【数学】2020届一轮复习（理）通用版5-3-2系统题型——平面向量的数量积及应用学案

【数学】2020届一轮复习（理）通用版5-3-2系统题型——平面向量的数量积及应用学案

第2课时　系统题型——平面向量的数量积及应用 一、学前明考情——考什么、怎么考 ‎1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)‎ A．4　　　　　　　　　　 B.3‎ C．2 D．0‎ 解析：选B　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.‎ ‎∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.‎ ‎2.(2016·全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)‎ A．30° B.45°‎ C．60° D．120°‎ 解析：选A　因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC＝，所以cos∠ABC＝.又0°≤ ∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.‎ ‎3.(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)‎ A．－2 B.－ C．－ D．－1‎ 解析：选B　如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x, －y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.‎ 常规角度 ‎1.平面向量数量积及其性质的应用：主要考查平面向量数量积的计算，以及利用数量积求向量的模、夹角等．‎ ‎2.平面向量数量积的应用：主要考查平面向量模或数量积的最值范围问题．‎ 主要以选择、填空题为主，难度中等偏下 创新角度 平面向量的数量积与解析几何、平面几何以及三角函数交汇，主要利用数量积证明垂直或利用数量积转化垂直的条件、求长度等 二、课堂研题型——怎么办、提知能 平面向量数量积及其性质的应用 ‎1．(2019·宝鸡金台区质检)在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝1，点P是斜边上的一个三等分点，则·＋·＝(　　)‎ A．0　　　　　　　　　　 B.1‎ C. D．－ 解析：选B　以点C为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，不妨设P，所以·＋·＝＋＝1.故选B.‎ ‎2．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|等于(　　)‎ A. B. C. D．4‎ 解析：选C　依题意得a·b＝，|a＋3b|＝＝，故选C.‎ ‎3．(2019·江西三校联考)若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D．－ 解析：选A　∵(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－4，cosa，b＝＝＝－，∴a，b＝，故选A.‎ ‎4．(2019·深圳高级中学期中)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)‎ A．－4 B.－3‎ C．－2 D．－1‎ 解析：选B　∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝m2－n2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.‎ ‎1．平面向量数量积的2种运算方法 方法 运用提示 适用题型 定义法 当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题 坐标法 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2‎ 适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题 ‎2.利用数量积求解长度问题的处理方法 ‎(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎(2)|a±b|＝＝.‎ ‎(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.‎ ‎3．向量夹角问题的2个注意点 ‎(1)切记向量夹角的范围是[0，π]．‎ ‎(2)a与b夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线，a与b夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．‎ ‎4．两向量垂直的应用 两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.‎ 平面向量数量积的应用问题 平面向量数量积的应用中，常考查向量的模或数量积的最值或范围问题，能力要求较高，综合性强．‎ 考法一　平面向量模的最值或范围问题　‎ ‎[例1]　(1)(2019·衡水中学调研)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝2，(a－c)·(b－2c)＝0，则|b－c|的最小值为(　　)‎ A. B. C. D． ‎(2)(2019·长春模拟)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)‎ A．1 B.2‎ C. D． ‎[解析]　(1)由|a|＝|b|＝a·b＝2，知a，b的夹角为，‎ 可设a＝(2,0)，b＝(1，)，c＝(x，y)，‎ ‎∵(a－c)·(b－2c)＝0，‎ ‎∴(2－x，－y)·(1－2x，－2y)＝0，‎ 即2x2＋2y2－5x－y＋2＝0.‎ 方程2x2＋2y2－5x－y＋2＝0表示圆心为，半径为的圆，|b－c|＝表示圆2x2＋2y2－5x－y＋2＝0上的点到点(1，)的距离，所以|b－c|的最小值为 －＝.‎ ‎(2)因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，‎ ‎(a－c)·(b－c)＝－c·(a＋b)＋|c|2＝－|c||a＋b|·cos θ＋|c|2＝0，其中θ为c与a＋b的夹角，‎ 所以|c|＝|a＋b|cos θ＝cos θ≤，‎ 所以|c|的最大值是.‎ ‎[答案]　(1)A　(2)C ‎[方法技巧]‎ 求向量模的最值(范围)的2种方法 代数法 把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解 几何法 弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解 考法二　数量积的最值或范围问题　‎ ‎[例2]　(1)(2019·南昌调研)如图，在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，点P在阴影区域(含边界)中运动，则·的取值范围是(　　)‎ A. B. C．