数学北师大版（2019）必修第二册：2-6-1-三-第1课时 三角形中的几何计算 学案与作业
三、用余弦定理、正弦定理解三角形
第 1 课时 三角形中的几何计算
(15 分钟 30 分)
1.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的外接圆半径为
3,a=3,则角 A 等于( )
A.30° B.60°
C.60°或 120° D.30°或 150°
【解析】选 D.根据正弦定理 =2R,
所以 sin A= = = ,
因为 0°
0,解得 x=16,即 BD=16.
(2)因为 AD⊥CD,所以∠ADC=90°,
故∠BDC=∠ADC-∠BDA=90°-60°=30°,
在△BCD 中,由正弦定理 = ,
得 BC= = =8 .
(30 分钟 60 分)
一、单选题(每小题 5 分,共 20 分)
1.设△ABC 的三条边分别为 a,b,c,三角形面积为 S= ,则 C 为
( )
A. B. C. D.
【解析】选 C.根据面积公式得 S= absin C,故 absin C= ,解得
tan C=1,由于 0b,
即 A 为钝角或锐角,所以 cos A=± =± .
当 A 为锐角时,sin C=sin(A+B)= × + × = ,
所以 S△ABC= absin C= ×8×7× =10 .
当 A 为钝角时,sin C=sin(A+B)= × - × = ,
所以 S△ABC= absin C= ×8×7× =6 .
则此三角形的面积为 6 或 10 .
【误区警示】本题在求解过程中,由 sin A= 确定角 A 大小时,易漏掉
A 为钝角的情况.
二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3
分,有选错的得 0 分)
5.三角形有一个角是 60°,相邻两边长分别为 8 和 5,则下列结论正确
的是
( )
A.三角形另一边长为 7
B.三角形周长为 20
C.三角形内切圆周长为 3π
D.三角形外接圆面积为
【解析】选 ABD.根据余弦定理可得 82+52-2×8×5×cos 60°=49,
即另一边长为 7,故该三角形周长为 20,故 A,B 正确;
设内切圆半径为 r,
则 (8+7+5)r= ×8×5×sin 60°,解得 r= ,故内切圆周长为 2π
r=2 π,C 不正确;
设外接圆半径为 R,则 2R= ,
解得 R= ,其面积为πR2= .
6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a∶b∶c=4∶5∶6,
则下列结论正确的是( )
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B.△ABC 是钝角三角形
C.△ABC 为直角三角形
D.若 c=6,则△ABC 外接圆半径为
【解析】选 AD.由 a∶b∶c=4∶5∶6,
可设 a=4m,b=5m,c=6m(m>0),
根据正弦定理可知 sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,故 A 正确;
因为 cos C= = = >0,故最大角 C 为锐角,故 BC
错误;
若 c=6,可得 2R= = = ,
所以△ABC 外接圆半径为 ,故 D 正确.
【光速解题】本题可直接令边长分别为 4,5,6.
三、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
7.已知等腰三角形的底边长为 6,一腰长为 12,则它的内切圆面积
为 .
【解题指南】利用等面积转化,即 S= (a+b+c)·r= bcsin A,即可求出
内切圆半径 r,进而求出内切圆面积.
【解析】不妨设三边长为 a,b,c,且 a=6,b=c=12,
由余弦定理 cos A= = = ,
所以 sin A= = .
由 (a+b+c)·r= bcsin A,得 r= ,
所以 S 内切圆=πr2= .
答案:
【补偿训练】
在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,已知 A=60°,b=4,△ABC
的面积为 3 ,则 a= .
【解析】因为 S= bcsin A=3 ,
所以 ×4c× =3 ,
解 得 c=3,故 a2=b2+c2-2bccos A=16+9-2× 4× 3× =25-12=13,所以
a= .
答案:
8. 在 ▱ ABCD 中 ,AB=6,AD=3,∠BAD=60°, 则 ▱ ABCD 的 对 角 线 AC 长
为 ,其面积为 .
【解析】在▱ABCD 中,连接 AC,
则 CD=AB=6,∠ADC=180°-∠BAD=180°-60°=120°.
根据余弦定理 AC=
= =3 .
S▱ ABCD=2S△ABD=AB·AD·sin∠BAD=6×3sin 60°=9 .
答案:3 9
四、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.已知 AB⊥BD,AC⊥CD,AC=1,AB=2,∠BAC=120°,求 BD 的长.
【解析】如图,连接 BC.
BC= = .
在△ABC 中,由正弦定理知: = ,所以 sin∠ACB= .
又因为∠ACD=90°,
所以 cos∠BCD= ,sin∠BCD= ,
由 AB⊥BD,AC⊥CD,∠BAC=120°得∠BDC=60°.
由正弦定理得 BD= = = .
10.已知四边形 ABCD 中,AB=2,BC=CD=4,DA=6,且 D=60°,试求四边形
ABCD 的面积.
【解析】连接 AC,在△ACD 中,
由 AD=6,CD=4,D=60°,
可得 AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos D=62+42-2×6×4×cos 60°=28.
在△ABC 中,由 AB=2,BC=4,AC2=28,
可得 cos B= = =- ,
又 0°
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