【数学】2021届一轮复习人教版(文理通用)第3章第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式作业

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【数学】2021届一轮复习人教版(文理通用)第3章第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式作业

对应学生用书[练案 21 理][练案 20 文] 第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 A 组基础巩固 一、选择题 1.tan 390°=( C ) A.- 3  B. 3  C. 3 3   D.- 3 3 [解析] tan 390°=tan (360°+30°)=tan 30°= 3 3 . 2.(2020·新疆普通高中学业水平考试)已知 x∈(- π 2,0),cos x= 4 5,则 tan x 的值为 ( B ) A.3 4  B.-3 4  C.4 3  D.-4 3 [解析] 因为 x∈(-π 2,0),所以 sin x=- 1-cos2x=-3 5,所以 tan x=sin x cos x=-3 4.故 选 B. 3.(2020·福建泉州第一次检测)已知 α 为第二象限角,则 2sin α 1-cos2α + 1-sin2α cos α 的值是 ( B ) A.-1  B.1  C.-3  D.3 [解析] ∵α 为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0, ∴ 2sin α 1-cos2α + 1-sin2α cos α =2sin α |sin α|+|cos α| cos α =2sin α sin α + -cos α cos α =1.选 B. 4.(2019·贵州贵阳十二中期中)已知 sin α 1+cos α=-2 3,则 sin α 1-cos α的值是( D ) A.2 3  B.-2 3 C.3 2  D.-3 2 [解析] ∵ sin α 1+cos α× sin α 1-cos α= sin2α 1-cos2α=sin2α sin2α=1, ∴ sin α 1-cos α=-3 2,故选 D. 5.(2019·湖北宜昌联考)在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边经过点 P(3,4),则 sin (α- 2 017π 2 )=( B ) A.-4 5  B.-3 5  C.3 5  D.4 5 [解析] 角 α 的终边经过点 P(3,4),根据三角函数的定义得到 sin α=4 5,cos α=3 5,所以 sin (α-2 017π 2 )=-sin (α-2 017π 2 +2 018π 2 )=-sin (α+π 2)=-cos α=-3 5.故选 B. 6.(文)已知 tan θ=2,则 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ=( D ) A.-4 3  B.5 4  C.-3 4  D.4 5 (理)(2016·全国Ⅲ)若 tan α=3 4,则 cos2α+2sin 2α=( A ) A.64 25  B.48 25  C.1  D.16 25 [解析] (文)sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ =sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ sin2θ+cos2θ =tan2θ+tan θ-2 tan2θ+1 =4+2-2 4+1 =4 5.故选 D. (理)cos2α+2sin 2α=cos2α+4sin αcos α sin2α+cos2α =4tan α+1 tan2α+1 =64 25,故选 A. 7.已知 cos (θ+π 2)=4 5,-π 2<θ<π 2,则 sin 2θ 的值等于( A ) A.-24 25  B.24 25  C.-12 25  D.12 25 [解析] 由 cos (θ+π 2)=4 5,-π 2<θ<π 2,得 sin θ=-4 5,cos θ=3 5,则 sin 2θ=2sin θcos θ=- 24 25.故选 A. 8.已知 sin θ=m-3 m+5,cos θ=4-2m m+5 ,其中 θ∈[π 2,π],则下列结论正确的是( D ) A.m≤-5  B.3≤m<5 C.m=0 或 m=8  D.m=8 [解析] 因为 θ∈[π 2,π],所以 sin θ=m-3 m+5≥0 ①,cos θ=4-2m m+5 ≤0 ②,且(m-3 m+5)2+ (4-2m m+5 )2=1,整理得m2-6m+9+16-16m+4m2 (m+5)2 =1,即 5m2-22m+25=m 2+10m+25, 即 4m(m-8)=0,解得 m=0 或 m=8,又 m=0 不满足①②两式,m=8 满足①②两式,故 m =8.故选 D. 9.(2020·广西玉林月考)设 f(x)=asin (πx+α)+bcos (πx+β),其中 a,b,α,β 都是实数, 若 f(2 019)=-1,那么 f(2 020)=( A ) A.1  B.2  C.0  D.-1 [解析] 由 f(2 019)=asin (2 019π+α)+bcos (2 019π+β)=-asin α-bcos β=-1,f(2 020)=asin (2 020π+α)+bcos (2 020π+β)=asin α+bcos β=1.故选 A. 10.(2019·山东日照模拟)已知倾斜角为 θ 的直线 l 与直线 x+2y-3=0 垂直,则 sin 2θ 的值为( B ) A.3 5  B.4 5  C.1 5  D.-1 5 [解析] 由已知得 tan θ=2,所以 sin 2θ=2sin θcos θ= 2sin θcos θ sin2θ+cos2θ= 2tan θ tan2θ+1=4 5. 二、填空题 11.