【数学】2020届一轮复习人教B版 计数原理 课时作业

【数学】2020届一轮复习人教B版 计数原理 课时作业

‎2020届一轮复习人教B版 计数原理 课时作业 ‎1、在二项式的展开式中，二项式系数的和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2、已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式展开式中的常数项为（ ）‎ A．10 B．42 C．50 D．182‎ ‎3、若，则的值为（ ）‎ A．4 B．4或5 C．6 D．4或6‎ ‎4、牡丹江一中2019年将实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目．已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业，按照17年北大高考招生选考科目要求物、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，上午第四节和下午第一节不算相邻），现该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻，则该生该天课表有（　　）种．‎ A．444 B．1776 C．1440 D．1560‎ ‎5、现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）‎ A．每人都安排一项工作的不同方法数为 B．每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为 C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 ‎6、从1，3，5，7四个数中选两个数字，从0，2，4三个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为_____________‎ ‎7、展开式中的项的系数为__________．‎ ‎8、的展开式中项的系数为__________．‎ ‎9、数列满足，，…，‎ ‎（1）求，，，的值；‎ ‎（2）求与之间的关系式；‎ ‎（3）求证：‎ ‎10、以下问题最终结果用数字表示 ‎(1)由0、1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的五位偶数？‎ ‎(2)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且2、3不相邻的五位数？‎ ‎(3)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数？‎ ‎11、（1）解不等式:‎ ‎（2）有4名男生和3名女生 i)选出4人去参加座谈会，如果3人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？‎ ii)7人排成一排，甲乙二人之间恰好有2个人，有多少种不同的排法？‎ ‎12、按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?‎ ‎（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;‎ ‎（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;‎ ‎（3）平均分成三份,每份2本;‎ ‎（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;‎ ‎（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;‎ ‎（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;‎ ‎（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.‎ ‎13、将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（最后结果用数字表示）‎ ‎（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？‎ ‎（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？‎ 参考答案 ‎1、答案：D 先由二项式系数的和为解出n，然后利用二项式展开通项式确定有理项的项数，然后利用插空法求出有理项互不相邻的排法数，除以排列总数即为所求概率.‎ ‎【详解】‎ 解：因为二项式系数的和为 解得n=8‎ 二项式的展开通项式为 其中当k=0、3、6时为有理项 因为二项式的展开式中共有9项，全排列有种排法，‎ 其中3项为有理项，6项为非有理项，且有理项要求互不相邻 可先将6项非有理项全排列共种 然后将3项有理项插入6项非有理项产生的7个空隙中共种 所以有理项都互不相邻的概率为 故选：D.‎ 本题主要考查二项式系数和，以及排列中的不相邻问题。二项式系数和为，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和等于；相邻捆绑法，不相邻插空法是解决排列中相邻与不相邻问题的两种基础方法.‎ ‎2、答案：A 先由第4项的二项式系数为最大，得出n=6，然后分析得到多项式的常数项只能是乘以中的项，乘以中的常数项，所以求出中的项与常数项，再分别与和相乘，再合并即为整个多项式的常数项.