . 第五步：输出 d. 流程图如图所示： 【评析】顺序结构是一种最简单、最基本的结构，可严格按照传统的解题思路写出算法步骤， 画出程序框图．注意语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的． 【考向 2】顺序结构语句 【例题】请写出下面运算输出的结果． (1)a＝5 b＝3 c＝(a＋b)/2 d＝c*c PRINT “d＝”；d (2)a＝1 b＝2 c＝a＋b b＝a＋c－b PRINT “a＝，b＝，c＝”；a，b，c (3)a＝10 b＝20 c＝30 a＝b b＝c c＝a PRINT “a＝，b＝，c＝”；a，b，c 解：(1)语句“c＝(a＋b)/2”是将 a，b 之和的一半赋值给变量 c，语句“d＝c*c”是将 c 的 平方赋值给 d，最后输出 d 的值．故输出结果为 d＝16. (2)语句“c＝a＋b”是将 a，b 之和赋值给 c，语句“b＝a＋c－b”是将 a＋c－b 的值赋值给 了 b.故输出结果为 a＝1，b＝2，c＝3. (3)经过语句“a＝b”后 a，b，c 的值是 20，20，30，经过语句“b＝c”后 a，b，c 的值是 20，30，30，经过语句“c＝a”后 a，b，c 的值是 20，30，20.故输出结果为 a＝20，b＝30， c＝20. 【评析】①将一个变量的值赋给另一个变量，前一个变量的值保持不变；②可先后给一个变 量赋多个不同的值，但变量的取值总是最后被赋予的值． 重点 3：分支结构 【要点解读】 条件语句 (1)算法中的条件结构与条件语句相对应． (2)条件语句的格式及框图 ①IF－THEN 格式 ②IF－THEN－ELSE 格式 【考向 1】分支机构程序框图 【例题】某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用 c(单位：元)与行李的重量 w(单 位：kg)之间的关系为 c＝ 0.53w，w≤50， 50×0.53＋（w－50）×0.85，w>50. 写出计算费用 c 的算法并画出程序框图． 解：算法如下： 第一步：输入行李的重量 w； 第二步：如果 w≤50，那么 c＝0.53w， 否则 c＝50×0.53＋(w－50)×0.85； 第三步：输出托运费 c. 程序框图如图所示： 【评析】条件结构的运用与数学的分类讨论有关．设计算法时，哪一步要分类讨论，哪一步 就需要用条件结构． 【考向 2】条件语句 【例题】设计算法，求关于 x 的方程 ax＋b＝0 的解． 解：程序框图如图所示． 根据框图可写出程序语言： INPUT a，b IF a〈〉0 THEN PRINT “x＝”；－b/a ElSE IF b＝0 THEN PRINT “解集为 R” ELSE PRINT “此方程无解” END IF END IF END 【评析】对于三段或三段以上的分段函数求函数值的问题，通常需用条件语句的嵌套结构．本 例是条件语句内套条件语句，即用了两个条件语句，必须有两个 END IF，请读者指出前后 END IF 分别结束的条件语句． 难点列表： 难点 名称 难度指数 难点 1 循环结构 ★★★★ 难点 2 算法案例 ★★★★★ 难点详解： 循环结构 在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这 就是 ．反复执行的步骤称为 ． 循环结构有如下两种形式： ①如图 1，这个循环结构有如下特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不 满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．因此，这种循环结构称为____________． ②如图 2 表示的也是常见的循环结构，它有如下特征：在每次执行循环体前，对条件进行判 断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．因此，这种循环结构称为____________． 循环语句 (1)当型循环语句 当型(WHILE 型)语句的一般格式为： ________________． (2)直到型循环语句 直到型(UNTIL 型)语句的一般格式为： ______________． 【答案】循环结构 循环体 ①直到型循环结构 ②当型循环结构 (1) WHILE 条件 循环体 WEND (2) DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 难点 1：循环结构 【要点解读】 循环语句 (1)算法中的循环结构与循环语句相对应． (2)循环语句的格式及框图． ①UNTIL 语句 ②WHILE 语句 【考向 1】循环结构程序框图 【例题】设计一个算法求 1＋1 2 ＋…＋1 9 ＋ 1 10 的值，并画出程序框图． 解：当型循环： 算法如下： 第一步：令 i＝1，S＝0； 第二步：若 i≤10 成立，则执行第三步，否则，输出 S； 第三步：计算 S＝S＋1 i ，i＝i＋1，返回第二步． 程序框图如图所示： 直到型： 算法如下： 第一步：令 i＝1，S＝0； 第二步：计算 S＝S＋1 i ，i＝i＋1； 第三步：若 i>10，则输出 S，否则，返回第二步． 程序框图如图所示： 【评析】如果算法问题里涉及的运算进行了许多次重复的操作，且先后参与运算的数之间有 相同的规律，就可引入变量循环参与运算(我们称之为循环变量)，应用循环结构．