【数学】2020届一轮复习（文）通用版9-3椭圆及其性质作业
§9.3 椭圆及其性质
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
椭圆的定
义及其标
准方程
①掌握椭圆的定义,并会用椭圆的定义解题;②掌握椭圆的几何图形和标准方程,并会用待定系数法求椭圆的方程
2018天津,19,14分
椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系
椭圆的几何性质,直线方程
★★☆
2014辽宁,15,5分
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的几
何性质
①掌握椭圆的几何性质,并会熟练运用;②理解椭圆离心率的定义,并会求椭圆的离心率
2018课标全国Ⅱ,11,5分
椭圆的离心率
椭圆的定义,焦点三角形
★★★
2018课标全国Ⅰ,4,5分
椭圆的离心率
椭圆的标准方程
2017课标全国Ⅰ,12,5分
椭圆的几何性质
—
直线与椭
圆的位
置关系
①掌握直线与椭圆位置关系的判断方法;②理解“整体代换”思想的含义,并能通过直线与椭圆位置关系解答相应问题
2018课标全国Ⅲ,20,12分
椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系
弦中点,向量的运算,弦长问题
★★★
分析解读 从近几年的高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,因此要求学生在备考复习时做到以下内容:①能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程;②能熟练运用椭圆的几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率等)解决相关问题;③能够把直线与椭圆的位置关系问题转化为方程组解的问题,从而判断其位置关系,解决相关问题.在解答题中常以椭圆的方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系为主,同时与向量、函数、不等式等知识综合起来进行考查的命题趋势逐渐加强,备考时应加以重视.
破考点
【考点集训】
考点一 椭圆的定义及其标准方程
1.(2019届湖北重点中学第一次调研,11)点P是椭圆x29+y25=1上的点,F1、F2是椭圆的左、右焦点,则△PF1F2的周长是( )
A.12 B.10 C.8 D.6
答案 B
2.(2017湖南长沙一模,5)椭圆的焦点在x轴上,中心在原点,其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为( )
A.x22+y22=1 B.x22+y2=1
C.x24+y22=1 D.y24+x22=1
答案 C
3.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:x29+y24=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .
答案 12
考点二 椭圆的几何性质
1.(2019届四川顶级名校10月联考,6)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和直线l:x4+y3=1,若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行,则椭圆C的离心率为( )
A.45 B.35 C.34 D.15
答案 A
2.(2018河南百校联盟12月联考,5)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线x=b在第一象限交于点P,若直线OP的倾斜角为30°,则椭圆C的离心率为( )
A.13 B.33 C.63 D.23
答案 B
3.(2018四川凉山州模拟,4)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则该椭圆的离心率是( )
A.13 B.33 C.34 D.223
答案 D
4.(2018湖北武汉模拟,4)曲线x225+y29=1与曲线x225-k+y29-k=1(k<9)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
答案 D
5.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )
A.3 B.6 C.9 D.12
答案 B
考点三 直线与椭圆的位置关系
过椭圆x25+y24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 .
答案 53
炼技法
【方法集训】
方法1 求椭圆的标准方程的方法
1.(2018河南郑州二模,4)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为23,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为12,则C的方程为( )
A.x23+y2=1 B.x23+y22=1
C.x29+y24=1 D.x29+y25=1
答案 D
2.(2019届湖南岳阳调研,15)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为 .
答案 x28+y26=1
3.(2018江西赣中南五校联考,15)已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称,线段PF2的垂直平分线m分别与PF1,PF2交于M,N两点,则点M的轨迹方程为 .
答案 x24+y23=1
方法2 求椭圆的离心率(或取值范围)的方法
1.(2017课标全国Ⅲ,11,5分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )
A.63 B.33 C.23 D.13
答案 A
2.(2019届山东济南第一中学11月月考,11)已知F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是椭圆上位于第一象限内的点,延长PF2交椭圆于点Q,若PF1⊥PQ,且|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为( )
A.2-2 B.3-2
C.2-1 D.6-3
答案 D
3.(2018河北衡水中学六调,10)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为M,N,若在椭圆C上存在点H,使kMHkNH∈-12,0,则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A.22,1 B.0,22 C.32,1 D.0,32
答案 A
4.(2019届河南洛阳期中检测,12)已知F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上一点,O为坐标原点,且(OP+OF2)·F2P=0,|PF1|=2|PF2|,则该椭圆的离心率为( )
A.55 B.54 C.53 D.52
答案 C
方法3 解决弦中点问题的方法
1.(2017河北百校联盟联考,14)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆C2:y2a2+x2b2=1(a>b>0)相交于A、B、C、D四点,若椭圆C1的一个焦点为F(-2,0),且四边形ABCD的面积为163,则椭圆C1的离心率e为 .
