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文档介绍
【数学】2019届一轮复习人教A版简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案
第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 2.理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 2017·北京卷,13 2017·山东卷,3 2016·浙江卷,4 2015·全国卷Ⅰ,3 1.含有逻辑联结词的命题的真假判断,常结合函数、不等式、三角形问题等其他知识考查. 2.全称命题的否定,特称命题的否定. 3.常以不等式、函数为载体判断命题真假,或已知命题真假求参数的取值范围. 分值:5分 1.命题p∧q,p∨q,¬p的真值表 p q p∧q p∨q ¬p 真 真 __真__ __真__ __假__ 真 假 __假__ __真__ __假__ 假 真 __假__ __真__ __真__ 假 假 __假__ __假__ __真__ 2.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 __∀__ 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 __∃__ 3.全称命题和特称命题 名称 形式 全称命题 特称命题 结构 对M中的任意一个x,有p(x)成立 存在M中的一个x0,使p(x0)成立 简记 __∀x∈M,p(x)__ __∃x0∈M,p(x0)__ 否定 __∃x0∈M__,¬p(x0) __∀x∈M__,¬p(x) 4.含逻辑联结词命题的真假判断 (1)p∧q中一假则假,全真才真. (2)p∨q中一真则真,全假才假. (3)p与¬p真假性相反. 5.必会结论 (1)“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”;“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”. (2)“且”“或”“非”三个逻辑联结词对应着集合中的“交”“并”“补”,所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理. 1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)命题“5>6或5>2”是假命题.( × ) (2)p∧q为真的充分必要条件是p为真或q为真.( × ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( × ) (4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”.( × ) 解析 (1)错误.命题p∨q中有一真,则p∨q为真. (2)错误.p∧q为真,则p,q同时为真. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”可叙述为“任意长方形的对角线相等”,是全称命题. (4)错误.“菱形的对角线相等”是全称命题,其否定为“有的菱形的对角线不相等”. 2.下列命题中的假命题是( C ) A.∃x∈R,lg x=0 B.∃x∈R,tan x=1 C.∀x∈R,x3>0 D.∀x∈R,2x>0 解析 当x=1时,lg x=0;当x=时,tan x=1,所以A项,B项均为真命题,显然D项为真命题.当x=0时,x3=0,所以C项为假命题,故选C. 3.已知命题p:若实数x,y满足x2+y2=0,则x,y全为0;命题q:若a>b,则<.给出下列四个命题: ①p且q;②p或q;③¬p;④¬q. 其中真命题的个数是( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ∵命题p为真命题,q为假命题,∴p或q,¬q为真命题,故选B. 4.已知命题p:∃n∈N,2n>1 000,则¬p为( A ) A.∀n∈N,2n≤1 000 B.∀n∈N,2n>1 000 C.∃n∈N,2n≤1 000 D.∃n∈N,2n<1 000 解析 由于特称命题的否定是全称命题,因而¬p:∀n∈N,2n≤1 000,故选A. 5.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A ) A.(¬p)∨(¬q) B.p∨(¬q) C.(¬p)∧(¬q) D.p∨q 解析 因为p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则 ¬p是“甲没有降落在指定范围”,¬q是“乙没有降落在指定范围”,所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬p)∨(¬q),故选A. 一 含逻辑联结词命题的真假判断 (1)判断含有逻辑联结词命题真假的步骤: ①先判断简单命题p,q的真假. ②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假. (2)含逻辑联结词命题真假的等价关系: ①p∨q真⇔p,q至少有一个真⇔(¬p)∧(¬q)假. ②p∨q假⇔p,q均假⇔(¬p)∧(¬q)真. ③p∧q真⇔p,q均真⇔(¬p)∨(¬q)假. ④p∧q假⇔p,q至少有一个假⇔(¬p)∨(¬q)真. ⑤¬p真⇔p假;¬p假⇔p真. 【例1】 (1)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是( C ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ (2)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的__必要不充分__条件. 解析 (1)当x>y时,-x<-y,故命题p为真命题,从而¬p为假命题.当x>y时,x2>y2不一定成立,故命题q为假命题,从而¬q为真命题.由真值表知,①p∧q为假命题;②p∨q为真命题;③p∧(¬q)为真命题;④(¬p)∨q为假命题. (2)p或q为真命题p且q为真命题;p且q为真命题⇒p或q为真命题. 二 全称命题与特称命题 (1)全称命题与特称命题真假的判断方法: 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 假 所有对象使命题假 否定为真 (2)全称命题与特称命题的否定: ①否定量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行否定. ②否定结论:对原命题的结论进行否定. 【例2】 (1)(2017·山东卷)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是( B ) A.p∧q B.p∧¬q C.¬p∧q D.¬p∧¬q (2)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( D ) A.全等三角形的面积不一定都相等 B.不全等三角形的面积不一定都相等 C.存在两个不全等三角形的面积相等 D.存在两个全等三角形的面积不相等 解析 (1)当x>0时,x+1>1,因此ln (x+1)>0,即p为真命题;取a=1,b=-2,这时满足a>b,显然a2>b2不成立,因此q为假命题.易知B项为真命题. (2)命题是省略量词的全称命题,故选D. 【例3】 (1)下列命题中的假命题是( B ) A.∀x∈R,2x-1>0 B.∀x∈N*,(x-1)2>0 C.∃x0∈R,ln x0<1 D.∃x0∈R,tan x0=2 (2)已知命题p:∀x>0,x+≥4;命题q:∃x0∈(0,+∞),2x0=,则下列判断正确的是( C ) A.p是假命题 B.q是真命题 C.p∧(¬q)是真命题 D.(¬p)∧q是真命题 解析 (1)因为2x-1>0,对∀x∈R恒成立,所以A项是真命题;当x=1时,(x-1)2= 0,所以B项是假命题;存在0查看更多
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