【数学】2018届一轮复习人教A版不等式选讲学案
第二讲 不等式选讲(选修4－5)
考情分析]
不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破.
年份
卷别
考查角度及命题位置
2017
Ⅰ卷
绝对值不等式解法与不等式成立问题·T23
Ⅱ卷
不等式证明问题·T23
Ⅲ卷
不等式的解法与不等式恒成立问题·T23
2016
Ⅰ卷
绝对值不等式的解法及图象·T24
Ⅱ卷
含绝对值不等式的解法及比较法证明不等式·T24
Ⅲ卷
绝对值不等式解法·T24
2015
Ⅰ卷
绝对值不等式的求解、数形结合求三角形面积公式·T24
Ⅱ卷
不等式的证明、充要条件的判定·T24
真题自检]
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含 －1,1]，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0. ①
当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而1
0，b>0，且a＋b＝＋.证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
证明：由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得00，
只需证(a－b)(2a＋b)>0，
只需证(a－b)(a－c)>0.
∵a>b>c，∴a－b>0，a－c>0，
∴(a－b)(a－c)>0显然成立，故原不等式成立．
类题通法]
不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等．
(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；(2)如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；(3)如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法．
在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．
含绝对值不等式的恒成立问题
方法结论]
绝对值不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
典例] (2017·惠州模拟)已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，
所以，解得a＝2.
(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|.
设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.
因为|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，
所以g(x)的最小值为5.
因此，若g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m对x∈R恒成立，
则实数m的取值范围是(－∞，5]．
类题通法]
1．绝对值不等式中蕴含最佳思想，即可利用≤|a±b|≤|a|＋|b|去求形如f(x)＝|x－a|＋|x－b|或f(x)＝|x－a|－|x－b|的最值．
2．不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：
f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a；f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a；f(x)＞a有解⇔f(x)max＞a；f(x)＜a有解⇔f(x)min＜a；f(x)＞a无解⇔f(x)max≤a；f(x)＜a无解⇔f(x)min≥a.
演练冲关]
1．(2017·合肥模拟)已知函数f(x)＝|x－m|－|x＋3m|(m＞0)．
(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥1的解集；
(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)＜|2＋t|＋|t－1|恒成立，求m的取值范围．
解析：(1)f(x)＝|x－m|－|x＋3m|＝
当m＝1时，由，或x≤－3，得x≤－，
∴不等式f(x)≥1的解集为{x|x≤－}．
(2)不等式f(x)＜|2＋t|＋|t－1|对任意的实数t，x恒成立，等价于对任意的实数x，f(x)＜(|2＋t|＋|t－1|)min恒成立，即 f(x)]max＜(|2＋t|＋|t－1|)min，
∵f(x)＝|x－m|－|x＋3m|≤|(x－m)－(x＋3m)|＝4m，
|2＋t|＋|t－1|≥|(2＋t)－(t－1)|＝3，
∴4m＜3，又m＞0，∴0＜m＜.
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
解析：(1)f(x)＝
当x<－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得，2x－1≥1，解得1≤x≤2；
当x>2时，由f(x)≥1解得x>2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.
而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，
且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.
故m的取值范围为.
