- 2021-06-16 发布 |
- 37.5 KB |
- 13页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
2018届二轮复习坐标系与参数方程学案
第1讲 坐标系与参数方程 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程;参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识. 热点一 极坐标与直角坐标的互化 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.如图,设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ), 则 例1 (2017届江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)三模)在极坐标系中,已知点A,点B在直线l:ρcos θ+ρsin θ=0(0≤θ<2π)上.当线段AB最短时,求点B的极坐标. 解 以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,则点A的直角坐标为(0,2),直线l的直角坐标方程为x+y=0. 当线段AB最短时,点B为直线x-y+2=0与直线l的交点, 解 得 所以点B的直角坐标为(-1,1). 所以点B的极坐标为. 思维升华 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一. (2)在与曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,要注意转化的等价性. 跟踪演练1 (2017届河北省唐山市三模)点P是曲线C1:(x-2)2+y2=4上的动点,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点O为中心,将点P逆时针旋转90°得到点Q,设点Q的轨迹方程为曲线C2. (1)求曲线C1,C2的极坐标方程; (2)射线θ=(ρ>0)与曲线C1,C2分别交于A,B两点,定点M(2,0),求△MAB的面积. 解 (1)曲线C1的极坐标方程为ρ=4cos θ. 设Q(ρ,θ),则P, 则ρ=4cos=4sin θ. 所以曲线C2的极坐标方程为ρ=4sin θ. (2)M到射线θ=的距离为 d=2sin =, |AB|=ρB-ρA=4=2(-1), 则S=|AB|×d=3-. 热点二 参数方程与普通方程的互化 1.直线的参数方程 过定点M(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数). 2.圆的参数方程 圆心在点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数,0≤θ≤2π). 3.圆锥曲线的参数方程 (1)椭圆+=1的参数方程为(θ为参数). (2)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为(t为参数). 例2 (2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数). (1)若a=-1,求C与l的交点坐标; (2)若C上的点到l的距离的最大值为,求a. 解 (1)曲线C的普通方程为+y2=1. 当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0. 由 解得或 从而C与l的交点坐标是(3,0),. (2)直线l的普通方程是x+4y-4-a=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离为d==,其中tan φ=, 当a≥-4时,d的最大值为 . 由题设得=,所以a=8; 当a<-4时,d的最大值为. 由题设得=,所以a=-16. 综上,a=8或a=-16. 思维升华 (1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法,加减消参法,平方消参法等. (2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解、漏解,若x,y有范围限制,要标出x,y的取值范围. 跟踪演练2 (2017届广西柳州市模拟)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的单位长度.已知直线l的参数方程是 (t为参数),曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=2sin θ. (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; (2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,点M为AB的中点,点P的极坐标为,求|PM|的值. 解 (1)因为直线的参数方程是(t为参数), 消去参数t,得直线l的普通方程为x-y+3=0. 由曲线C的极坐标方程ρcos2θ=2sin θ, 得ρ2cos2θ=2ρsin θ, 所以曲线C的直角坐标方程为x2=2y. (2)由得x2-2x-6=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则AB的中点M. 因为x1+x2=2,所以M(1,4), 又点P的直角坐标为(1,1), 所以|PM|==3. 热点三 极坐标、参数方程的综合应用 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等. 例3 (2017届福建省泉州市质检)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数);在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sin θ. (1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程; (2)若射线l:y=kx(x≥0)分别交C1,C2于A,B两点(A,B异于原点),当k∈(1,]时,求|OA|·|OB|的取值范围. 解 (1)由(α为参数), 可得(x-1)2+y2=cos2α+sin2α, 即C1的普通方程为(x-1)2+y2=1. 方程ρcos2θ=sin θ可化为ρ2cos2θ=ρsin θ,(*) 将代入方程(*),可得x2=y, 所以C2的直角坐标方程为x2=y. (2)联立方程组 解得A. 联立方程组可得B(k,k2), 故|OA|·|OB|=···k=2k, 又k∈(1,],所以|OA|·|OB|∈(2,2]. 