【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版7-6直接证明与间接证明学案

【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版7-6直接证明与间接证明学案

‎§7.6　直接证明与间接证明 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．‎ ‎2.了解反证法的思考过程和特点.‎ 常以立体几何中的证明及相关选修内容中平面几何，不等式的证明为载体加以考查，注意提高分析问题、解决问题的能力；在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中档.‎ ‎1．直接证明 内容 综合法 分析法 定义 从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法 从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法 特点 从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件 从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件 步骤的符号表示 P0(已知)⇒P1⇒P2⇒P3⇒P4(结论)‎ B(结论)⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A(已知)‎ ‎2.间接证明 ‎(1)反证法的定义：‎ 一般地，由证明p⇒q转向证明 綈q⇒r⇒…⇒t t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．‎ ‎(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤：‎ ‎①分清命题的条件和结论；‎ ‎②做出与命题结论相矛盾的假定；‎ ‎③由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；‎ ‎④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．‎ 概念方法微思考 ‎1．直接证明中的综合法是演绎推理吗？‎ 提示　是．用综合法证明时常省略大前提．‎ ‎2．综合法与分析法的推理过程有何区别？‎ 提示　综合法是执因索果，分析法是执果索因，推理方式是互逆的．‎ ‎3．反证法是“要证原命题成立，只需证其逆否命题成立”的推理方法吗？‎ 提示　不是．反证法是命题中“p与綈p”关系的应用．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　×　)‎ ‎(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　×　)‎ ‎(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“aQ B．P＝Q C．PQ2，又∵P>0，Q>0，∴P>Q.‎ ‎3．设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，则＋等于(　　)‎ A．1 B．2 C．4 D．6‎ 答案　B 解析　由题意，得x＝，y＝，b2＝ac，‎ ‎∴xy＝，‎ ＋＝＝ ‎＝＝ ‎＝＝ ‎＝＝2.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．若a，b，c为实数，且aab>b2‎ C.< D.> 答案　B 解析　a2－ab＝a(a－b)，‎ ‎∵a0，‎ ‎∴a2>ab.①‎ 又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②‎ 由①②得a2>ab>b2.‎ ‎5．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是(　　)‎ A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 答案　A 解析　方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.‎ ‎6．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________．‎ 答案　等边三角形 解析　由题意得2B＝A＋C，‎ ‎∵A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，‎ 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，‎ ‎∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，‎ ‎∴A＝C，∴A＝B＝C＝，‎ ‎∴△ABC为等边三角形.‎ 题型一　综合法的应用 例1 已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：‎ ‎(1)＋＋≤；‎ ‎(2)＋＋≥.‎ 证明　(1)∵(＋＋)2＝(a＋b＋c)＋2＋2＋2≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，‎ ‎∴＋＋≤(当且仅当a＝b＝c时取等号)．‎ ‎(2)∵a>0，∴3a＋1>1，‎ ‎∴＋(3a＋1)≥2＝4，‎ ‎∴≥3－3a，‎ 同理得≥3－3b，≥3－3c，‎ 以上三式相加得 ‎4≥9－3(a＋b＋c)＝6，‎ ‎∴＋＋≥(当且仅当a＝b＝c＝时取等号)．‎ 思维升华 (1)从已知出发，逐步推理直到得出所证结论的方法为综合法；(2)计算题的计算过程也是根据已知的式子进行逐步推导的过程，也是使用的综合法．‎ 跟踪训练1 设Tn是数列{an}的前n项之积，并满足：Tn＝1－an.‎ ‎(1)证明：数列是等差数列；‎ ‎(2)令bn＝，证明：{bn}的前n项和Sn<.‎ 证明　(1)∵an＋1＝＝ ‎⇒＝ ⇒－＝1，‎ ‎∴－＝1，‎ 又∵T1＝1－a1＝a1，‎ ‎∴a1＝，∴＝＝2，‎ ‎∴数列是以2为首项，公差为1的等差数列．‎ ‎(2)∵＝＋(n－1)×1，‎ ‎∴＝n＋1⇒an＝(n∈N＋)，‎ ‎∴bn＝＝＝ ‎ ‎<＝，‎ ‎∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn ‎<× ‎＝×<×＝.‎ 题型二　分析法的应用 例2 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.‎ 求证：＋＝.‎ 证明　要证＋＝，‎ 即证＋＝3，也就是＋＝1，‎ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，‎ 需证c2＋a2＝ac＋b2，‎ 又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，‎ 由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，‎ 即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．‎ 于是原等式成立．‎ 思维升华 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．‎ ‎(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法．‎ 跟踪训练2 已知a>0，证明：－≥a＋－2.‎ 证明　要证－≥ a＋－2，‎ 只需证 ≥－(2－)．‎ 因为a>0，所以－(2－)>0，‎ 所以只需证2≥2，‎ 即2(2－)≥8－4，‎ 只需证a＋≥2.‎ 因为a>0，a＋≥2显然成立 ，‎ 所以要证的不等式成立．‎ 题型三　反证法的应用 例3 设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：‎ ‎(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．‎ 证明　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.‎ ‎(1)由均值不等式及ab＝1，‎ 有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．‎ ‎(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，‎ 则由a2＋a<2及a>0，得00，‎ 即cos(A＋C)>0，所以A＋C是锐角，‎ 从而B>，故△ABC必是钝角三角形．‎ ‎2．分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是(　　)‎ A．