2020届二轮复习极值点偏移第六招--极值点偏移终极套路学案（全国通用）

2020届二轮复习极值点偏移第六招--极值点偏移终极套路学案（全国通用）

值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.‎ 下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法.‎ ‎★已知，．若有两个极值点，，且，求证：（为自然对数的底数）．‎ 解法一：齐次构造通解偏移套路 于是．‎ 又，设，则．因此，，．‎ 要证，即证：， ．即：当时，有．设函数，，则，‎ 所以，为上的增函数．注意到，，因此，．&‎ 于是，当时，有．所以，有成立，．&‎ 解法二 变换函数能妙解 证法2：欲证，需证．若有两个极值点，，即函数有两个零点．又，所以，，是方程的两个不同实根．显然，否则，函数为单调函数，不符合题意．‎ 由，‎ 解法三 构造函数现实力 证法3：由，是方程的两个不同实根得，令，，由于，因此，在，．‎ 设，需证明，只需证明，只需证明，即，即．来源： 微信公众号 中数研讨部落 即，，故在，故 ‎，即．令，则，因为，，在，所以，即．&‎ 解法四 巧引变量（一）‎ 证法4：设，，则由得，设，则，．欲证，‎ 解法五 巧引变量（二）‎ 证法5：设，，则由得，设，则，．‎ 欲证，需证，‎ 即只需证明，‎ 即，‎ 设，，‎ 故在，因此，命题得证．&‎ ‎★已知函数，若方程有两个不相等的实数根，求证：.‎ 欲证：，结合的单调性，‎ 即证：‎ 等价于证明：‎ 令，构造函数，‎ 求导由单调性易得原不等式成立，略.‎ 法二：接后续解:‎ 由得：‎ 构造函数，‎ 求导由单调性易得在恒成立，‎ 又因为，故成立.‎ 法三：接④后续解：‎ 视为主元，设 则在上单调递增，故，‎ 再结合，故成立.‎ 法四：构造函数，&‎ 则，‎ 从而在上单调递增，故，即 对恒成立，‎ 从而，则，‎ 由，且在单调递增，‎ 故，‎ 即，从而成立. &‎