【数学】2019届一轮复习人教A版简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

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文档介绍

【数学】2019届一轮复习人教A版简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.‎ ‎2.理解全称量词与存在量词的意义.‎ ‎3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ ‎2017·北京卷,13‎ ‎2017·山东卷,3‎ ‎2016·浙江卷,4‎ ‎2015·全国卷Ⅰ,3‎ ‎1.含有逻辑联结词的命题的真假判断,常结合函数、不等式、三角形问题等其他知识考查.‎ ‎2.全称命题的否定,特称命题的否定.‎ ‎3.常以不等式、函数为载体判断命题真假,或已知命题真假求参数的取值范围.‎ 分值:5分 ‎1.命题p∧q,p∨q,¬p的真值表 p q p∧q p∨q ‎¬p 真 真 ‎__真__‎ ‎__真__‎ ‎__假__‎ 真 假 ‎__假__‎ ‎__真__‎ ‎__假__‎ 假 真 ‎__假__‎ ‎__真__‎ ‎__真__‎ 假 假 ‎__假__‎ ‎__假__‎ ‎__真__‎ ‎2.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ‎__∀__‎ 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 ‎__∃__‎ ‎3.全称命题和特称命题 名称 形式  ‎ 全称命题 特称命题 结构 对M中的任意一个x,有p(x)成立 存在M中的一个x0,使p(x0)成立 简记 ‎__∀x∈M,p(x)__‎ ‎__∃x0∈M,p(x0)__‎ 否定 ‎__∃x0∈M__,¬p(x0)‎ ‎__∀x∈M__,¬p(x)‎ ‎4.含逻辑联结词命题的真假判断 ‎(1)p∧q中一假则假,全真才真.‎ ‎(2)p∨q中一真则真,全假才假.‎ ‎(3)p与¬p真假性相反.‎ ‎5.必会结论 ‎(1)“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”;“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”.‎ ‎(2)“且”“或”“非”三个逻辑联结词对应着集合中的“交”“并”“补”,所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理.‎ ‎1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).‎ ‎(1)命题“5>6或5>‎2”‎是假命题.( × )‎ ‎(2)p∧q为真的充分必要条件是p为真或q为真.( × )‎ ‎(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( × )‎ ‎(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”.( × )‎ 解析 (1)错误.命题p∨q中有一真,则p∨q为真.‎ ‎(2)错误.p∧q为真,则p,q同时为真.‎ ‎(3)错误.命题“长方形的对角线相等”可叙述为“任意长方形的对角线相等”,是全称命题.‎ ‎(4)错误.“菱形的对角线相等”是全称命题,其否定为“有的菱形的对角线不相等”.‎ ‎2.下列命题中的假命题是( C )‎ A.∃x∈R,lg x=0    B.∃x∈R,tan x=1‎ C.∀x∈R,x3>0    D.∀x∈R,2x>0‎ 解析 当x=1时,lg x=0;当x=时,tan x=1,所以A项,B项均为真命题,显然D项为真命题.当x=0时,x3=0,所以C项为假命题,故选C.‎ ‎3.已知命题p:若实数x,y满足x2+y2=0,则x,y全为0;命题q:若a>b,则<.给出下列四个命题:‎ ‎①p且q;②p或q;③¬p;④¬q.‎ 其中真命题的个数是( B )‎ A.1    B.‎2 ‎  ‎ C.3    D.4‎ 解析 ∵命题p为真命题,q为假命题,∴p或q,¬q为真命题,故选B.‎ ‎4.已知命题p:∃n∈N,2n>1 000,则¬p为( A )‎ A.∀n∈N,2n≤1 000    B.∀n∈N,2n>1 000‎ C.∃n∈N,2n≤1 000    D.∃n∈N,2n<1 000‎ 解析 由于特称命题的否定是全称命题,因而¬p:∀n∈N,2n≤1 000,故选A.‎ ‎5.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )‎ A.(¬p)∨(¬q)    B.p∨(¬q)‎ C.(¬p)∧(¬q)    D.p∨q 解析 因为p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则 ¬p是“甲没有降落在指定范围”,¬q是“乙没有降落在指定范围”,所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬p)∨(¬q),故选A.