答案 22
2.已知中心在原点,一焦点为F(0,4)的椭圆被直线l:y=3x-2截得的弦的中点横坐标为12,则此椭圆的方程为 .
答案 y224+x28=1
过专题
【五年高考】
A组 统一命题·课标卷题组
考点一 椭圆的定义及其标准方程
(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为43,则C的方程为( )
A.x23+y22=1 B.x23+y2=1
C.x212+y28=1 D.x212+y24=1
答案 A
考点二 椭圆的几何性质
1.(2018课标全国Ⅰ,4,5分)已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )
A.13 B.12 C.22 D.223
答案 C
2.(2017课标全国Ⅰ,12,5分)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞)
答案 A
3.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( )
A.13 B.12 C.23 D.34
答案 B
4.(2016课标全国Ⅲ,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
A.13 B.12 C.23 D.34
答案 A
5.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
解析 (1)根据c=a2-b2及题设知Mc,b2a,2b2=3ac.
将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=12或ca=-2(舍去).
故C的离心率为12.
(2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故b2a=4,即b2=4a,①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
设N(x1,y1),由题意知y1<0,则
2(-c-x1)=c,-2y1=2,即x1=-32c,y1=-1.
代入C的方程,得9c24a2+1b2=1.②
将①及c=a2-b2代入②得9(a2-4a)4a2+14a=1.
解得a=7,b2=4a=28.故a=7,b=27.
考点三 直线与椭圆的位置关系
1.(2018课标全国Ⅲ,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:x24+y23=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).
(1)证明:k<-12;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP+FA+FB=0.证明:2|FP|=|FA|+|FB|.
解析 本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系.
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x124+y123=1,x224+y223=1.
两式相减,并由y1-y2x1-x2=k得
x1+x24+y1+y23·k=0.
由题设知x1+x22=1,y1+y22=m,于是k=-34m.
由题设得0
0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,证明:30.
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为π4.
又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)
将x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0.
解得y=0或y=127,所以y1=127.
因此△AMN的面积S△AMN=2×12×127×127=14449.(4分)
(2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入x24+y23=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.
由x1·(-2)=16k2-123+4k2得x1=2(3-4k2)3+4k2,
故|AM|=|x1+2|1+k2=121+k23+4k2.
由题设,直线AN的方程为y=-1k(x+2),
故同理可得|AN|=12k1+k23k2+4.(7分)
由2|AM|=|AN|得23+4k2=k3k2+4,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)
设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点, f '(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)内单调递增.
又f(3)=153-26<0, f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)内有唯一的零点,且零点k在(3,2)内,所以30)的左焦点为F1(-4,0),则m=( )
A.2 B.3 C.4 D.9
答案 B
2.(2018天津,19,14分)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为53,|AB|=13.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.
解析 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c2a2=59,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=a2+b2=13,从而a=3,b=2.
所以,椭圆的方程为x29+y24=1.
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.
易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组2x+3y=6,y=kx,消去y,可得x2=63k+2.由方程组x29+y24=1,y=kx,消去y,可得x1=69k2+4.
由x2=5x1,可得9k2+4=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-89或k=-12.
当k=-89时,x2=-9<0,不合题意,舍去;
当k=-12时,x2=12,x1=125,符合题意.
所以,k的值为-12.
3.(2016天津,19,14分)设椭圆x2a2+y23=1(a>3)的右焦点为F,右顶点为A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O为原点,e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.
解析 (1)设F(c,0),由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,
又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.
所以,椭圆的方程为x24+y23=1.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0),
则直线l的方程为y=k(x-2).
设B(xB,yB),由方程组x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,
整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.
解得x=2,或x=8k2-64k2+3,由题意得xB=8k2-64k2+3,从而yB=-12k4k2+3.
由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3.
由BF⊥HF,得BF·FH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.
因此直线MH的方程为y=-1kx+9-4k212k.
设M(xM,yM),由方程组y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,
解得xM=20k2+912(k2+1).
在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(xM-2)2+yM2=xM2+yM2,化简得xM=1,即20k2+912(k2+1)=1,解得k=-64,或k=64.
