任意角的三角函数教案4

任意角的三角函数教案4

‎ ‎ 任意角的三角函数 ‎ ‎　　本周重点： 　　1、角的概念的扩充； 　　2、弧度制的引入； 　　3、任意角的三角函数 　　本周难点： 　　1、弧度制的引入； 　　2、三角函数线 　　本周内容： 　　一、角的概念的扩充 　　1．角的定义： 　　平面内一条射线OA绕端点从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，形成的图形为角α,OA称为α的始边,OB称为终边。 　　2．角的正负 　　规定：逆时针方向旋转形成的角为正角。顺时针方向旋转形成的角为负角；射线没有旋转形成零角。 　　3．角的分类： 　　我们把角的顶点放在直角坐标系的原点，把角的始边放在x 轴的非负方向上，则通过角的终边的位置把角分成象限角与轴上角两类。即角的终边在象限内称为象限角，角的终边在坐标轴上称为轴上角。 　　4．与角α终边相同的角的集合：S={β|β=k·360+α,k∈Z}。 　　注意：α可以是任意角。 　　5．两个约定 　　0到90的角是指：0≤α<90 　　0～90范围的角是指：0≤α≤90。 ‎ 8‎ ‎ ‎ ‎ 　　二、弧度制的引入 　　对于一个新的制度，首先需要规定单位，在弧度制中首先要规定1个弧度。 　　1弧度角：圆中弧长等于半径的弧所对的圆心角规定为1弧度。 　　定义：角α的弧度数的绝对值。 |α|=。 　　其中角α所对弧长为l，r是圆的半径。 　　角度制与弧度制的互化 　　当l=2πr（即圆的周长）时，圆心角的弧度数是2π, 角度数为360，则有： 　　2π弧度=360 　　π弧度=180 　　1弧度≈57.3=5718′ 　　注：角的弧度数的单位“弧度”两字可以省略，但角度数中的“”不能省略。 　　三、任意角三角函数 　　1．三角函数的定义： 　　设：角α终边上任一点P(x, y)，|OP|=r 　　则：sina=,　　 cosa=,　　 tana= 　　cota=,　　 seca=,　　 csca= 　　由定义可知余割、正割、余切是正弦、余弦、正切的倒数，因此今后我们研究问题时，只研究正弦、余弦、正切即可。 　　不同象限中三角函数的符号： ‎ 8‎ ‎ ‎ ‎　　2．三角函数线 　　三角函数线是三角函数的几何表示，即数形结合中的形。 　　由于定义三角函数时点P是角α终边上任意一点，因此我们可以取距离原点O为1的点作为P点，而所有距离0为1的构成以原点为圆心，1（单位）为半径的圆，称为单位圆，在单位圆中我们来研究三角函数的几何表示。 　　设：角α的终边与单位圆交于点P，即|OP|=r=1. 　　过P作PM⊥x轴于M点，则sinα==MP, cosα==OM. 　　由于正弦，余弦的定义是点P的纵、横坐标与r的比，因此MP，OM没有加绝对值，即其中带有正负，显然与初中平面几何的含义不同，这里首先要介绍几个概念： 　　有向线段：规定了起点和终点的线段，即等等； 　　有向线段的数量：MP，OM，当与正方向一致时，MP为正；当与正方向相反时，MP为负。 　　有线向段的长度：||，||. 　　显然sinα=MP中MP是有向线段的数量。而有向线段称为角α的正弦线，有向线段称为角α的余弦线。 　　如何寻找正切线呢？ 　　取A(1,0)，过A作AT⊥x轴，交角α的终边于T，此时tanα=AT. 　　则有向线段为角α的正切线。对于余切线，正割线，余割线在这里我们就不作为要求了。 　　四、例题选讲 　　例1．在-180到180中找出与下列角终边相同的角。 　　(1)-234　　(2)1245　　(3)56033'　　(4)-224.31 ‎ 8‎ ‎ ‎ ‎ 　　解：(1)满足条件的角：-234+360=126. 　　(2)满足条件的角：1245-1080=165. 　　(3)满足条件的角：56033′-720=-15927′. 　　(4)满足条件的角：-224.31+360=135.69. 　　例2．用弧度制表示下列角的集合。 　　(1)x轴上的角；　　(2)第四象限角； 　　(3)与的终边关于x轴对称的角；　　(4)终边在直线y=x上。 　　解：(1){α|α=kπ,k∈Z} 　　(2){α|2kπ+π<α<2kπ+2π,k∈Z } 　　={α|2kπ-<α<2kπ, k∈Z} 　　(3) {α|α=2kπ-, k∈Z} 　　(4) {α|α=kπ+, k∈Z} 　　例3．已知：α是第三象限角，求(1)2α　　(2)　　(3)终边所在的位置。 　　解： ∵ α是第三象限角，∴ 2kπ+π<α< 2kπ+π( k∈Z) 　　则(1) 4 kπ+2π<2α<4kπ+3π( k∈Z) ‎ 8‎ ‎ ‎ ‎　　即2α的终边在一，二象限及y轴非负半轴上； 　　(2) kπ+<< kπ+π( k∈Z) 　　如图：的终边落在二，四象限。 　　(3) kπ+<0. 　　(2)∵ -π=-4π+π, 即-π是第一象限角， ∴ tan(-π)>0. 　　(3) ∵ -22是第四象限角，∴ sec(-22) >0. 　　(4) ∵ -5.2+2π≈1.08, 即-5.2是第一象限角，∴ cos(-5.2)>0. 　　例5．满足下列条件的角的集合。 　　(1)sinα·cosα>0　　(2) <0　　(3) |sinα|=-sinα 　　解：(1) ∵ sinα·cosα>0, ∴ sinα与cosα同号即可， 　　∴ α是第一，三象限角。 ‎ 8‎ ‎ ‎ ‎　　即：α∈{x|kπ0时，点P在第二象限，则α为第二象限角， 　　即x=-3a, y=4a, r=5a 　　sinα=, cosα=-, tanα=- 　　cotα=-, secα=-, cscα=. 　　例7．已知：α为锐角，求证：sinα<α0, cosx>0, tanx>0, cotx>0,　 ∴ y=4. 　　(2)当x为第二象限时，∵ sinx>0, cosx<0, tanx<0, cot<0, ∴ y=-2. 　　(3)当x为第三象限时，∵ sinx<0, cosx<0, tanx>0, cotx>0, ∴ y=0. 　　(4)当x为第四象限角时，∵ sinx<0, cosx>0, tanx<0, cotx<0, ∴ y=-2. 　　∴ 值域：{-2，0，4}。 　　本周练习： 　　1．终边与角α终边关于原点对称点的集合是_________________。 　　2．若α是第三象限角，则π-α是第__________象限。 　　3. 若α为锐角，则=______________。 　　4．已知：扇形的圆心角为，求：扇形内切圆的面积与扇形面积的比。 　　答案： 　　1. {β|β=2kπ+π+α,k∈Z}　　2. 第四象限 ‎ 8‎ ‎ ‎ ‎ 　　3. 　　4. 2:3. ‎ 8‎