(2019·广西玉林模拟)化简:(1+tan2α)(1-sin2α)=1 . [解析] (1+tan2α)(1-sin2α)=(1+sin2α cos2α)·cos2α=cos2α+sin2α cos2α ·cos2α=1. 12.(2019·山东枣庄调研二)已知 α 是第二象限角,cos (π 2-α)=4 5,则 tan α=-4 3 . [解析] ∵cos (π 2-α)=4 5,∴sin α=4 5,又 α 为第二象限角,∴cos α=- 1-sin2α=- 3 5, ∴tan α=sin α cos α=-4 3. 13.(2019·江西九江一中月考)已知 cos ( π 6-α)= 3 3 ,则 cos (5π 6 +α)-sin 2(α-π 6)=- 2+ 3 3  . [解析] cos (5π 6 +α)-sin2(α-π 6)=cos [π-(π 6-α)]-sin2(π 6-α)=-cos (π 6-α)-sin2(π 6-α) =cos2(π 6-α)-cos (π 6-α)-1=-2+ 3 3 . 14.(2020·山西太原一中月考)已知 sin (3π+α)=2sin (3π 2 +α),则 sin α-4cos α 5sin α+2cos α的值为- 1 6 . [解析] ∵sin (3π+α)=2sin (3π 2 +α),∴-sin α=-2cos α,即 sin α=2cos α,∴tan α= 2,∴ sin α-4cos α 5sin α+2cos α= tan α-4 5tan α+2=-1 6. B 组能力提升 1.(2019·重庆一中月考)已知 α∈(3π 2 ,2π),且满足 cos (α+2 017π 2 )=3 5,则 sin α+cos α =( C ) A.-7 5  B.-1 5  C.1 5  D.7 5 [解析] 因为 cos (α+2 017π 2 )=cos (α+1 008π+π 2)=-sin α=3 5,所以 sin α=-3 5.又 α∈ (3π 2 ,2π),所以 cos α= 1-sin2α=4 5,则 sin α+cos α=-3 5+4 5=1 5,故选 C. 2.(2019·湖北武汉部分重点中学第一次联考)已知角 θ 与角 φ 的终边关于直线 y=x 对称, 且 θ=-π 3,则 sin φ=( D ) A.- 3 2   B. 3 2   C.-1 2  D.1 2 [解析] 因为角 θ 与角 φ 的终边关于直线 y=x 对称,所以 θ+φ=2kπ+π 2(k∈Z),又 θ= -π 3,所以 φ=2kπ+5π 6 (k∈Z).于是 sin φ=sin (2kπ+5π 6 )=sin 5π 6 =sin π 6=1 2.故选 D. 3.(文)(2019·雅安模拟)已知 sin α+ 2cos α= 3,则 tan α=( A ) A. 2 2   B. 2  C.- 2 2   D.- 2 (理)(2020·辽宁沈阳模拟)若1+cos α sin α =2,则 cos α-3sin α=( C ) A.-3  B.3  C.-9 5  D.9 5 [解析] (文)∵sin α+ 2cos α= 3, ∴(sin α+ 2cos α)2=3, ∴sin2α+2 2sin αcos α+2cos2α=3, ∴sin2α+2 2sin αcos α+2cos2α sin2α+cos2α =3, ∴tan2α+2 2tan α+2 tan2α+1 =3. ∴2tan2α-2 2tan α+1=0, 即( 2tan α-1)2=0,∴tan α= 2 2 . (理)∵1+cos α sin α =2,∴cos α=2sin α-1,又 sin 2α+cos2α=1,∴sin 2α+(2sin α-1) 2= 1,5sin2α-4sin α=0,解得 sin α=4 5或 sin α=0(舍去),∴cos α-3sin α=-sin α-1=-9 5.故选 C. 4.(2016·课标全国Ⅰ)已知 θ 是第四象限角,且 sin (θ+π 4)=3 5,则 tan (θ-π 4)=-4 3 . [解析] sin (θ+π 4)=sin [π 2+(θ-π 4)]=cos (θ-π 4)=3 5. 又 θ 是第四象限角,∴-π 2+2kπ<θ<2kπ(k∈Z), ∴-3π 4 +2kπ<θ-π 4<-π 4+2kπ(k∈Z), ∴sin (θ-π 4)=- 1-cos2(θ-π 4 )=-4 5, ∴tan (θ-π 4)= sin (θ-π 4 ) cos (θ-π 4 ) =-4 3. 5.(文)(2020·山东济南月考)已知π 2<α<π,tan α- 1 tan α=-3 2. (1)求 tan α 的值; (2)求 cos (3π 2 +α)-cos (π-α) sin (π 2-α) 的值. (理)(2020·吉林长春月考)已知关于 x 的方程 2x 2-( 3+1)x+m=0 的两个根为 sin θ 和 cos θ,θ∈(0,2π),求: (1) sin θ 1- 1 tan θ + cos θ 1-tan θ的值; (2)m 的值; (3)方程的两根及 θ 的值. [解析] (文)(1)令 tan α=x,则 x-1 x=-3 2,2x2+3x-2=0, 解得 x=1 2或 x=-2,因为π 2<α<π, 所以 tan α<0,故 tan α=-2. (2) cos (3π 2 +α)-cos (π-α) sin (π 2-α) =sin α+cos α cos α =tan α+1=-2+1=-1. (理)(1)由已知得Error! 则 sin θ 1- 1 tan θ + cos θ 1-tan θ= sin2θ sin θ-cos θ+ cos2θ cos θ-sin θ=sin2θ-cos2θ sin θ-cos θ=sin θ+cos θ= 3+1 2 . (2)将①式两边平方得 1+2sin θcos θ=2+ 3 2 . 所以 sin θcos θ= 3 4 . 由②式得m 2= 3 4 ,所以 m= 3 2 . (3)由(2)可知原方程变为 2x2-( 3+1)x+ 3 2 =0,解得 x1= 3 2 ,x2=1 2. 所以Error!或Error! 又 θ∈(0,2π),所以 θ=π 3或 θ=π 6.
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