所以,直线l的斜率为-64或64.
考点二 椭圆的几何性质
1.(2017浙江,2,4分)椭圆x29+y24=1的离心率是( )
A.133 B.53 C.23 D.59
答案 B
2.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .
答案 63
3.(2014江西,14,5分)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于 .
答案 33
考点三 直线与椭圆的位置关系
1.(2018江苏,18,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点3,12,焦点F1(-3,0),F2(3,0),圆O的直径为F1F2.
(1)求椭圆C及圆O的方程;
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;
②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为267,求直线l的方程.
解析 解法一:(1)因为椭圆C的焦点为F1(-3,0),F2(3,0),
所以可设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
又点3,12在椭圆C上,所以3a2+14b2=1,a2-b2=3,
解得a2=4,b2=1.
因此,椭圆C的方程为x24+y2=1.
因为圆O的直径为F1F2,
所以其方程为x2+y2=3.
(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则x02+y02=3.
所以直线l的方程为y=-x0y0(x-x0)+y0,
即y=-x0y0x+3y0.
由x24+y2=1,y=-x0y0x+3y0消去y,得
(4x02+y02)x2-24x0x+36-4y02=0.(*)
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=(-24x0)2-4(4x02+y02)(36-4y02)=48y02(x02-2)=0.
因为x0,y0>0,所以x0=2,y0=1.
因此,点P的坐标为(2,1).
②因为三角形OAB的面积为267,所以12AB·OP=267,从而AB=427.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由(*)得
x1,2=24x0±48y02(x02-2)2(4x02+y02),
所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+x02y02·48y02(x02-2)(4x02+y02)2.
因为x02+y02=3,
所以AB2=16(x02-2)(x02+1)2=3249,即2x04-45x02+100=0.
解得x02=52(x02=20舍去),则y02=12,因此P的坐标为102,22.
则直线l的方程为y=-5x+32.
解法二:(1)由题意知c=3,所以圆O的方程为x2+y2=3,因为点3,12在椭圆上,
所以2a=(3-3)2+12-02+(3+3)2+12-02=4,所以a=2.
因为a2=b2+c2,所以b=1,
所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)①由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k<0,
设直线l的方程为y=kx+m(k<0,m>0),
将直线l的方程代入圆O的方程,得x2+(kx+m)2=3,
整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,
因为直线l与圆O相切,所以Δ=(2km)2-4(k2+1)·(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3,
将直线l的方程代入椭圆C的方程,得x24+(kx+m)2=1,
整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
因为直线l与椭圆C相切,
所以Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,
整理得m2=4k2+1,
所以3k2+3=4k2+1,因为k<0,所以k=-2,则m=3,
将k=-2,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,
整理得x2-22x+2=0,
解得x1=x2=2,将x=2代入x2+y2=3,
解得y=1(y=-1舍去),所以点P的坐标为(2,1).
②设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),
由①知m2=3k2+3,且k<0,m>0,
因为直线l和椭圆C相交,所以结合②的过程知m2<4k2+1,解得k<-2,
将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
解得x1,2=-8km±44k2+1-m22(4k2+1),
所以|x1-x2|=44k2+1-m24k2+1,
因为AB=(x1-x2)2+(kx1-kx2)2=|x1-x2|k2+1=44k2+1-m24k2+1·k2+1,
O到l的距离d=|m|k2+1=3,
所以S△OAB=12·44k2+1-m24k2+1·k2+1·|m|k2+1
=12·4k2-24k2+1·k2+1·3=267,
解得k2=5,因为k<0,所以k=-5,则m=32,
即直线l的方程为y=-5x+32.
2.(2018北京,20,14分)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若k=1,求|AB|的最大值;
(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q-74,14共线,求k.
解析 (1)由题意得a2=b2+c2,ca=63,2c=22,
解得a=3,b=1.
所以椭圆M的方程为x23+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
由y=x+m,x23+y2=1
得4x2+6mx+3m2-3=0.
所以x1+x2=-3m2,x1x2=3m2-34.
|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=2(x2-x1)2
=2[(x1+x2)2-4x1x2]=12-3m22.
当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为6.
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2).
由题意得x12+3y12=3,x22+3y22=3.
直线PA的方程为y=y1x1+2(x+2).
由y=y1x1+2(x+2),x2+3y2=3,
得[(x1+2)2+3y12]x2+12y12x+12y12-3(x1+2)2=0.