思维升华 (1)利用参数方程解决问题,要理解参数的几何意义. (2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题,将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程,有助于认识方程所表示的曲线,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是转化与化归思想的应用. 跟踪演练3 (2017届湖南省长沙市雅礼中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin=3. (1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程; (2)设P是曲线C上的任意一点,求点P到直线l的距离的最大值. 解 (1)因为2+y2=cos2θ+sin2θ=1, 所以曲线C的普通方程为+y2=1. 由ρsin=3展开,得 ρsin θ-ρcos θ=3,即y-x=3, 因此直线l的直角坐标方程为x-y+3=0. (2)设P(cos θ,sin θ), 则点P到直线l的距离为 d==≤. 当且仅当sin=-1时等号成立, 此时θ=2kπ+ (k∈Z),即P, 因此点P到直线l的距离的最大值为. 真题体验 1.(2017·北京)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为________. 答案 1 解析 由ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得 x2+y2-2x-4y+4=0, 即(x-1)2+(y-2)2=1, 圆心坐标为C(1,2),半径长为1. ∵点P的坐标为(1,0),∴点P在圆C外. 又∵点A在圆C上, ∴|AP|min=|PC|-1=2-1=1. 2.(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2 的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值. 解 (1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0),由题设知, |OP|=ρ,|OM|=ρ1=. 由|OM|·|OP|=16,得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0). 所以C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0). 由题设知|OA|=2,ρB=4cos α. 于是△OAB的面积 S=|OA|·ρB·sin∠AOB =4cos α =4cos α =|sin 2α-cos 2α-| =2≤2+. 当2α-=-,即α=-时,S取得最大值2+, 所以△OAB面积的最大值为2+. 押题预测 1.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数). (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值. 押题依据 极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点.本题考查了等价转换思想,代数式变形能力,逻辑推理能力,是一道颇具代表性的题. 解 (1)由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ. 因为x2+y2=ρ2,x=ρcos θ,所以x2+y2=4x, 即曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4. (2)将 代入圆的方程(x-2)2+y2=4, 得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4, 化简得t2-2tcos α-3=0. 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2, 由根与系数的关系,得 所以|AB|=|t1-t2|= ==, 故4cos2α=1,解得cos α=±. 因为直线的倾斜角α∈[0,π),所以α=或. 2.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:(φ为参数),其中a>b>0.以O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2cos θ,射线l:θ=α(ρ≥0).若射线l与曲线C1交于点P,当α=0时,射线l与曲线C2交于点Q,|PQ|=1;当α=时,射线l与曲线C2交于点O,|OP|=. (1)求曲线C1的普通方程; (2)设直线l′:(t为参数,t≠0)与曲线C2交于点R,若α=,求△OPR的面积. 押题依据 将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇,考查相应知识的理解和运用,解题中,需要将已知条件合理转化,灵活变形,符合高考命题趋势. 解 (1)因为曲线C1的参数方程为(φ为参数),且a>b>0,所以曲线C1的普通方程为+=1,而其极坐标方程为+=1. 将θ=0(ρ≥0)代入+=1, 得ρ=a,即点P的极坐标为; 将θ=0(ρ≥0)代入ρ=2cos θ,得ρ=2, 即点Q的极坐标为(2,0). 因为|PQ|=1,所以|PQ|=|a-2|=1, 所以a=1或a=3. 将θ=(ρ≥0)代入+=1, 得ρ=b,即点P的极坐标为, 因为|OP|=,所以b=.又因为a>b>0,所以a=3, 所以曲线C1的普通方程为+=1. (2)因为直线l′的参数方程为(t为参数,t≠0), 所以直线l′的普通方程为y=-x(x≠0), 而其极坐标方程为θ=-(ρ∈R,ρ≠0), 所以将直线l′的方程θ=-代入曲线C2的方程ρ=2cos θ,得ρ=1,即|OR|=1. 因为将射线l的方程θ=(ρ≥0)代入曲线C1的方程+=1, 得ρ=,即|OP|=, 所以S△OPR=|OP||OR|sin∠POR =××1×sin =. A组 专题通关 1.(2017届哈尔滨市第三中学二模)圆锥曲线C的极坐标方程为ρ2(1+sin2θ)=2. (1)以极点为原点,x轴非负半轴为极轴建立平面直角坐标系,求曲线C的直角坐标方程,并求曲线C在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标; (2)直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R),若曲线C上的点M到直线l的距离最大,求点M的坐标(直角坐标和极坐标均可). 解 (1)曲线C的直角坐标方程为+y2=1, 焦点的直角坐标为F1(-1,0),F2(1,0). 焦点的极坐标为F1(1,π),F2(1,0). (2)直线l的直角坐标方程为y=x, 曲线C:+y2=1, 设直线m:y=x+t, 即当直线m与曲线C相切时,切点M到直线l的距离最大. 