‎ 一 含逻辑联结词命题的真假判断 ‎(1)判断含有逻辑联结词命题真假的步骤:‎ ‎①先判断简单命题p,q的真假.‎ ‎②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假.‎ ‎(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系:‎ ‎①p∨q真⇔p,q至少有一个真⇔(¬p)∧(¬q)假.‎ ‎②p∨q假⇔p,q均假⇔(¬p)∧(¬q)真.‎ ‎③p∧q真⇔p,q均真⇔(¬p)∨(¬q)假.‎ ‎④p∧q假⇔p,q至少有一个假⇔(¬p)∨(¬q)真.‎ ‎⑤¬p真⇔p假;¬p假⇔p真.‎ ‎【例1】 (1)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是( C )‎ A.①③    B.①④   ‎ C.②③    D.②④‎ ‎(2)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的__必要不充分__条件.‎ 解析 (1)当x>y时,-x<-y,故命题p为真命题,从而¬p为假命题.当x>y时,x2>y2不一定成立,故命题q为假命题,从而¬q为真命题.由真值表知,①p∧q为假命题;②p∨q为真命题;③p∧(¬q)为真命题;④(¬p)∨q为假命题.‎ ‎(2)p或q为真命题p且q为真命题;p且q为真命题⇒p或q为真命题.‎ 二 全称命题与特称命题 ‎(1)全称命题与特称命题真假的判断方法:‎ 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 假 所有对象使命题假 否定为真 ‎ (2)全称命题与特称命题的否定:‎ ‎①否定量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行否定.‎ ‎②否定结论:对原命题的结论进行否定.‎ ‎【例2】 (1)(2017·山东卷)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是( B )‎ A.p∧q    B.p∧¬q C.¬p∧q    D.¬p∧¬q ‎(2)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( D )‎ A.全等三角形的面积不一定都相等 B.不全等三角形的面积不一定都相等 C.存在两个不全等三角形的面积相等 D.存在两个全等三角形的面积不相等 解析 (1)当x>0时,x+1>1,因此ln (x+1)>0,即p为真命题;取a=1,b=-2,这时满足a>b,显然a2>b2不成立,因此q为假命题.易知B项为真命题.‎ ‎(2)命题是省略量词的全称命题,故选D.‎ ‎【例3】 (1)下列命题中的假命题是( B )‎ A.∀x∈R,2x-1>0    B.∀x∈N*,(x-1)2>0‎ C.∃x0∈R,ln x0<1    D.∃x0∈R,tan x0=2‎ ‎(2)已知命题p:∀x>0,x+≥4;命题q:∃x0∈(0,+∞),2x0=,则下列判断正确的是( C )‎ A.p是假命题    B.q是真命题 C.p∧(¬q)是真命题    D.(¬p)∧q是真命题 解析 (1)因为2x-1>0,对∀x∈R恒成立,所以A项是真命题;当x=1时,(x-1)2=‎ ‎0,所以B项是假命题;存在00时,x+≥2=4,p是真命题;当x>0时,2x>1,q是假命题,所以p∧(¬q)是真命题,(¬p)∧q是假命题.‎ 三 根据命题的真假求参数的取值范围 根据命题的真假求参数取值范围的求解策略 ‎(1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)简单命题的真假,求出此时命题成立的参数的取值范围,再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围.‎ ‎(2)全称命题可转化为恒成立问题.‎ ‎【例4】 已知命题p:函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有1个零点,命题q:函数y=x2+(‎2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点,如果p∧q是假命题,p∨q是真命题,求a的取值范围.‎ 解析 若命题p为真,则函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有1个零点.因为二次函数图象开口向上,对称轴为x=1,‎ 所以所以00,得‎4a2-‎12a+5>0,‎ 解得a<或a>.‎ 因为p∧q是假命题,p∨q是真命题,所以p,q一真一假.‎ ‎①若p真q假,则所以≤a<1;‎ ‎②若p假q真,则所以a≤0或a>.‎ 故实数a的取值范围是(-∞,0]∪∪.‎ ‎1.(2018·四川资阳模拟)下列命题,为真命题的是( D )‎ A.∃x∈R,x2≤x-2‎ B.∀x∈R,2x>2-x2‎ C.函数f(x)=是定义域上的减函数 D.“被2整除的整数都是偶数”的否定是“至少存在一个被2整除的整数不是偶数”‎ 解析 x2-x+2=2+>0,即x2>x-2,故A项错误;当x=0时,20<2-02,故B项错误;函数f(x)=在其定义域上不是单调函数,故C项错误,只有D项正确.