【数学】2020届一轮复习人教B版正弦定理余弦定理的应用举例作业

【数学】2020届一轮复习人教B版正弦定理余弦定理的应用举例作业

正弦定理、余弦定理的应用举例 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎4.已知A船在灯塔C的北偏东85°方向且A到C的距离为2 km,B船在灯塔C的西偏北25°方向且B到C的距离为 km,则A,B两船的距离为 (　　)‎ A. km B. km C.2 km D.3 km ‎【解析】选A.画出图形如图所示,‎ 由题意可得∠ACB=(90°-25°)+85°=150°,又AC=2,BC=.在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 150°=13,所以AB=,即A,B两船的距离为 km.‎ ‎5.如图,为了估测某塔的高度,在塔底D和A,B(与塔底D在同一水平面上)处进行测量,在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为45°,30°,且A,B两点相距140 m ,由点D看A,B的张角为150°,则塔的高度CD= (　　)‎ A.140 m B.20 m C.20 m D.140 m ‎ ‎【解析】选C.设CD=x m,‎ 在Rt△ADC中,由∠CAD=45°可得:AD=x m,‎ 同理可得:BD= x m,‎ 在△ABD中,由余弦定理可得:‎ AD2+BD2-2AD×BD×cos 150°=AB2,‎ 即:x2+(x)2-2x×x×cos 150°=1402,‎ 解得:x=20,即塔的高度CD=20 m.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.一艘海轮从A出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,则B,C两点间的距离是　　　　海里. ‎ ‎【解析】 如图,由已知可得,∠BAC=30°,‎ ‎∠ABC=105°,AB=20,‎ ‎ 从而∠ACB=45° .‎ 在△ABC 中,由正弦定理,得BC=×sin 30°=10.‎ 答案:10‎ ‎7.(2018·延安模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50 s,升旗手应以　　　　m/s的速度匀速升旗. ‎ ‎【解析】依题意可知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,所以∠EAC =180°-45°-105°=30°.由正弦定理可知=,所以AC=‎ ‎·sin ∠CEA=20 m.所以在Rt△ABC中,AB=AC·sin ∠ACB=20×=‎ ‎30 m.因为国歌时长为50 s,所以升旗速度为=0.6 m/s.‎ 答案:0.6‎ ‎8.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于　　　　 m. ‎ ‎【解析】如图,‎ 由图可知,∠DAB=15°,‎ 因为tan 15°=tan (45°-30°)==2-.‎ 在Rt△ADB中,因为AD=60,‎ 所以DB=AD·tan 15°=60×(2-)=120-60.‎ 在Rt△ADC中,∠DAC=60°,AD=60,‎ 所以DC=AD·tan 60°=60.‎ 所以BC=DC-DB=60-(120-60)=120(-1)(m).‎ 所以河流的宽度BC等于120(-1)m.‎ 答案:120(-1)‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.渔政船在东海某海域巡航,已知该船正以15海里/时的速度向正北方向航行,该船在A点处时发现在北偏东30°方向的海面上有一个小岛,继续航行20分钟到达B点,此时发现该小岛在北偏东60°方向上,若该船向正北方向继续航行,船与小岛的最小距离为多少海里? ‎ ‎【解析】根据题意画出相应的图形,如图所示,过C作CD⊥AD于 点D,‎ 由题意得:AB=×15=5(海里)‎ 因为∠A=30°,∠CBD=60°,‎ 所以∠BCA=30°,‎ 则△ABC为等腰三角形,所以BC=5.‎ 在△BCD中,因为∠CBD=60°,CD⊥AD,BC=5,‎ 所以CD=,则该船向北继续航行,船与小岛的最小距离为7.5海里.‎ ‎10.