设C(xC,yC).
所以xC+x1=-12y12(x1+2)2+3y12=4x12-124x1+7.
所以xC=4x12-124x1+7-x1=-12-7x14x1+7.
所以yC=y1x1+2(xC+2)=y14x1+7.
设D(xD,yD).
同理得xD=-12-7x24x2+7,yD=y24x2+7.
记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ,
则kCQ-kDQ=y14x1+7-14-12-7x14x1+7+74-y24x2+7-14-12-7x24x2+7+74=4(y1-y2-x1+x2).
因为C,D,Q三点共线,
所以kCQ-kDQ=0.
故y1-y2=x1-x2.
所以直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=1.
C组 教师专用题组
考点一 椭圆的定义及其标准方程
1.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P3,12在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
解析 (1)由已知,a=2b.
又椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P3,12,
故34b2+14b2=1,
解得b2=1.
所以椭圆E的方程是x24+y2=1.
(2)证明:设直线l的方程为y=12x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组x24+y2=1,y=12x+m,得x2+2mx+2m2-2=0,①
方程①的判别式为Δ=4(2-m2),由Δ>0,即2-m2>0,解得-2b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为55.
(1)求直线BF的斜率;
(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.
(i)求λ的值;
(ii)若|PM|sin∠BQP=759,求椭圆的方程.
解析 (1)设F(-c,0).由已知离心率ca=55及a2=b2+c2,可得a=5c,b=2c.
又因为B(0,b),F(-c,0),
故直线BF的斜率k=b-00-(-c)=2cc=2.
(2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).
(i)由(1)可得椭圆的方程为x25c2+y24c2=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=-5c3.
因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-12x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得xQ=40c21.
又因为λ=|PM||MQ|,及xM=0,可得λ=|xM-xP||xQ-xM|=|xP||xQ|=78.
(ii)由(i)有|PM||MQ|=78,所以|PM||PM|+|MQ|=77+8=715,
即|PQ|=157|PM|.
又因为|PM|sin∠BQP=759,
所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=157|PM|sin∠BQP=553.
又因为yP=2xP+2c=-43c,
所以|BP|=0+5c32+2c+4c32=553c,
因此553c=553,得c=1.
所以,椭圆方程为x25+y24=1.
3.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|=2+2,|PF2|=2-2,求椭圆的标准方程;
(2)若|PQ|=λ|PF1|,且34≤λ<43,试确定椭圆离心率e的取值范围.
解析 (1)由椭圆的定义得,2a=|PF1|+|PF2|=(2+2)+(2-2)=4,故a=2.
设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,因此
2c=|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=(2+2)2+(2-2)2=23,即c=3,从而b=a2-c2=1.
故所求椭圆的标准方程为x24+y2=1.
(2)如图,由PF1⊥PQ,|PQ|=λ|PF1|,得
|QF1|=|PF1|2+|PQ|2=1+λ2|PF1|.
由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而
|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a.
于是(1+λ+1+λ2)|PF1|=4a,
解得|PF1|=4a1+λ+1+λ2,
故|PF2|=2a-|PF1|=2a(λ+1+λ2-1)1+λ+1+λ2.
由勾股定理得
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,
从而4a1+λ+1+λ22+2a(λ+1+λ2-1)1+λ+1+λ22=4c2,
两边除以4a2,得
4(1+λ+1+λ2)2+(λ+1+λ2-1)2(1+λ+1+λ2)2=e2.
若记t=1+λ+1+λ2,则上式变成
e2=4+(t-2)2t2=81t-142+12.
由34≤λ<43,并注意到t=1+λ+1+λ2关于λ的单调性,得3≤t<4,即14<1t≤13.
进而12b>0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
解析 (1)由题意得c=5,∵e=ca=53,∴a=3,
∴b=a2-c2=2,
∴椭圆C的标准方程为x29+y24=1.
(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1、k2,
则过P点的切线方程可设为y-y0=k(x-x0)⇒y=kx+y0-kx0,
由y=kx+y0-kx0,x29+y24=1消去y,有(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,
Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)×9[(y0-kx0)2-4]=0,
整理得(9-x02)k2+2x0y0k-y02+4=0,
∴k1k2=4-y029-x02(x0≠±3),
由已知得k1k2=-1,∴4-y029-x02=-1,
∴x02+y02=13,即此时点P的轨迹方程为x02+y02=13.