‎ ‎2.(2018·河南许昌二模)命题“∀x≥0且x∈R,2x>x‎2”‎的否定是( C )‎ A.∃x0≥0且x0∈R,2x0>x B.∀x≥0且x∈R,2x≤x2‎ C.∃x0≥0且x0∈R,2x0≤x D.∃x0<0且x0∈R,2x0≤x 解析 因为命题是全称命题,根据全称命题的否定是特称命题,所以命题的否定为:∃x0≥0且x0∈R,2x0≤x,故选C.‎ ‎3.若命题“∃x0∈R,x-2x0+m≤‎0”‎是假命题,则实数m的取值范围是__(1,+∞)__.‎ 解析 由题意,命题“∀x∈R,x2-2x+m>‎0”‎是真命题,故Δ=(-2)2-‎4m<0,即m>1.‎ ‎4.(2018·河北邯郸一模)已知三个命题p,q,m中只有一个是真命题,课堂上老师给出了三个判断:A:p是真命题;B:p∨q是假命题;C:m是真命题.老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的,那么三个命题q,p,m中的真命题是__m__.‎ 解析 ①若A是错误的,则p是假命题,q是假命题,m是真命题,满足条件;②若B是错误的,则p是真命题,m是真命题,不满足条件;③若C是错误的,则p是真命题,p∨q不可能是假命题,不满足条件.故真命题是m.‎ 易错点1 混淆否命题与命题的否定 错因分析:否命题既要否定条件,又要否定结论,而命题的否定只否定结论.‎ ‎【例1】 写出命题“若a2+b2=0,则实数a,b全为零”的否定及否命题.‎ 解析 命题的否定:若a2+b2=0,则实数a,b不全为零.‎ 命题的否命题:若a2+b2≠0,则实数a,b不全为零.‎ ‎【跟踪训练1】 命题p的否定是“对所有正数x,>x+‎1”‎,则命题p可写为!!! ∃x0∈(0,+∞),≤x0+1 ###.‎ 解析 因为p是¬p的否定,所以只需将全称命题变为特称命题,再对结论否定即可.‎ 易错点2 不会判断全称命题、特称命题的真假 错因分析:判断全称命题为真时需给出严格的证明,为假时只需举出一个反例;判断特 称命题为真时,只需找出满足的一个对象,为假时可用反证法.‎ ‎【例2】 下列命题中,真命题是(  )‎ A.∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数 B.∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数 C.∀m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数 D.∀m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数 解析 当m=0时,f(x)=x2是偶函数,故A项正确D项错误.当m=1时,f(x)=x2+x是非奇非偶函数,故C项错误.又y=x2是偶函数,则f(x)=x2+mx不可能是奇函数,故B项错误.‎ 答案 A ‎【跟踪训练2】 给出以下命题:①∀x∈R,|x|>x;②∃α∈R,sin 3α=3sin α;③∀x∈R,x>sin x ;④∃x∈(0,+∞),xx,④错.故正确命题的序号只有②.‎ 课时达标 第3讲 ‎[解密考纲]本考点考查命题及其相互关系,全称命题和特称命题的互化,尤其是后者,频繁出现在高考题中,常以选择题、填空题的形式呈现.‎ 一、选择题 ‎1.已知命题p:∀x>0,总有ex≥1,则¬p为( B )‎ A.∃x0≤0,使得ex0<1   B.∃x0>0,使得ex0<1‎ C.∀x>0,总有ex<1     D.∀x≤0,总有ex<1‎ 解析 因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题p:∀x>0,总有ex≥1的否定为¬p:∃x0>0,使得ex0<1.故选B.‎ ‎2.已知命题p:∃x0∈R,tan x0=1;命题q:∀x∈R,x2>0.下面结论正确的是( D )‎ A.命题“p∧q”是真命题 B.命题“p∧¬q”是假命题 C.命题“(¬p)∨q”是真命题 D.命题“(¬p)∧(¬q)”是假命题 解析 取x0=,有tan=1,故命题p是真命题;当x=0时,x2=0,故命题q是假命题.再根据复合命题的真值表,知D项是正确的.‎ ‎3.(2018·河南模拟)已知函数f(x)=x2-2ax+‎2a2-2(a≠0),g(x)=-ex-,则下列命题 为真命题的是( B )‎ A.∀x∈R,都有f(x)<g(x) B.∀x∈R,都有f(x)>g(x)‎ C.∃x0∈R,使得f(x0)<g(x0) D.∃x0∈R,使得f(x0)=g(x0)‎ 解析 函数f(x)=x2-2ax+‎2a2-2=(x-a)2+a2-2≥a2-2>-2,g(x)=-ex-=-≤-2,显然∀x∈R,都有f(x)>g(x),故选B.‎ ‎4.命题“∃x∈R,使x2+ax-‎4a<0为假命题”是命题“-16≤a≤‎0”‎的( A )‎ A.充要条件    B.必要不充分条件 C.充分不必要条件     D.既不充分也不必要条件 解析 依题意,知x2+ax-‎4a≥0恒成立,则Δ=a2+‎16a≤0,解得-16≤a≤0,故选A.‎ ‎5.(2018·山东枣庄模拟)命题p:x∈R,ax2+ax+1≥0,若¬p是真命题,则实数a的取值范围是( D )‎ A.(0,4]     B.[0,4]‎ C.