‎ ‎【详解】‎ 解：因为的展开式中第4项的二项式系数为，且最大 所以n=6‎ 所以多项式 二项式的展开通项式为 所以当k=4时，‎ 当k=3时，‎ 所以展开式中常数项为 故选：A.‎ 本题主要考查二项式系数的最大项和多项式乘以二项式的展开式，当n是偶数时，二项式系数最大值为，当n是奇数时，二项式系数最大值为或；多项式乘以二项式的展开式中某项系数问题，先要确定前面多项式各项应乘二项式中哪一项再分别计算即可.‎ ‎3、答案：D 因为，所以 或，所以 或 ‎，选D.‎ ‎4、答案：B 先从生、史、地、政四选一，因为数学不能在下午第一节，且语文外语不相邻，可以分为语文外语有一科在下午第一节和都不在下午第一节两类，都不在下午第一节又分语文英语都在上午或上下午各一科进行讨论.‎ ‎【详解】‎ 解：首先理、化、生、史、地、政六选三，且物、化必选，所以只需在生、史、地、政四选一有种；然后对语文、外语排课进行分类，第1类：语文外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课任意一节，剩下的四科可全排列，共种；第2类：语文外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语数外三科的另三科中选择，语文和外语可都安排在上午，可以是上午第一、三，上午一、四、上午二、四节3种，也可一科在上午任一节一科在下午第二节，其他三科可以全排列，共；所以总共有种.‎ 本题主要考查排列组合中的先选后排，在排列过程中涉及到特殊优先，不相邻要分类讨论.‎ ‎5、答案：D 选项A中每人有四项工作可安排，5人应该是，选项A错误；选项B中先每项工作分一人，再安排另一人会有重复，选项B错误；选项C 中先分组再分配中括号内的分组有重复，错误；选项D中分两类司机1人和司机2人，分类安排再相加正确.‎ ‎【详解】‎ 解：每人有四项工作可以安排，所以五人都安排一项工作的不同方法数为,选项A错误；每项工作至少有一人参加，则有一项工作安排两人，其他三项工作各一人，所以共有，选项B中是先每项工作安排一人，还剩下一人在四项工作选择，这样会有重复，比如：“甲、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机，然后戊安排翻译”与“戊、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机，然后甲安排翻译”重复计算了，选项B错误；选项C中是先分组后分配，代表的是5人分成3人、1人、1人三组，代表的是5人分成2人、2人、1人三组，然后三组人分配三项工作，乘以，然而分组的过程中和都有重复，比如：3人、1人、1人分组中先选择了甲、乙、丙三人一组，剩下丁、戊分两组只有一种分发，而不是种，选项C错误；选项D分两类考虑，第一类：司机安排一人为，另外4人分3组（4人选2人为一组，另外两人分两组只有一种分法），然后三组人安排司机除外的三项工作，共，第二类：司机安排两人，剩下3人安排另三项工作，共，两类相加得，选项D正确.‎ 故选：D.‎ 本题主要考查排列组合中的分组分配问题，分组分配问题尽量采用先分组后分配相对不容易重复或遗漏，不过要注意分组中如果有平均分组需除以，以避免重复分组.‎ ‎6、答案：60‎ 首先要分有0和没有0进行考虑，由于最后是奇数，所以有0时，0只能在中间，没有0时，偶数只能在前两位，然后分别求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：分两类考虑，第1类：有0，0只能排中间，共有种；第2类：没有0，且偶数只能放在前两位，共有；所以总共有12+48=60种 故答案为：60.‎ 本题主要考查计数原理的运用，采用先取后排的原则，排列时要注意特殊优先.‎ ‎7、答案：40‎ 的通项为，令，求得展开式中的项的系数，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 的通项为，‎ 令，‎ 展开式中的项的系数为，‎ 即展开式中的项的系数为40，故答案为40.‎ 本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎8、答案：‎ 因，故问题转化为求的展开式中含项的系数。又，则含项的系数分别是，故所求的展开式中项的系数为，应填答案。‎ ‎9、答案：（1），，，；（2）；（3）详见解析.‎ 试题分析：（1）运用排列数公式，计算即可得到，，，的值；（2）由排列数公式，提取，即可得到与之间的关系式；（3）运用（2）的结论和阶乘的定义，结合不等式的性质，即可得证.‎ 试题（1），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）！；‎ ‎（3）证明：由（2）可知，‎ 所以.‎ 所以时不等式成立，而时不等式显然成立，所以原命题成立.‎ ‎10、答案：（1）60（2）72（3）20‎ 试题分析：（1）五位偶数，要求末位必须是0，2，4，分类求出满足条件的结果。‎ ‎(2)可以求出一共能组成多少个五位数，然后再求出2、3相邻的五位数的个数，两数相减。‎ ‎（3）确定数字4，5的排法，然后数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）偶数末位必须为0，2，4对此进行以下分类：‎ 当末位是0时，剩下1，2，3，4进行全排列，=24‎ 当末位是2时，注意0不能排在首位，首位从1，3，4选出有种方法排在首位，剩下的三个数可以进行全排列有种排法，所以当末位数字是2时有=18个数。