[－1,1] D．[－1,0]‎ ‎(2)(2019·宝鸡模拟)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足| |＝，则·的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D． ‎[解析]　(1)∵在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，‎ ‎∴BD＝.如图所示，过点A作AO⊥BD，垂足为O，‎ 则＝＋，·＝0，‎ ‎∴·＝(＋)·＝·.‎ ‎∴当点P与点B重合时，·取得最大值，‎ 即·＝·＝××＝1；‎ 当点P与点D重合时，·取得最小值，‎ 即·＝－××＝－1.‎ ‎∴·的取值范围是[－1,1]．‎ ‎(2)以等腰直角三角形的直角边BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2.‎ 设M(a,2－a)，‎ 则0< a <1，N(a＋1,1－a)，‎ ‎∴＝(a,2－a)，＝(a＋1,1－a)，‎ ‎∴·＝a (a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2 a 2－2 a＋2，‎ ‎∵0sin A，∴B>A，故A为锐角，∴cos A＝，∴cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝.‎ ‎(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得，‎ ‎16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，当且仅当a＝c时等号成立，∴ac≤13，‎ ‎∴·＝accos(π－B)＝－accos B＝－ac≥－5.‎ 故·的最小值为－5.‎ ‎11．(2019·太原模拟)已知向量m＝，n＝，f(x)＝m·n.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎(2)若a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且a＝2，(2a－b)cos C＝ ccos B，f(A)＝，求c.‎ 解：(1)∵f(x)＝m·n＝sin cos ＋cos2 ‎＝sin ＋＝sin＋，‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期为3π，‎ 令－＋2kπ≤＋≤＋2kπ，k∈Z，则－π＋3kπ≤x≤＋3kπ，k∈Z，‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)∵(2a－b)cos C＝ccos B, ‎ ‎∴2sin Acos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin(B＋C)＝sin A，‎ ‎∵00，∴cos C＝，∴C＝.‎ ‎∵f(A)＝sin＋＝，‎ ‎∴sin＝1，‎ ‎∴＋＝＋2kπ，k∈Z，∴A＝，‎ ‎∴c＝asin C＝2sin ＝.‎ ‎[B级　难度题——适情自主选做]‎ ‎1．在等腰三角形AOB中，若||＝||＝5，且|＋|≥||，则·的取值范围为(　　)‎ A．[－15,25) B.[－15,15]‎ C．[0,25) D．[0,15]‎ 解析：选A　|＋|≥||＝|－|，所以|＋|2≥|－|2，即(＋)2≥(－)2，所以2＋2·＋2≥(2－2·＋2)，即52＋2·＋52≥(52－2·＋52)，则·≥－15.又·≤||||＝5×5＝25，当且仅当与同向时取等号，因此上式等号不成立，所以·的取值范围为[－15,25)，故选A.‎ ‎2．已知a，b，e是同一平面内的三个向量，且|e|＝1，a⊥b，a·e＝2，b·e＝1，当|a－b|取得最小值时，a与e夹角的正切值为(　　)‎ A. B. C．1 D． 解析：选D　根据题意，分别以a，b为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设e与a的夹角为θ，θ为锐角，则e与b的夹角为－θ.∵|e|＝1，a⊥b，a·e＝2，b·e＝1，∴|a|·cos θ＝2，|b|·cos＝|b|·sin θ＝1，∴|a|＝，|b|＝，∴|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝＋＝‎ eq lc( c)(avs4alco1(f(4,cos2θ)＋f(1,sin2θ)))(sin2θ＋cos2θ)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当2sin2θ＝cos2θ，即tan θ＝时等号成立，此时|a－b|取得最小值3，且a与e夹角的正切值为，故选D.‎ ‎3．(2019·武汉调研)设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是(　　)‎ A．1＋　　　　　　　　 B.1－ C.－1 D．1‎ 解析：选A　如图，作出，使得＋＝，则(－)·(－)＝2－·－·＋·＝1－(＋)·＝1－·，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，·取得最小值，最小值为－，此时(－)·(－)取得最大值，最大值为1＋，故选A.‎ ‎4．(2019·江西吉安月考)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(cos φ，sin φ)．‎ ‎(1)若|θ－φ|＝，求|a－b|的值；‎ ‎(2)若θ＋φ＝，记f(θ)＝a·b－λ|a＋b|，θ∈，当1≤λ≤2时，求f(θ)的最小值．‎ 解：(1)∵向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(cos φ，sin φ)，‎ ‎∴a－b＝(cos θ－cos φ，sin θ－sin φ)，‎ ‎∴|a－b|2＝(cos θ－cos φ)2＋(sin θ－sin φ)2‎ ‎＝2－2cos(θ－φ)．‎ ‎∵|θ－φ|＝，∴θ－φ＝±，‎ ‎∴|a－b|2＝2－2cos ＝2－1＝1，或2－2cos＝2－1＝1，‎ ‎∴|a－b|＝1.‎ ‎(2)∵θ＋φ＝，θ∈，‎ ‎∴a·b＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝cos(θ－φ)＝cos，‎ ‎|a＋b|＝ ‎＝2＝2cos，‎ ‎∴f(θ)＝a·b－λ|a＋b|‎ ‎＝cos－2λcos ‎＝2cos2－2λcos－1.‎ 令t＝cos，则t∈，‎ ‎∴g(t)＝2t2－2λt－1‎ ‎＝22－－1.‎ 又1≤λ≤2，≤≤1，‎ ‎∴当t＝时，g(t)有最小值－－1，‎ ‎∴f(θ)的最小值为－－1.‎