当两条切线中有一条垂直于x轴时,此时两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程x02+y02=13(x0≠±3).
综上所述,所求P点的轨迹方程为x02+y02=13.
5.(2013课标Ⅰ,21,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
解析 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.
设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,
所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.
由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为x24+y23=1(x≠-2).
(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.
若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=23.
若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,
则|QP||QM|=Rr1,可求得Q(-4,0),
所以可设l:y=k(x+4).
由l与圆M相切得|3k|1+k2=1,
解得k=±24.
当k=24时,将y=24x+2代入x24+y23=1,并整理得7x2+8x-8=0,
解得x1,2=-4±627.
所以|AB|=1+k2|x2-x1|=187.
当k=-24时,由图形的对称性可知|AB|=187.
综上,|AB|=23或|AB|=187.
考点二 椭圆的几何性质
1.(2013课标Ⅱ,5,5分)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )
A.36 B.13 C.12 D.33
答案 D
2.(2012课标全国,4,5分)设F1、F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )
A.12 B.23 C.34 D.45
答案 C 设直线x=32a与x轴交于点Q,由题意得∠PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=32a-c,∴32a-c=12×2c,e=ca=34,故选C.
3.(2011课标,4,5分)椭圆x216+y28=1的离心率为( )
A.13 B.12 C.33 D.22
答案 D
4.(2010全国Ⅰ,16,5分)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且BF=2FD,则C的离心率为 .
答案 33
5.(2017天津,20,14分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为b22.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=32c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.
(i)求直线FP的斜率;
(ii)求椭圆的方程.
解析 (1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得12(c+a)c=b22.
又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.
又因为00),则直线FP的斜率为1m.
由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为x2c+yc=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2,即点Q的坐标为(2m-2)cm+2,3cm+2.由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22,整理得3m2-4m=0,所以m=43,即直线FP的斜率为34.
(ii)由a=2c,可得b=3c,故椭圆方程可以表示为x24c2+y23c2=1.
由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y,
整理得7x2+6cx-13c2=0,
解得x=-13c7(舍去),或x=c.因此可得点Pc,3c2,进而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c.
由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.
因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=3c2×34=9c8,所以△FQN的面积为12|FQ||QN|=27c232,同理△FPM的面积等于75c232,由四边形PQNM的面积为3c,得75c232-27c232=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.
所以,椭圆的方程为x216+y212=1.
6.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为510.
(1)求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MN⊥AB.
解析 (1)由题设条件知,点M的坐标为23a,13b,
又kOM=510,从而b2a=510.
进而a=5b,c=a2-b2=2b.
故e=ca=255.
(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为a2,-b2,可得NM=a6,5b6.
又AB=(-a,b),从而有AB·NM=-16a2+56b2=16(5b2-a2).
由(1)的计算结果可知a2=5b2,
所以AB·NM=0,故MN⊥AB.
7.(2014安徽,21,13分)设F1、F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.
(1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;
(2)若cos∠AF2B=35,求椭圆E的离心率.
解析 (1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.
因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.
故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.
(2)设|F1B|=k,则k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k.
由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.
在△ABF2中,由余弦定理可得
|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B,
即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-65(2a-3k)(2a-k).
化简可得(a+k)(a-3k)=0,
而a+k>0,故a=3k.
于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.
因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,
可得F1A⊥F2A,
△AF1F2为等腰直角三角形.
从而c=22a,所以椭圆E的离心率e=ca=22.
8.(2014天津,18,13分)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=32·|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=22.求椭圆的方程.
解析 (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).
由|AB|=32|F1F2|,可得a2+b2=3c2,
又b2=a2-c2,所以c2a2=12.
所以,椭圆的离心率e=22.
(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为x22c2+y2c2=1.
设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c).
由已知,有F1P·F1B=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有
x0+y0+c=0.①
因为点P在椭圆上,故
x022c2+y02c2=1.②
由①和②可得3x02+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-43c,代入①得y0=c3,
即点P的坐标为-4c3,c3.
设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-43c+02=-23c,y1=c3+c2=23c,进而圆的半径r=(x1-0)2+(y1-c)2=53c.
由已知,有|TF2|2=|MF2|2+r2,又|MF2|=22,故有
c+23c2+0-23c2=8+59c2,
解得c2=3.
所以,所求椭圆的方程为x26+y23=1.
