【数学】2019届一轮复习人教A版三角函数的图象与性质学案

【数学】2019届一轮复习人教A版三角函数的图象与性质学案

三角函数的图象与性质 ‎【考点梳理】‎ ‎1.常用三种函数的图象性质(下表中k∈Z)‎ 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 递增 区间 ‎[2kπ－π，2kπ]‎ 递减 区间 ‎[2kπ，2kπ＋π]‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 ‎(kπ，0)‎ 对称轴 x＝kπ＋ x＝kπ 周期性 ‎2π ‎2π π ‎2.三角函数的常用结论 ‎(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；‎ 当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得.‎ ‎(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；‎ 当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.‎ ‎(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.‎ ‎3.三角函数的两种常见变换 ‎(1)y＝sin x y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).‎ y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).‎ ‎【题型突破】‎ 题型一、三角函数的图象变换 ‎【例1】 某同 用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.‎ ‎【解析】(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x π Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 且函数表达式为f(x)＝5sin.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝5sin，根据图象平移变换，‎ 得g(x)＝5sin.‎ 因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.‎ 令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，‎ 解得x＝＋－θ，k∈Z.‎ 由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，k∈Z，解得θ＝－，k∈Z.‎ 由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.“五点法”作图 设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得.‎ ‎2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.‎ ‎【对点训练】‎ 设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原 的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值.‎ ‎【解析】(1)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2‎ ‎＝2sin2x－(1－2sin xcos x)‎ ‎＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1‎ ‎＝sin 2x－cos 2x＋－1‎ ‎＝2sin＋－1，‎ 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 解得，kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).‎ 所以，f(x)的单调递增区间是(k∈Z).‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，经过变换后，g(x)＝2sin x＋－1，‎ 所以g＝2sin ＋－1＝.‎ 题型二、由函数的图象特征求解析式 ‎【例2】 (1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)‎ A.f(x)＝2sin B.f(x)＝2sin C.f(x)＝2sin D.f(x)＝2sin ‎(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)‎ A.1 B. C. D. ‎【答案】(1)B　(2)D ‎【解析】(1)由题意知A＝2，T＝4＝π，ω＝2，‎ 因为当x＝时取得最大值2，‎ 所以2＝2sin，‎ 所以2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z，‎ 因为|φ|<，得φ＝－.‎ 因此函数f(x)＝2sin.‎ ‎(2)观察图象可知，A＝1，T＝π，则ω＝2.‎ 又点是“五点法”中的始点，‎ ‎∴2×＋φ＝0，φ＝.‎ 则f(x)＝sin.‎ 函数图象的对称轴为x＝＝.‎ 又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，‎ 所以＝，则x1＋x2＝，‎ 因此f(x1＋x2)＝sin＝.‎ ‎【类题通法】‎ 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.‎ ‎【对点训练】‎ ‎ (1)偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中△EFG是斜边为4的等腰直角三角形(E，F是函数与x轴的交点，点G在图象上)，则f(1)的值为(　　)‎ A. B. C. D.2 ‎(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示.‎ ‎①求函数f(x)的解析式；‎ ‎②将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原 的倍，再把所得的函数图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最小值.‎ ‎【答案】(1) C ‎【解析】(1)依题设，＝|EF|＝4，T＝8，ω＝.‎ ‎∵函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，且0<φ<π.‎ ‎∴φ＝，在等腰直角△EGF中，易求A＝2.‎ 所以f(x)＝2sin＝2cosx，则f(1)＝.‎ ‎ (2)①设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可知 A＝1，＝－＝，‎ 即T＝π，所以π＝，解得ω＝2，‎ 故f(x)＝sin(2x＋φ).‎ 由0＝sin可得＋φ＝2kπ，k∈Z，‎ 则φ＝2kπ－，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝－，‎ 故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.‎ ‎②根据条件得g(x)＝sin，‎ 当x∈时，4x＋∈，‎ 所以当x＝时，g(x)取得最小值，且g(x)min＝.‎ 题型三、三角函数性质 ‎【例3】已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性.‎ ‎【解析】(1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}，‎ f(x)＝4tan xcos xcos－ ‎＝4sin xcos－ ‎＝4sin x－ ‎＝2sin xcos x＋2sin2x－ ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 设A＝，B＝，易知A∩B＝.‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.‎ ‎2.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间，是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间.‎ ‎【对点训练】‎ 函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】f(x)＝sin2x＋cos x－，‎ f(x)＝1－cos2x＋cos x－，‎ 令cos x＝t且t∈[0，1]，‎ y＝－t2＋t＋＝－＋1，‎ 则当t＝时，f(x)取最大值1.‎ 题型四、三角函数性质的应用 ‎【例4】把函数f(x)＝2sin(x＋2φ)的图象向左平移个单位长度之后，‎ 所得图象关于直线x＝对称，且f(0)0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间.‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值.‎ ‎【解析】(1)f(x)＝2sin ωxcosωx＋(2sin2ωx－1)‎ ‎＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin.‎ 由最小正周期为π，得ω＝1，‎ 所以f(x)＝2sin，‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 整理得kπ－≤x≤kx＋，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin 2x＋1的图象；‎ 所以g(x)＝2sin 2x＋1.‎ 令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，‎ 所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可.‎ 所以b的最小值为4π＋＝.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解.‎ ‎2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝.应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期为T＝.‎ ‎【对点训练】‎ 设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3，已知f ＝0.‎ ‎(1)求ω；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原 的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值.‎ ‎【解析】(1)因为f(x)＝sin＋sin，‎ 所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx ‎＝sin ωx－cos ωx＝ ‎＝sin.‎ 由题设知f ＝0，‎ 所以－＝kπ，k∈Z，‎ 故ω＝6k＋2，k∈Z.‎ 又0＜ω＜3，所以ω＝2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin，‎ 所以g(x)＝sin＝sin.‎ 因为x∈，所以x－∈，‎ 当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.‎