2020届二轮复习函数的图象与性质学案（全国通用）

2020届二轮复习函数的图象与性质学案（全国通用）

培优点一 函数的图象与性质 ‎1.单调性的判断 例１：（1）函数的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（2）的单调递增区间为________．‎ ‎【答案】（1）D；（2），‎ ‎【解析】（1）因为，在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，‎ 即求函数的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为．‎ ‎（2）由题意知，当时，；当时，，二次函数的图象如图．‎ 由图象可知，函数在，上是增函数．‎ ‎2．利用单调性求最值 例2：函数的最小值为________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】易知函数在上为增函数，∴时，．‎ ‎3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 例3：（1）已知函数的图象向左平移1个单位后关于轴对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为 ‎（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（2）定义在R上的奇函数在上递增，且，则满足的的集合为________________．‎ ‎【答案】（1）D；（2）‎ ‎【解析】（1）根据已知可得函数的图象关于直线对称，且在上是减函数，‎ 因为，且，所以．‎ ‎（2）由题意知，，由得或 解得或．‎ ‎４．奇偶性 例４：已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为是偶函数，所以其图象关于轴对称，又在上单调递增，‎ ‎，所以，所以．‎ ‎５．轴对称 例５：已知定义域为的函数在上只有1和3两个零点，且与都是偶函数，则函数在上的零点个数为（ ）‎ A．404 B．‎804 ‎C．806 D．402‎ ‎【答案】C ‎【解析】，为偶函数，，关于 ‎，轴对称，为周期函数，且，‎ 将划分为 关于，轴对称，‎ ‎，，‎ 在中只含有四个零点，而共201组 所以；在中，含有零点，共两个，‎ 所以一共有806个零点 ‎６．中心对称 例６：函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）‎ A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．是奇函数 ‎【答案】D ‎【解析】从已知条件入手可先看的性质，由，为奇函数分别可得到：，，所以关于，中心对称，双对称出周期可求得，所以C不正确，且由已知条件无法推出一定符合A，B．‎ 对于D选项，因为，所以，进而可推出关于中心对称，‎ 所以为图像向左平移3个单位，即关于对称，所以为奇函数，D正确．‎ ‎７．周期性的应用 例７：已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，‎ 则的值为（ ）‎ A． B．‎1 ‎C．0 D．无法计算 ‎【答案】C ‎【解析】由题意，得，∵是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，‎ ‎∴，，∴，‎ ‎∴，∴，∴的周期为4，‎ ‎∴，，‎ 又∵，∴．‎ 对点增分集训 一、选择题 ‎1．若函数的单调递增区间是，则的值为（ ）‎ A． B．‎2 ‎C． D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图象易知函数的单调增区间是，令，∴．‎ ‎2．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】要使在上是增函数，则且，即．‎ ‎3．设函数，则是（ ）‎ A．奇函数，且在内是增函数 B．奇函数，且在内是减函数 C．偶函数，且在内是增函数 D．偶函数，且在内是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】易知的定义域为，且，则 为奇函数，‎ 又在上是增函数，所以在上是增函数．‎ ‎4．已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，‎ ‎，则，，的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵函数图象关于对称，∴，又在上单调递增，‎ ‎∴，即，故选B．‎ ‎5．已知是奇函数，是偶函数，且，，则等于（ ）‎ A．4 B．‎3 ‎C．2 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知得，，则有解得，故选B．‎ ‎6．函数的图象可能为（ ）‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，且，所以函数为奇函数，排除A，B．当时，，排除C，故选D．‎ ‎7．奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则的值为（ ）‎ A．2 B．‎1 ‎C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵为偶函数，∴，则，‎ 又为奇函数，则，且．‎ 从而，的周期为4．‎ ‎∴，故选A．‎ ‎8．函数的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线关于轴对称，则的解析式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】与的图象关于轴对称的函数为．依题意，的图象向右平移一个单位，‎ 得的图象．∴的图象由的图象向左平移一个单位得到．∴．‎ ‎9．使成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】在同一坐标系内作出，的图象，知满足条件的，故选A．‎ ‎10．已知偶函数对于任意都有，且在区间上是单调递增的，‎ 则，，的大小关系是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得，∴函数的周期是2．‎ ‎∵函数为偶函数，∴，．‎ ‎∵在区间上是单调递增的，∴，即．‎ ‎11．对任意的实数都有，若的图象关于对称，且，‎ 则（ ）‎ A．0 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】的图象关于对称，则函数的图象关于对称，‎ 即函数是偶函数，令，则，‎ ‎∴，即，则，‎ 即，则函数的周期是2，又，‎ 则．‎ ‎12．已知函数，，若存在，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题可知，，‎ 若，则，即，即，‎ 解得．所以实数的取值范围为，故选D．‎ 二、填空题 ‎13．设函数，，则函数的递减区间是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知，函数的图象如图所示的实线部分，‎ 根据图象，‎ 的减区间是．‎ ‎14．若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，‎ 则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于函数是周期为4的奇函数，所以．‎ ‎15．设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取 值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图作出函数与的图象，观察图象可知：当且仅当，即时，不等式恒成立，因此的取值范围是．‎ ‎16．设定义在上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数，其中是大于0的常数．‎ ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）当时，求函数在上的最小值；‎ ‎（3）若对任意恒有，试确定的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）．‎ ‎【解析】（1）由，得，‎ 当时，恒成立，定义域为，‎ 当时，定义域为，‎ 当时，定义域为．‎ ‎（2）设，当，时，∴．‎ 因此在上是增函数，∴在上是增函数．则．‎ ‎（3）对任意，恒有．即对恒成立．‎ ‎∴．令，．‎ 由于在上是减函数，∴．‎ 故时，恒有．因此实数的取值范围为．‎ ‎18．设是定义域为的周期函数，最小正周期为2，且，当时，．‎ ‎（1）判定的奇偶性；‎ ‎（2）试求出函数在区间上的表达式．‎ ‎【答案】（1）是偶函数；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴．‎ 又，∴．又的定义域为，∴是偶函数．‎ ‎（2）当时，，则；‎ 进而当时，，．‎ 故．‎