2018届二轮复习 几何证明选讲 课件（全国通用）

2018届二轮复习 几何证明选讲 课件（全国通用）

高考定位　 1. 几何证明选讲内容主要是相似三角形的判定定理和性质定理、平行线截割定理、三角形射影定理以及圆周角定理、圆的切线长定理、切割线定理、割线定理、相交弦定理等 .2. 主要考查： (1) 利用三角形相似或圆中的切割线定理证明比例关系； (2) 三角形或圆中的角度与长度的求解问题． 真 题 感 悟 答案　 A 2. (2015· 重庆卷 ) 如图，圆 O 的弦 AB ， CD 相交于点 E ，过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P ，若 PA ＝ 6 ， AE ＝ 9 ， PC ＝ 3 ， CE ∶ ED ＝ 2 ∶ 1 ，则 BE ＝ ________. 答案　 2 4. (2015· 广东卷 ) 如图，已知 AB 是圆 O 的直径， AB ＝ 4 ， EC 是圆 O 的切线，切点为 C ， BC ＝ 1 ，过圆心 O 做 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ，则 OD ＝ ________. 答案　 8 考 点 整 合 1.(1) 相似三角形的判定定理 　 判定定理 1 ：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 . 　 判定定理 2 ：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 . 　 判定定理 3 ：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似 . 　(2) 相似三角形的性质 　① 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； 　② 相似三角形周长的比等于相似比； 　③ 相似三角形面积的比等于相似比的平方 . 　(3) 直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项；斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 . 2.(1) 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 . 　(2) 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数 . 3.(1) 圆内接四边形的性质定理： 　① 圆的内接四边形的对角互补； 　② 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 . 　(2) 圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆 . 4.(1) 圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 . 　(2) 圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 . 　(3) 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 . 　(4) 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 . 　(5) 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 . 5. 证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换 . 6. 圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比 . 由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用 . 热点一　三角形相似的判定及应用 [ 微题型 1] 　 利用弦切角定理证明三角形相似 探究提高 　 在证明角或线段相等时，证三角形相似是首选的解题思路，如果涉及弦切角，则需考虑弦切角定理 . [ 微题型 2] 　 利用圆周角、圆心角定理证明三角形相似 探究提高 　 在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切割线定理 . 同时，要注意等量的代换 . (1) 证明 　连接 OC ，因为 OA ＝ OC ，所以 ∠ OAC ＝ ∠ OCA . ∵ CD 为半圆的切线， ∴ OC ⊥ CD . ∵ AD ⊥ CD ， ∴ OC ∥ AD . ∴∠ OCA ＝ ∠ CAD ， ∴∠ OAC ＝ ∠ CAD ， ∴ AC 平分 ∠ BAD . (2) 解 　连接 CE ，由 (1) 得 ∠ OAC ＝ ∠ CAD ，由圆周角相等所对弧及 弦也相等可知 BC ＝ CE . ∵ A 、 B 、 C 、 E 四点共圆 . ∴∠ CED ＝ ∠ ABC . ∵ AB 是圆 O 的直径， ∠ ACB 是直角 . 热点二　四点共圆的判定及性质 [ 微题型 1] 　 四点共圆的判定 证明　 (1) 在 △ ABC 中，因为 ∠ B ＝ 60° 所以 ∠ BAC ＋ ∠ BCA ＝ 120°. 因为 AD 、 CE 是角平分线， 所以 ∠ HAC ＋ ∠ HCA ＝ 60° ， 故 ∠ AHC ＝ 120°. 于是 ∠ EHD ＝ ∠ AHC ＝ 120°. 因为 ∠ EBD ＋ ∠ EHD ＝ 180° ， 所以 B 、 D 、 H 、 E 四点共圆 . (2) 连接 BH ，则 BH 为 ∠ ABC 的平分线， 得 ∠ HBD ＝ 30°. 由 (1) 知 B 、 D 、 H 、 E 四点共圆，所以 ∠ CED ＝ ∠ HBD ＝ 30°. 又 ∠ AHE ＝ ∠ EBD ＝ 60° ， 由已知可得 EF ⊥ AD ，可得 ∠ CEF ＝ 30°. 所以 EC 平分 ∠ DEF . 探究提高 　 (1) 如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆； (2) 如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆； (3) 如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆 . [ 微题型 2] 　 考查四点共圆的性质 (1) 证明　 连接 OP 、 OM ， ∵ AP 与 ⊙ O 相切于 P ， ∴ OP ⊥ AP ， 又 ∵ M 是 ⊙ O 的弦 BC 的中点， ∴ OM ⊥ BC ， 于是 ∠ OMA ＋ ∠ OPA ＝ 180° ，由圆心 O 在 ∠ PAC 的内部， 可知四边形 APOM 的对角互补， ∴ A ， P ， O ， M 四点共圆 . (2) 解　 由 (1) 得 A ， P ， O ， M 四点共圆，可知 ∠ OAM ＝ ∠ OPM ，又 ∵ OP ⊥ AP ，由圆心在 ∠ PAC 的内部，可知 ∠ OPM ＋ ∠ APM ＝ 90° ， ∴∠ OAM ＋ ∠ APM ＝ 90°. 探究提高 　 利用四点共圆的性质可解决角的相等，或结合切割线定理解决线段成比例问题 . (1) 证明　 如图，设 F 为 AD 延长线上一点 . ∵ A 、 B 、 C 、 D 四点共圆， ∴∠ CDF ＝ ∠ ABC . 又 AB ＝ AC ， ∴∠ ABC ＝ ∠ ACB ， 且 ∠ ADB ＝ ∠ ACB ， ∴∠ ADB ＝ ∠ CDF . 又 ∠ EDF ＝ ∠ ADB ，故 ∠ EDF ＝ ∠ CDF ， 即 AD 的延长线平分 ∠ CDE . 1. 判定三角形相似的思路大致有以下几条： 　(1) 已知条件，判定思路； 　(2) 一对等角，再找一对等角或找夹边成比例； 　(3) 两边成比例，找夹角相等； 　 (4) 含有等腰三角形，找顶角相等或找一对底角相等或找腰对应成比例 . 2. 运用相似三角形的性质解决问题，主要考虑相似三角形的对应边、对应角、周长、面积之间的关系，多用于求某条线段的长度、求证比例式的存在、求证等积式的成立等，在做题时应注意认真观察图形特点，确定好对应边、对应角等 . 3. 已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理 . 4. 圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小 .