2021高考数学一轮复习专练51椭圆含解析理新人教版

2021高考数学一轮复习专练51椭圆含解析理新人教版

专练51　椭圆 命题范围：椭圆的定义、标准方程与简单的几何性质 ‎[基础强化]‎ 一、选择题 ‎1．椭圆＋＝1上一点M到其中一个焦点的距离为3，则点M到另一个焦点的距离为(　　)‎ A．2　B．3‎ C．4 D．5‎ ‎2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为(　　)‎ A．2 B．4 C．6 D．12‎ ‎3．[2019·北京卷]已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　)‎ A．a2＝2b2 B．‎3a2＝4b2‎ C．a＝2b D．‎3a＝4b ‎4．动点P到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和为10，则动点P的轨迹方程是(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎5．已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程是(　　)‎ A.＋＝1‎ B.＋＝1或＋＝1‎ C.＋＝1‎ D.＋＝1或＋＝1‎ ‎6．曲线＋＝1与＋＝1(k<9)的(　　)‎ A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 ‎7．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎8．[2020·西宁一中高三测试]设椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF‎1F2为直角三角形，则△PF‎1F2的面积为(　　)‎ A．3 B．3或 C. D．6或3‎ ‎9．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF‎2F1＝60°，则C的离心率为(　　)‎ A．1－ B．2－ C. D.－1‎ 二、填空题 ‎10．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．‎ ‎11．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为________．‎ ‎12．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥，若△PF‎1F2的面积为9，则b＝________.‎ ‎[能力提升]‎ ‎13．[2019·全国卷Ⅰ]已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)‎ A.＋y2＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎14．[2020·昆明一中高三测试]已知椭圆C: ＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1、A2，且以线段 A‎1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎15．F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．‎ ‎16．[2019·浙江卷]已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．‎ 专练51　椭圆 ‎1．D　∵a＝4，由椭圆的定义知，M到另一个焦点的距离为‎2a－3＝2×4－3＝5.‎ ‎2．B　由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝‎2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝‎2a＋‎2a＝‎4a＝4.‎ ‎3．B　由题意得，＝，∴＝，又a2＝b2＋c2，∴＝，＝，∴4b2＝‎3a2.故选B.‎ ‎4．B　依题意，动点P的轨迹是椭圆，且焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，由c＝4,‎2a＝10，即a＝5，得b＝＝3，则椭圆方程为＋＝1.‎ ‎5．B　∵‎2a＝8，∴a＝4，e＝，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.‎ ‎6．D　∵c2＝25－k－(9－k)＝16，∴c＝4，‎ ‎∴两曲线的焦距相等．‎ ‎7．C　由题可知椭圆的焦点落在x轴上，c＝2，‎ ‎∴a2＝4＋c2＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.‎ ‎8．C　由已知a＝2，b＝，c＝1，‎ 若P为短轴的顶点(0，)时，∠F1PF2＝60，△PF‎1F2为等边三角形，‎ ‎∴∠P不可能为直角，‎ 若∠F1＝90°，则|PF1|＝＝，‎ S△PF‎1F2＝··‎2c＝.‎ ‎9．D　‎ 不妨设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，‎ ‎∵∠PF‎2F1＝60，∴|F‎1F2|＝‎2c，∴|PF2|＝c，‎ ‎|PF1|＝c，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c＝‎2a.‎ ‎∴e＝＝＝－1.‎ ‎10．(3,4)∪(4,5)‎ 解析：由题意可知 解得3b>0)，连接F‎1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝‎2m，|BF1|＝‎3m.由椭圆的定义知，‎4m＝‎2a，得m＝，故|F‎2A|＝a＝|F‎1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.故选B.‎ ‎14．A　由题意得(0,0)到直线bx－ay＋2ab＝0的距离为a，∴＝a，∴a2＋b2＝4b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴＝，∴e＝.‎ ‎15. 解析：设P0为椭圆＋＝1的上顶点，由题意得∠F1P‎0F2≥90°，‎ ‎∴∠OP‎0F2≥45°，∴≥sin45°，∴e≥，‎ 又00)，由题意知F(－2,0)，所以线段FP的中点M在圆x2＋y2＝4上，所以2＋2＝4，又点P(m，n)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，所以‎4m2‎－‎36m－63＝0，所以m＝－或m＝(舍去)，n＝，所以kPF＝＝.‎ 优解：如图，取PF的中点M，连接OM，‎ 由题意知|OM|＝|OF|＝2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1，在△PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|＝4，由椭圆的定义知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2.‎ 因为M为PF的中点，所以|MF|＝1.在等腰三角形OMF中，过O作OH⊥MF于点H，所以|OH|＝＝，所以kPF＝tan∠HFO＝＝.‎