在循环结 构中，要注意根据条件设计合理的计数变量、累加和累乘变量及其个数等，特别要使条件的 表述恰当、准确． 【考向 2】循环语句 【例题】读下面的程序： INPUT n i＝1 S＝1 WHILE i<＝n S＝S*i i＝i＋1 WEND PRINT S END 上面的程序在执行时输入 6，那么输出的结果为( ) A．6 B．720 C．120 D．1 【评析】计算机执行此程序时，遇到 WHILE 语句，先判断条件是否成立，如果成立，则执行 WHILE 和 WEND 之间的循环体，然后返回到 WHILE 语句再判断上述条件是否成立，直至返回到 WHILE 语句判断上述条件不成立为止，这时不再执行循环体，而执行 WEND 后面的语句，这是 当型循环． 难点 2：算法案例 【要点解读】 算法案例 (1)辗转相除法 辗转相除法是用于求两个正整数的最大公约数的一种方法，这种算法是由欧几里得在公元前 330 年左右首先提出的，因此又叫欧几里得算法． (2)更相减损术的定义 任给两个正整数(若是偶数，先用 2 约数)，以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小 的数比较，并以大数减小数，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)(或这个数与约简的数 的乘积)就是所求的最大公约数． (3)秦九韶算法 秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算一元 n 次多项式的值的方法． 【考向 1】辗转相除法与更相减损术 【例题】用更相减损术求 120 与 75 的最大公约数时，反复相减，直至求出结果，进行减法运 算的次数为( ) A．4 B．5 C．6 D．3 解析：∵120－75＝45,75－45＝30,45－30＝15,30－15＝15， ∴120 与 75 的最大公约数是 15，共进行 4 次减法运算． 答案：A 【考向 2】秦九昭算法 【例题】用秦九韶算法求多项式 f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋8 的值，当 x＝3 时， v3 的值为( ) A．27 B．86 C．262 D．789 答案：B 【趁热打铁】 1．用辗转相除法求 108 和 45 的最大公约数为( ) A．2 B．9 C．18 D．27 2．已知程序如下： 当输入 x 的值为 5 时，输出的结果为( ) A．15 B．76 C．84 D．34 3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出 S 的结果是( ) A.3 2 B.1 6 C.25 12 D.137 60 4．下列程序运行后的输出结果是( ) A．17 B．19 C．21 D．23 5．计算机中常用 16 进制，采用数字 0～9 和字母 A～F 共 16 个计数符号，与 10 进制的对应 关系如下表： 16 进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 那么，16 进制中的 16C 化为十进制数应为( ) A．1 612 B．364 C．5 660 D．360 6．如下框图，当 x1＝6，x2＝9，p＝8.5 时，x3 等于( ) A．7 B．8 C．10 D．11 7．如图框图 (1)若输入 4，则输出的是________； (2)若输出 32，则输入的是________． 8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 S＝________. 9．根据如图所示的框图，说明该流程图解决什么问题，写出相应的算法，并回答下列问题： (1)若输入 x 的值为 5，则输出的结果是什么？ (2)若输出的值为 8，则输入的 x 的值是什么？ (3)要使输出的值最小，输入的 x 的值应是多少？ 10．如图是为求 310 的值而设计的程序框图，请回答下列问题． (1)将空白处补上，指明它是循环结构中的哪一种类型； (2)画出它的另一种循环结构框图． 第一章 1 解析：∵108＝2×45＋18,45＝2×18＋9,18＝9×2， ∴108 和 45 的最大公约数为 9. 答案：B 2 解析：该程序表示的是输入 x 输出函数 y＝ 3x， x≤5， 5.5×10＋ x－2× 7， x>5 的值． 答案：A 答案：C 5 解析：16C(16)＝1×162＋6×16＋12×160＝256＋96＋12＝364. 答案：B 6 解析：当 x3＝7 时，|6－9|<|9－7|，即 3<2，此时 p＝9＋7 2 ＝8，输出 p＝8，A 不正确；当 x3＝8 时，|6－9|<|9－8|，即 3<1，此时 p＝9＋8 2 ＝8.5，输出 p＝8.5，B 正确．同理可验证 C、 D 不正确． 答案：B 7 解析：(1)若输入 4， ∵4>1， ∴y＝－2×4＋32＝24. (2)若输出 32，当 x2＋4x＝32 时，x1＝4，x2＝－8； 当 32＝－2x＋32 时 x＝0， ∵4>1，－8<1，当 x＝0 时，y＝02＋4×0＝0≠32， ∴x＝－8. 答案：(1)24 (2)－8 8 解析：第一次循环 S＝1，a＝3，n＝2， 第二次循环 S＝4，a＝5，n＝3， 第三次循环 S＝9，a＝7，跳出循环． 故输出的值为 9. 答案：9 10 解：(1)空白部分应填：i≤10？，它为当型循环结构； (2)直到型循环结构的程序框图如下图所示：