考点三 直线与椭圆的位置关系
1.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为32.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
解析 (1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
由题意得a=2,ca=32,解得c=3.
所以b2=a2-c2=1.
所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).
由题设知m≠±2,且n≠0.
直线AM的斜率kAM=nm+2,故直线DE的斜率kDE=-m+2n.
所以直线DE的方程为y=-m+2n(x-m).
直线BN的方程为y=n2-m(x-2).
联立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得点E的纵坐标yE=-n(4-m2)4-m2+n2.
由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.
所以yE=-45n.
又S△BDE=12|BD|·|yE|=25|BD|·|n|,
S△BDN=12|BD|·|n|,
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
2.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为63.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.
解析 (1)由已知可得,ca=63,c=2,所以a=6.
又由a2=b2+c2,
解得b=2,所以椭圆C的标准方程是x26+y22=1.
(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率kTF=m-0-3-(-2)=-m.
当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=1m,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得x=my-2,x26+y22=1.消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,
其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0,
所以y1+y2=4mm2+3,y1y2=-2m2+3,
x1+x2=m(y1+y2)-4=-12m2+3.
因为四边形OPTQ是平行四边形,
所以OP=QT,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).
所以x1+x2=-12m2+3=-3,y1+y2=4mm2+3=m,
解得m=±1.
此时,S四边形OPTQ=2S△OPQ=2×12·|OF|·|y1-y2|
=24mm2+32-4·-2m2+3=23.
3.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).
(1)求点P的坐标;
(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+3交于A,B两点.若△PAB的面积为2,求C的标准方程.
解析 (1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-x0y0,切线方程为y-y0=-x0y0(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=12·4x0·4y0=8x0y0,由x02+y02=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=2时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(2,2).
(2)设C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),点A(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C上知2a2+2b2=1,并由x2a2+y2b2=1,y=x+3
得b2x2+43x+6-2b2=0,
又x1,x2是方程的根,因此x1+x2=-43b2,x1x2=6-2b2b2,
由y1=x1+3,y2=x2+3,得|AB|=2|x1-x2|=2·48-24b2+8b4b2.
由点P到直线l的距离为32及S△PAB=12×32|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3,
因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6,
从而所求C的方程为x26+y23=1.
4.(2014陕西,20,13分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(0,3),离心率为12,左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线l:y=-12x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足|AB||CD|=534,求直线l的方程.
解析 (1)由题设知b=3,ca=12,b2=a2-c2,解得a=2,b=3,c=1,
∴椭圆的方程为x24+y23=1.
(2)由(1)知,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,
∴圆心到直线l的距离d=2|m|5,由d<1得|m|<52.(*)
∴|CD|=21-d2=21-45m2=255-4m2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由y=-12x+m,x24+y23=1得x2-mx+m2-3=0,
由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1x2=m2-3.
∴|AB|=1+-122[m2-4(m2-3)]=1524-m2.
由|AB||CD|=534得4-m25-4m2=1,解得m=±33,满足(*).
∴直线l的方程为y=-12x+33或y=-12x-33.
【三年模拟】
时间:70分钟 分值:80分
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2018山东济南一模,5)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为( )
A.x236+y232=1 B.x29+y28=1
C.x29+y25=1 D.x216+y212=1
答案 B
2.(2018安徽合肥一模,7)如图,椭圆x2a2+y24=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则△F2MN的周长为( )
A.20 B.10 C.25 D.45
答案 D
3.(2019届河南郑州一中10月月考,10)在平面直角坐标系中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A,B分别为椭圆C的左顶点和上顶点,点M为椭圆C上位于第一象限内的一点,AB∥OM,MF2⊥F1F2,则椭圆C的离心率为( )
A.12 B.22 C.23 D.33
答案 B
4.(2018湖南常德模拟,8)椭圆C1:x2a2+y2b2=1与双曲线C2:x2a2-y2b2=1(a>b>0)的离心率之积为32,直线l:x-y+3=0与椭圆C1相切,则椭圆C1的方程为( )
A.x22+y2=1 B.x24+y22=1
C.x26+y23=1 D.x216+y28=1
答案 C
5.(2019届广东七校第二次联考,11)已知点P为椭圆x216+y212=1上的动点,EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一直径,则PE·PF的最大值和最小值分别是( )
A.16,12-43 B.17,13-43
C.19,12-43 D.20,13-43
答案 C
6.(2019届湖南衡阳第一中学第一次月考,12)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程为x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是( )
A.12 B.22 C.32 D.55
答案 C
7.(2017江西九江模拟,10)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,点P为椭圆上一点,|OP|=24a,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则椭圆的离心率为( )
A.24 B.23 C.63 D.64
答案 D
8.(2019届河南顶级名校第三次联考,12)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的端点分别为A,B,点C为椭圆上异于A,B的一点,若将△ABC的三个内角分别记为A,B,C,且满足3tan A+3tan B+tan C=0,则椭圆的离心率为( )
A.33 B.13 C.63 D.23
答案 A
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2019届辽宁重点中学第三次联考,15)已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,已知∠F1PF2=120°,且|PF1|=2|PF2|,则椭圆的离心率为 .