如图所示,在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进10米后到达点B,又从点B测得斜度为α,建筑物的高CD为5米.‎ ‎(1)若α=30°,求AC的长.‎ ‎(2)若α=45°,求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值.‎ ‎【解析】(1)当α=30°时,∠ABC=150°,∠ACB=∠BAC=15°,‎ 所以BC=AB=10,由余弦定理得:‎ AC2=102+102-2×10×10×cos 150°=200+100,‎ 故AC=10=5+5.‎ ‎(2)当α=45°时,在△ABC中,由正弦定理得 BC==20×=5(-),在△BCD中,sin∠BDC==-1,‎ 所以cos θ=cos=sin∠ADC=-1.‎ ‎(20分钟　40分)‎ ‎1.(5分)如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为 (　　)‎ A.50 m　　　　　　　 B.50 m C.25 m D. m ‎【解析】选A.在△ABC中,AC=50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则∠ABC=30°,‎ 则由正弦定理=,‎ 得AB===50(m).‎ ‎2.(5分)如图,要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°.在水平面上测得 ‎∠BCD=120°,C,D两地相距600 m,则铁塔AB的高度是 (　　)‎ A.120 m B.480 m C.240 m D.600 m ‎【解析】选D.设AB=x,则BC=x,BD= x,‎ 在△BCD中,由余弦定理知cos 120°===-,‎ 解得x=600 m(x=-300舍去).‎ 故铁塔AB的高度为600 m.‎ ‎3.(5分)如图,勘探队员朝一座山行进,在前后A,B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°,两个观察点A,B之间的距离是100米,则此座山CD的高度为　　　　米. ‎ ‎【解析】设山高CD为x,在Rt△BCD中,有BD=CD=x,在Rt△ACD中,有AC=2x,AD=x.‎ 而AB=AD-BD=(-1)x=100.‎ 解得:x=50+50(米).‎ 答案:(50+50)‎ ‎4.(12分)如图:点C在点A的北偏东47°方向,点B在点C的南偏西36°方向,点B在点A的南偏东79°方向,且A,B两点的距离约为3海里.‎ ‎ ‎ ‎(1)求A,C两点间的距离.(精确到0.01)‎ ‎(2)某一时刻,我国一渔船在A点处因故障抛锚发出求救信号.另一艘渔船正从点C正东10海里的点P处以18海里/小时的速度接近该渔船,其航线为P→C→A(直线行进),而我东海某渔政船正位于点A南偏西60°方向20海里的点Q处,收到信号后赶往救助,其航线为先向正北航行8海里至点M处,再折向点A直线航行,航速为22海里/小时.渔政船能否先于另一艘渔船赶到进行救助?说明理由.‎ ‎【解析】(1)求得∠ACB=11°,∠ABC=115°,由=⇒AC≈14.25海里,‎ ‎(2)另一艘渔船的到达时间为:≈1.35(小时),‎ 在△AQM中,cos 60°==‎ ‎,得AM≈17.44海里,所以渔政船的到达时间为:≈1.16小时.因为1.16<1.35,所以渔政船先到.‎ 答:渔政船能先于另一艘渔船赶到进行救助.‎ ‎5.(13分)如图,已知一艘船由A岛以v海里/小时的速度往北偏东10°的B岛行驶,计划到达B岛后停留10分钟后继续以相同的速度驶往C岛.C岛在B岛的北 偏西65°的方向上,C岛在A岛的北偏西20°的方向上.上午10时整,该船从A 岛出发.上午10时20分,该船到达D处,此时测得C岛在北偏西35°的方向上.‎ 如果一切正常,此船何时能到达C岛?(精确到1分钟) ‎ ‎【解析】在△ACD中, ∠CAD=30°,∠ADC=135°,根据正弦定理得,=,‎ 即CD= AD.‎ 在△BCD中,∠BCD=30°,∠CBD=105°,‎ 根据正弦定理得,==,‎ 即DB+BC=CD.‎ 所以DB+BC= AD,‎ 即DB+BC= AD ‎=AD=(1+)AD,‎ 从而,此船行驶DB和BC共需20(1+)分钟.‎ 故由A岛出发到达C岛全程需要50+20分钟.即该船于11时18分到达岛.‎ ‎(说明:11时19分,也正确.)‎