‎ 同理当末位数字是4时也有18个数，‎ 所以由0、1、2、3、4可以组成无重复数字的五位偶数有24+18+18=60个.‎ ‎（2）由1、2、3、4、5组成五位数一共有个。‎ 第一步，把2.3捆定，有种排法；‎ 第二步，捆定的2，3与1，4，5一起全排列，共有个数，‎ 根据分步计数原理，2，3相邻的五位数共有=48个数，‎ 因此由1、2、3、4、5组成无重复数字且2、3不相邻的五位数共有 个数。‎ ‎（3）把五位数每个数位看成五个空，数字4，5共有个，‎ 然后把数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入，只有一种方式，‎ 根据分步计数原理，可知 由1、2、3、4、5组成无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数 为个。‎ 解决此类问题首先要考虑的是分步还是分类问题，是排列还是组合问题。‎ 一般的策是先考虑没有要求的元素的排法，再考虑特殊元素的要求。‎ ‎11、答案：(1)(2)i)30种，ii)960‎ 试题分析：（1）根据排列数的公式，把不等式化为，求出解集即可．‎ ‎（2）i)方法1：(间接法)在7人选3人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数；‎ 方法2：(直接法)分别按含男1，2人分类，得到符合条件的选法总数，‎ ii)甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出2人排在甲、乙之间，再根据分步计数原理，问题得以解决．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原不等式即，‎ 也就是，‎ 化简得，‎ 解得或，又因为，且，‎ 所以原不等式的解集为.‎ ‎(2)i)方法1：(间接法)‎ 在7人选3人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为：‎ ‎(种)；‎ 方法2：(直接法)‎ 分别按含男1，2人分类，得到符合条件的选法总数为：‎ ‎(种).‎ ii)甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出2人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与站好的2个元素全排列，分步有＝960种.‎ 本题主要考查了分步计数原理，如何分步是关键，属于中档题 ‎12、答案：（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）70‎ 试题分析：（1）根据组合问题，分步依次选出三种选法，相乘即可得到总的方法数。‎ ‎（2）根据组合，先求出三种符合要求的算法。再对三种进行全排列即可。‎ ‎（3）列出分成三组的不同组合数，注意去掉重复的情况。‎ ‎（4）分成三组的不同组合数，去掉重复情况后，再对三组进行全排列即可。‎ ‎（5）根据组合特征，求得分组情况，去掉重复部分即可。‎ ‎（6）利用组合求得分组情况，并去掉重复部分后，对三组进行全排列。‎ ‎（7）根据排列数计算，得到无重复的无序组数。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）无序不均匀分组问题.先选本有种选法;再从余下的本中选本有种选法;最后余下的本全选有种选法.故共有(种)选法.‎ ‎（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在题的基础上,还应考虑再分配,共有.‎ ‎（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为,,,,, ,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,记该种分法为(,,),则种分法中还有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有种情况,而这种情况仅是,,的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有.‎ ‎（4）有序均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式(种).‎ ‎（5）无序部分均匀分组问题.共有(种)分法.‎ ‎（6）有序部分均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式(种).‎ ‎（7）直接分配问题.甲选本有种选法,乙从余下本中选本有种选法,余下本留给丙有种选法,共有(种)选法.‎ 本题考查了排列组合问题的综合应用，关键分清是否有序，是否有重复的情况出现，对分析问题的能力要求较高，属于中档题。‎ ‎13、答案：（1）105；（2）630‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意利用分步乘法计数原理，分三步可得总的分配方案有（种）；‎ ‎(2)由题意利用分步乘法计数原理，分四步可得总的分配方案有（种）.‎ 试题 ‎（1）利用分步乘法计数原理，第一步，4个人分到甲学校，有种分法；第二步，2个人分到乙学校，有种分法；第三步，剩下的1个人分到丙学校，有种分法，所以，总的分配方案有（种）‎ ‎（2）同样用分步乘法计数原理，第一步，选出4人有种方法；第二步，选出2人有种方法；第三步，选出1人有种方法；第四步，将以上分出的三伙人进行全排列有种方法.所以分配方案有（种）‎