答案 73
10.(2017江西赣州期末,15)已知圆E:x2+y-122=94经过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2,与椭圆在第一象限的交点为A,且F1,E,A三点共线,则该椭圆的方程为 .
答案 x24+y22=1
三、解答题(共30分)
11.(2019届甘肃西北师大附中11月月考,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P3,12,离心率是32.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M12,12.求直线l与坐标轴围成的三角形的面积.
解析 (1)设c为椭圆的半焦距,由已知可得
ca=32,3a2+14b2=1,c2=a2-b2,解得a=2,b=1,c=3.
∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得x124+y12=1,x224+y22=1,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)4+(y1-y2)(y1+y2)=0,由中点坐标公式得x1+x2=1,y1+y2=1,
∴kAB=y1-y2x1-x2=-14,∴直线AB的方程为y-12=-14x-12.
令x=0,可得y=58,令y=0,可得x=52,
则直线l与坐标轴围成的三角形面积S=12×58×52=2532.
12.(2019届广东七校9月调研,20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),若椭圆上一点P与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的离心率;
(2)如图,若直线l与椭圆相交于A,B,且线段AB是圆(x-1)2+(y+1)2=5的一条直径,求椭圆E的标准方程.
解析 (1)由题意得椭圆上点P的坐标为±a2,±a2,代入椭圆方程得14+a24b2=1,即a2=3b2,∴a2=3b2=3(a2-c2),∴2a2=3c2,∴e=63.
(2)根据(1)可设椭圆方程为x23b2+y2b2=1,直线AB的方程为y=k(x-1)-1,A(x1,y1),B(x2,y2),
则y=k(x-1)-1,x2+3y2=3b2⇒(3k2+1)x2-6k(k+1)x+3(k+1)2-3b2=0(*),
∴x1+x2=6k(k+1)3k2+1,x1x2=3(k+1)2-3b23k2+1.
又x1+x2=2,∴k=13,∴x1x2=16-9b24,
则|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=103×4-4·16-9b24=25.
∴b2=103,则a2=10,∴椭圆E的标准方程为x210+3y210=1.
13.(2019届四川成都顶级名校9月调研,20)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4.
(1)求该椭圆的方程;
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为(-a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且QA·QB=4,求y0的值.
解析 (1)由e=ca=32得3a2=4c2,再由c2=a2-b2得a=2b.
由题意可知,12×2a×2b=4,即ab=2.
联立a=2b,ab=2,结合a>b>0,解得a=2,b=1,所以椭圆的方程为x24+y2=1.
(2)由(1)可知A(-2,0),设B点的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2),
于是A,B两点的坐标满足方程组y=k(x+2),x24+y2=1,
消去y,整理得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0,
由-2x1=16k2-41+4k2得x1=2-8k21+4k2,从而y1=4k1+4k2.
设线段AB的中点为M,则M的坐标为-8k21+4k2,2k1+4k2.
分两种情况讨论:
①当k=0时,点B的坐标为(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,于是
QA=(-2,-y0),QB=(2,-y0),由QA·QB=4,得y0=±22.
②当k≠0时,线段AB的垂直平分线方程为y-2k1+4k2=-1kx+8k21+4k2.
将(0,y0)代入,解得y0=-6k1+4k2.
又QA=(-2,-y0),QB=(x1,y1-y0),
所以QA·QB=-2x1-y0(y1-y0)=-2(2-8k2)1+4k2+6k1+4k24k1+4k2+6k1+4k2=4(16k4+15k2-1)(1+4k2)2=4,
整理得7k2=2,故k=±147,所以y0=±2145.
综上,y0=±22或y0=±2145.