x2>1 B．x2>4‎ C．x2>0 D．x2>1‎ 答案　C 解析　因为x>0，所以要证<1＋，‎ 只需证()2<2，‎ 即证0<，即证x2>0，‎ 因为x>0，所以x2>0成立，‎ 故原不等式成立．‎ ‎3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)‎ A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 答案　A 解析　由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.‎ 其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是(　　)‎ A．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤‎ 答案　C 解析　若a＝，b＝，则a＋b>1，‎ 但a<1，b<1，故①推不出；‎ 若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；‎ 若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；‎ 若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；‎ 对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，‎ 下面用反证法证明：‎ 假设a≤1且b≤1，‎ 则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，‎ 因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.‎ ‎6．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设________．‎ 答案　x≠－1且x≠1‎ 解析　“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．‎ ‎7．如果a＋b>a＋b成立，则a，b应满足的条件是__________________________．‎ 答案　a≥0，b≥0且a≠b 解析　∵a＋b－(a＋b)‎ ‎＝(a－b)＋(b－a)‎ ‎＝(－)(a－b)‎ ‎＝(－)2(＋)．‎ ‎∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(－)2(＋)>0.‎ ‎∴a＋b>a＋b成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.‎ ‎8．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N＋，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为____________．‎ 答案　cn＋10，b>0，如果不等式＋≥恒成立，则m的最大值为________．‎ 答案　9‎ 解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0.‎ 所以不等式可化为m≤(2a＋b)‎ ‎＝5＋2.‎ 因为5＋2≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，‎ 即其最小值为9，所以m≤9，即m的最大值等于9.‎ ‎10．在不等边三角形ABC中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足________．‎ 答案　a2>b2＋c2‎ 解析　由余弦定理cos A＝<0，‎ 得b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.‎ ‎11．若a，b，c是不全相等的正数，求证：‎ lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c.‎ 证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，‎ ‎∴≥ >0，≥ >0，≥ >0.‎ 由于a，b，c是不全相等的正数，‎ ‎∴上述三个不等式中等号不能同时成立，‎ ‎∴··>abc>0成立．‎ 上式两边同时取常用对数，得 lg>lg abc，‎ ‎∴lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c.‎ ‎12．若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．‎ 解　(1)由题设得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，‎ g(1)＝1，g(b)＝b，即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.‎ 因为b>1，所以b＝3.‎ ‎(2)假设存在常数a，b (a>－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b] 上的“四维光军”函数，‎ 因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，‎ 所以有即 解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．‎ ‎13．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(　　)‎ A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A 答案　A 解析　∵≥≥，‎ 又f(x)＝x在R上是减函数．‎ ‎∴f ≤f()≤f ，即A≤B≤C.‎ ‎14．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是____________．‎ 答案　 解析　方法一　(补集法)若二次函数f(x)≤0在区间[－1,1]内恒成立，‎ 则 解得p≤－3或p≥，‎ 故满足题干条件的p的取值范围为.‎ 方法二　(直接法)依题意有f(－1)>0或f(1)>0，即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，得－k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．‎ ‎(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；‎ ‎(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．‎ 证明　(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，‎ 则an＝a1＋(n－1)d，从而，当n≥4时，‎ an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d ‎＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1，2，3，‎ 所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，‎ 因此等差数列{an}是“P(3)数列”．‎ ‎(2)数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，‎ 当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①‎ 当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3‎ ‎＝6an.②‎ 由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③‎ an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④‎ 将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，‎ 所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.‎ 在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，‎ 所以a2＝a3－d′，‎ 在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，‎ 所以a1＝a3－2d′，所以数列{an}是等差数列．‎