由 化简得7x2+4tx+2t2-2=0, Δ=48t2-56(t2-1)=0,解得t=±, x=±,y=∓, 所以M或M. 2.已知曲线C的参数方程为(φ为参数),以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C的极坐标方程; (2)已知倾斜角为135°且过点P(1,2)的直线l与曲线C交于M,N两点,求+的值. 解 (1)依题意知,曲线C的普通方程为 x2+(y-3)2=9,即x2+y2-6y=0, 故x2+y2=6y,故ρ2=6ρsin θ, 故所求极坐标方程为ρ=6sin θ. (2)设直线l为(t为参数), 将此参数方程代入x2+y2-6y=0中, 化简可得t2-2t-7=0,显然Δ>0. 设M,N所对应的参数分别为t1,t2, 故 +====. 3.(2017届四川省成都市九校模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C为(α为参数),在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρcos=-1. (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程; (2)过点M(-1,0)且与直线l平行的直线l1交C于A,B两点,求点M到A,B两点的距离之积. 解 (1)曲线C化为普通方程为+y2=1, 由ρcos=-1, 得ρcos θ-ρsin θ=-2, 所以直线l的直角坐标方程为x-y+2=0. (2)直线l1的参数方程为(t为参数), 代入+y2=1化简,得2t2-t-2=0. 设A,B两点所对应的参数分别为t1,t2, 则t1t2=-1, 所以|MA||MB|=|t1t2|=1. 4.(2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C. (1)写出C的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径. 解 (1)消去参数t,得l1的普通方程l1:y=k(x-2); 消去参数m,得l2的普通方程l2:y=(x+2). 设P(x,y),由题设得 消去k,得x2-y2=4(y≠0), 所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0). (2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π), 联立得 cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-,从而cos2θ=,sin2θ=. 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4,得ρ2=5, 所以l3与C的交点M的极径为. 5.(2017届江西省重点中学协作体联考)已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点P的极坐标为. (1)求直线l以及曲线C的极坐标方程; (2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求△PAB的面积. 解 (1)由 消去t得y=x, 则ρsin θ=ρcos θ,∴θ=, ∴直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R). 曲线C:(x-1)2+(y-2)2=4, 则(ρcos θ-1)2+(ρsin θ-2)2=4, ∴曲线C的极坐标方程为 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+9=0. (2)由 得到ρ2-7ρ+9=0,设其两根为ρ1,ρ2, 则ρ1+ρ2=7,ρ1ρ2=9, ∴|AB|=|ρ2-ρ1|==. ∵点P的极坐标为, ∴|OP|=2,∠POB=, ∴S△PAB=|S△POB-S△POA| =××2×|AB|=. B组 能力提高 6.(2017届广东省深圳市一模)在直角坐标系xOy中,已知曲线E经过点P,其参数方程为 (α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线E的极坐标方程; (2)若直线l交E于点A,B,且OA⊥OB,求证:+为定值,并求出这个定值. (1)解 将点P代入曲线E的方程得 解得a2=3, 所以曲线E的普通方程为+=1, 极坐标方程为ρ2=1. (2)证明 不妨设点A,B的极坐标分别为A(ρ1,θ),B,ρ1>0,ρ2>0, 则 即 所以+=,即+=, 所以+为定值. 7.(2017届广西玉林、贵港质检)已知在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为,曲线C的参数方程为ρ=2cos(θ为参数). (1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程; (2)若Q为曲线C上的动点,求PQ的中点M到直线l:2ρcos θ+4ρsin θ= 的距离的最小值. 解 (1)点P的直角坐标为, 由ρ=2cos, 得ρ2=ρcos θ+ρsin θ, ① 将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y代入①, 可得曲线C的直角坐标方程为 2+2=1. (2)直线2ρcos θ+4ρsin θ=的直角坐标方程为2x+4y-=0, 设点Q的直角坐标为, 则M, ∴M到直线l的距离 d= = =,其中tan φ=. ∴d≥=(当且仅当sin(θ+φ)=-1时取等号), ∴M到直线l:2ρcos θ+4ρsin θ=的距离的最小值为. 8.(2017届四川省大教育联盟三诊)已知α∈[0,π),在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数);在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l2的极坐标方程为ρcos(θ-α)=2sin. (1)求证:l1⊥l2; (2)设点A的极坐标为,P为直线l1,l2的交点,求|OP||AP|的最大值. (1)证明 易知直线l1的普通方程为xsin α-ycos α=0. 又ρcos(θ-α)=2sin可变形为 ρcos θcos α+ρsin θsin α=2sin, 即直线l2的直角坐标方程为 xcos α+ysin α-2sin=0. 因为sin αcos α+(-cos α)sin α=0, 根据两直线垂直的条件可知,l1⊥l2. (2)解 当ρ=2,θ=时, ρcos(θ-α)=2cos=2sin, 所以点A在直线ρcos(θ-α)=2sin上. 设点P到直线OA的距离为d,由l1⊥l2可知,d的最大值为=1. 于是|OP||AP|=d·|OA|=2d≤2, 所以|OP||AP|的最大值为2.查看更多