(-∞,0)∪[4,+∞)     D.(-∞,0)∪(4,+∞)‎ 解析 命题p的否定是¬p:∃x∈R,ax2+ax+1<0成立,即关于x的不等式ax2+ax+1<0有解.当a=0时,1<0,不等式不成立;当a>0时,要使不等式有解,须a2-‎4a>0,解得a>4或a<0,即a>4;当a<0时,不等式一定有解,即a<0.综上,a的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞),故选D.‎ ‎6.(2018·河南开封一模)已知命题p1:∀x∈(0,+∞),有3x>2x,p2:∃θ∈R,sin θ+cos θ=,则在命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(¬p1)∨p2和q4:p1∧(¬p2)中,真命题是( C )‎ A.q1,q3    B.q2,q‎3 ‎  ‎ C.q1,q4    D.q2,q4‎ 解析 因为y=x在R上是增函数,即y=x>1在(0,+∞)上恒成立,所以p1是真命题;sin θ+cos θ=sin≤,所以命题p2是假命题,¬p2是真命题,所以命题q1:p1∨p2,q4:p1∧(¬p2)是真命题,故选C.‎ 二、填空题 ‎7.(2017·北京卷)能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为__-1,-2,-3(答案不唯一)__.‎ 解析 因为“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题,则它的否定“设存在实数a,b,c.若a>b>c,则a+b≤c”是真命题.‎ 由于a>b>c,所以a+b>‎2c,又a+b≤c,所以c<0.‎ 因此a,b,c依次可取整数-1,-2,-3,满足a+b≤c.‎ ‎8.(2018·四川成都模拟)已知函数f(x)的定义域为(a,b),若“∃x0∈(a,b),f(x0)+f(-x0)≠‎0”‎是假命题,则f(a+b)=__0__. ‎ 解析 若“∃x0∈(a,b),f(x0)+f(-x0)≠‎0”‎是假命题,则“∀x∈(a,b),f(x)+f(-x)=‎0”‎是真命题,即f(-x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数,则a+b=0,即f(a+b)=0.‎ ‎9.命题“∃x∈R,2x2-3ax+9<‎0”‎为假命题,则实数a的取值范围是!!! [-2,2] ###.‎ 解析 由题意知“∀x∈R,2x2-3ax+9≥‎0”‎为真命题,‎ 所以Δ=(-‎3a)2-4×2×9≤0,解得-2≤a≤2.‎ 三、解答题 ‎10.(2018·河北衡水调研)已知a∈R,命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+2-a=0.‎ ‎(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.‎ 解析 (1)由命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥‎0”‎为真,得a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].‎ ‎(2)由(1)可知,命题p为真时,a≤1,‎ 命题q为真时,Δ=‎4a2-4(2-a)≥0,解得a≤-2或a≥1.‎ 因为命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,所以命题p与命题q一真一假,‎ 当命题p为真,命题q为假时,⇒-2<a<1,‎ 当命题p为假,命题q为真时,⇒a>1.‎ 综上,实数a的取值范围是(-2,1)∪(1,+∞).‎ ‎11.设命题p:函数f(x)=lg(x2-4x+a2)的定义域为R;命题q:对任意m∈[-1,1],不等式a2-‎5a-3≥恒成立;如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.‎ 解析 命题p:f(x)=lg(x2-4x+a2)的定义域为R⇒‎ Δ=16-‎4a2<0⇒a>2或a<-2.‎ 命题q:∵m∈[-1,1],∴ ∈[2 ,3].‎ ‎∵对任意m∈[-1,1],不等式a2-‎5a-3≥恒成立,‎ ‎∴只须满足a2-‎5a-3≥3,解得a≥6或a≤-1. ‎ ‎∵命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,则p与q一真一假.‎ ‎①若p真q假,则⇒2<a<6;‎ ‎②若p假q真,则⇒-2≤a≤-1,‎ 综上,a的取值范围为[-2,-1]∪(2,6).‎ ‎12.(2018·湖北孝感调研)命题p:f(x)=-x2+2ax+1-a,在[0,1]上的最大值不超过2,命题q:正数x,y满足x+2y=8,且a≤+恒成立,若p∨(¬q)为假命题,求实数a的取值范围.‎ 解析 ∵f(x)=-(x-a)2+a2-a+1,∴f(x)在(-∞,a)上递增,在(a,+∞)上递减.‎ 当a≤0时,f(x)在[0,1]上递减,f(x)max=f(0)=1-a≤2,‎ 解得-1≤a≤0;‎ 当0
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