2019届二轮复习第二讲临界知识学案（全国通用）

2019届二轮复习第二讲临界知识学案（全国通用）

第二讲　临界知识 从形式上跳出已学知识的旧框框，在试题中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力．‎ ‎【例1】　对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x)，若存在函数h(x)＝kx＋b(k，b为常数)对任给的正数x，存在相应的x0∈D使得当x∈D且x>x0时，总有x→∞时，f(x)－g(x)→0，则称直线l：y＝kx＋b为曲线y＝f(x)和y＝g(x)的“分渐近线”．给出定义域均为D＝{x|x>1}的三组函数如下：‎ ‎①f(x)＝x2，g(x)＝；②f(x)＝10－x＋2，g(x)＝；③f(x)＝，g(x)＝2(x－1－e－x)，其中曲线y＝f(x)和y＝g(x)存在“分渐近线”的是(　　)‎ A．①③ B．② C．②③ D．③‎ ‎[解析]　f(x)和g(x)存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f(x)－g(x)→0.‎ 对于①，f(x)＝x2，g(x)＝，因为当x→∞时，f(x)－g(x)＝x2－＝(x－1)→＋∞，所以①不存在；‎ 对于②，f(x)＝10－x＋2，g(x)＝，因为当x→∞时，f(x)－g(x)＝＋→0，因此，存在分渐近线；‎ 对于③，f(x)＝，g(x)＝2(x－1－e－x)，因为当x→∞时，f(x)－g(x)＝＋2＋→0，‎ 因此，存在分渐近线，故存在分渐近线的是②③.‎ ‎[答案]　C 本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f(x)－g(x)→0进行作答，是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．本题较难，涉及部分大学内容，属于拓展类题目．‎ ‎[创新预测]‎ ‎1．设某数列的前n项和为Sn，若为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d(d≠0)的等差数列{an}为“和谐数列”，则该等差数列的公差d＝________.‎ ‎[解析]　由＝k(k为常数)，且a1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.‎ ‎∵对任意正整数n，上式恒成立，‎ ‎∴解得 ‎∴数列{an}的公差为2.‎ ‎[答案]　2‎ 在立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通．‎ ‎【例2】　某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．2 ‎[解析]　本题可以以长方体为载体，设该几何体中棱长为的棱与此长方体的体对角线重合，则此棱各射影分别为相邻三面的对角线，其长度分别为，a，b，设长方体的各棱长分别为x，y，z，则有⇒a2＋b2＝8.所以≥2⇒a＋b≤4，故a＋b的最大值为4.‎ ‎[答案]　C 空间平行投影问题本质是考查三视图的有关知识，难点是需要学生有较强的空间想象能力，因此在解决投影问题时，可以将几何体置身于长方体中，将长方体作为背景可以增强考生的空间想象能力．‎ ‎[创新预测]‎ ‎2.如图，正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________．‎ ‎[解析]　如题图，设正四面体ABCD在平面α上的射影构成的图形面积为S，因为AB∥平面α，从运动的观点看，当CD∥平面α时，射影面积最大，此时射影图形为对角线长是1的正方形，面积最大值为；若CD或其延长线与平面α相交时，则当CD⊥平面α时，射影面积为最小，最小值为(证明略)，所以S∈.‎ ‎[答案]　 除了数学学科内的临界问题外，数学与其他学科间的临界问题也是高考命题的“新宠”．该类问题往往从学生已有的认知结构出发，将各科知识溶于一体，推陈出新，设置一些跨学科的问题，扩大学生的学习空间，考查学生的综合素质和对数学本质属性的理解程度．‎ ‎【例3】　设F1、F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点M ‎(2,3)在椭圆上，则∠F1MF2的平分线l所在的直线方程为________________．‎ ‎[解析]　如图，设椭圆C在点M处的切线为l′，由于直线l为∠F1MF2的平分线，所以由椭圆的光学性质知l⊥l′.‎ l′的方程为＋＝1，‎ 即x＋2y－8＝0，‎ 所以l的方程为y－3＝2(x－2)，‎ 即2x－y－1＝0.‎ 故∠F1MF2的平分线l所在的直线方程为2x－y－1＝0.‎ ‎[答案]　2x－y－1＝0‎ 本题利用了如下两个拓展知识：‎ ‎(1)过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)与椭圆相切的直线方程为＋＝1.‎ ‎(2)椭圆的光学性质，即从椭圆的一个焦点出发的光线投射到椭圆上，经反射后反射光线必通过另一个焦点．‎ ‎[创新预测]‎ ‎3．点F为双曲线－y2＝1的左焦点，自点F发出的光线经双曲线反射后经过点P(－3,1)，则反射光线所在的直线方程为________________________________．‎ ‎[解析]　设F′为双曲线的右焦点，则F′(2,0)，‎ 由双曲线的光学性质知，直线PF′即为反射光线，‎ 所以PF′的方程为＝，即x＋5y－2＝0.‎ 所以反射光线方程为x＋5y－2＝0.‎ ‎[答案]　x＋5y－2＝0‎ ‎1．高斯函数 对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，称[x]为x的整数部分，{x}为其相应的小数部分，函数y＝{x}，{x}＝x－[x]．‎ ‎2．最值函数 ‎(1)定义1：最大值、最小值 设a，b∈R，记min{a，b}为a，b中较小的数，max{a，b}为a，b中较大的数．若a＝b，则min{a，b}＝max{a，b}＝a＝b.‎ ‎(2)定义2：最大函数、最小函数 设f(x)，g(x)均为定义在I上的函数，记min{f(x)，g(x)}为f(x)，g(x)中值较小的函数，max{f(x)，g(x)}为f(x)，g(x)中值较大的函数．若f(x)＝g(x)，则min{f(x)，g(x)}＝max{f(x)，g(x)}＝f(x)．‎ ‎【例4】　已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}，记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝(　　)‎ A．16 B．－16‎ C．a2－2a－16 D．a2＋2a－16‎ ‎[解析]　f(x)的图象的顶点坐标为(a＋2，－4a－4)，g(x)的图象的顶点坐标为(a－2，－4a＋12)，并且f(x)与g(x)的图象的顶点都在对方的图象上，如图所示，所以A－B＝－4a－4－(－4a＋12)＝－16.‎ ‎[答案]　B 本题考查了二次函数的图象和性质的应用，试题以信息的形式给出，增加了试题的难度，同时考查了数形结合和转化化归的数学思想．解题过程中要能够结合图象特点，将问题转化为研究函数图象的交点问题．‎ ‎[创新预测]‎ ‎4．对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f(x)＝[x]称为高斯函数或取整函数．若an＝f，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则S3n＝(　　)‎ A.n2－n B.n2＋n C．3n2－2n D.n2－n ‎[答案]　A