【数学】2018届一轮复习人教A版（理）9-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）9-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案

‎§9.1　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 考纲展示►　‎ ‎1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式．‎ ‎2．掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．‎ 考点1　直线的倾斜角与斜率 ‎1.直线的倾斜角 ‎(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴________时，规定它的倾斜角为0°.‎ ‎(2)范围：直线l的倾斜角的取值范围是________．‎ 答案：(1)向上方向　平行或重合　(2)[0，π)‎ ‎2．直线的斜率 ‎(1)定义：若直线的倾斜角α不是90°，则斜率k＝________.‎ ‎(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝.‎ 答案：(1)tan α　‎ 斜率与倾斜角的两个易错点：斜率与倾斜角的对应关系；倾斜角的范围．‎ ‎(1)当a＝3时，直线ax＋(a－3)y－1＝0的倾斜角为________．‎ 答案：90°‎ 解析：当a＝3时，直线ax＋(a－3)y－1＝0可化为3x－1＝0，其倾斜角为90°.‎ ‎(2)直线xcos α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．‎ 答案：∪ 解析：设直线的倾斜角为θ.‎ 依题意知，斜率k＝－cos α.‎ ‎∵cos α∈[－1,1]，∴k∈[－1,1]，‎ 即tan θ∈[－1,1]．‎ 又θ∈[0，π)，∴θ∈ ∪ .‎ 求斜率或倾斜角：公式法．‎ 已知直线l经过A(－cos θ，sin2θ)，B(0,1)两个不同的点，则直线l的斜率为________，倾斜角的取值范围是________．‎ 答案：cos θ　 ∪ 解析：当cos θ＝0时，‎ sin2θ＝1－cos2θ＝1，‎ 此时A，B两点重合，∴cos θ≠0，‎ ‎∴斜率k＝cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，‎ 因此倾斜角的取值范围是 ∪ .‎ ‎[典题1]　(1)设直线l的方程为x＋ycos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)‎ A．[0，π) ‎ B. C. ‎ D.∪ ‎[答案]　C ‎[解析]　当cos θ＝0时，方程变为x＋3＝0，‎ 其倾斜角α＝；‎ 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率 k＝tan α＝－.‎ ‎∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，‎ ‎∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，‎ 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，‎ 又α∈[0，π)，‎ ‎∴α∈∪.‎ 综上知，倾斜角α的取值范围是，故选C.‎ ‎(2)若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是________．‎ ‎[答案]　[－，0)∪ ‎[解析]　当≤α<时，≤tan α<1，‎ ‎∴≤k<1.‎ 当≤α<π时，－≤tan α<0，‎ 即－≤k＜0.‎ ‎∴k∈∪[－，0)．‎ ‎(3)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．‎ ‎[答案]　(－∞，－ ]∪[1，＋∞)‎ ‎[解析]　如图所示，‎ ‎∵kAP＝＝1，‎ kBP＝＝－，‎ ‎∴直线l斜率的取值范围为 ‎(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．‎ ‎[题点发散1]　若将本例(3)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．‎ 解：∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，‎ ‎∴kAP＝＝，‎ kBP＝＝.‎ 如图可知，直线l斜率的取值范围为.‎ ‎[题点发散2]　若将本例(3)的条件改为“经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角α的取值范围．‎ 解：解法一：如图所示，‎ kPA＝＝－1，kPB＝＝1，‎ 由图可得，直线l的倾斜角α的取值范围是∪.‎ 解法二：由题意知，直线l存在斜率．‎ 设直线l的斜率为k，‎ 则直线l的方程为y＋1＝kx，即kx－y－1＝0.‎ ‎∵A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上．‎ ‎∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，‎ 即2(k＋1)(k－1)≤0.‎ ‎∴－1≤k≤1.‎ ‎∴直线l的倾斜角α的取值范围是∪.‎ ‎[点石成金]　求倾斜角的取值范围的两个步骤及一个注意点 ‎(1)两个步骤：‎ ‎①求出斜率k＝tan α的取值范围；‎ ‎②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．‎ ‎(2)一个注意点：‎ 求倾斜角时要注意斜率是否存在．‎ 考点2　直线方程 直线方程的五种形式 答案：y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b　＝　Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)‎ ‎(1)[教材习题改编]直线l的倾斜角为60°，且在x轴上的截距为－，则直线l的方程为________．‎ 答案：3x－y＋1＝0‎ 解析： 由题意可知，直线l的斜率为，且该直线过 ，∴直线l的方程为y＝，即3x－y＋1＝0.‎ ‎(2)[教材习题改编]若方程Ax＋By＋C＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是________．‎ 答案：A≠0且B≠0‎ 解析：直线Ax＋By＋C＝0与x轴相交，即方程组 有唯一解，所以A≠0.‎ 同理，直线Ax＋By＋C＝0与y轴相交时，有B≠0.‎ 直线方程的易错点：方程形式的变形及转化．‎ ‎(1)给出下列直线方程：①x－3y＝6；②2x－3y＝0；③ax＋by＝c，其中一定能化为截距式方程的是________．‎ 答案：①‎ 解析：(1)x－3y＝6化为截距式方程为 ＋＝1；‎ ‎2x－3y＝0不能化为截距式方程；‎ 当a，b，c中有1个或2个为0时，ax＋by＝c不能化为截距式方程．‎ ‎(2)过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________．‎ 答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0‎ 解析：①若直线过原点，则k＝－，‎ 所以y＝－x，即4x＋3y＝0.‎ ‎②若直线不过原点，‎ 设直线方程为＋＝1，即x＋y＝a，‎ 则a＝3＋(－4)＝－1，‎ 所以直线方程为x＋y＋1＝0.‎ 综上，所求直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.‎ ‎[典题2]　 根据所给条件求直线的方程：‎ ‎(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；‎ ‎(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；‎ ‎(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.‎ ‎[解]　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．‎ 设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α<π)，‎ 从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.‎ 故所求直线的方程为y＝±(x＋4)，‎ 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.‎ ‎(2)由题设知，横、纵截距不为0，‎ 设直线方程为＋＝1，‎ 又直线过点(－3,4)，从而＋＝1，‎ 解得a＝－4或a＝9.‎ 故所求直线的方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.‎ ‎(3)当斜率不存在时，所求直线的方程为x－5＝0，满足题意．‎ 当斜率存在时，设其斜率为k，‎ 则所求直线的方程为y－10＝k(x－5)，‎ 即kx－y＋10－5k＝0，‎ 由点到直线的距离公式，得＝5，‎ 解得k＝.‎ 故所求直线的方程为3x－4y＋25＝0.‎ 综上知，所求直线的方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.‎ ‎[点石成金]　根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时，凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性.‎ 求适合下列条件的直线方程：‎ ‎(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；‎ ‎(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．‎ 解：(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，‎ 若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，‎ ‎∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1，‎ ‎∵l过点(4,1)，∴＋＝1，‎ ‎∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.‎ 综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎(2)由已知，设直线y＝3x的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α.‎ ‎∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.‎ 又直线经过点A(－1，－3)，‎ ‎∴所求直线的方程为y＋3＝－(x＋1)，‎ 即3x＋4y＋15＝0.‎ ‎(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.‎ 又直线过点(3,4)，由点斜式，得y－4＝±(x－3)．‎ 故所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.‎ 考点3　直线方程的综合应用 ‎[考情聚焦]　直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 与基本不等式相结合的最值问题 ‎[典题3]　若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　将(1,1)代入直线＋＝1，得＋＝1，a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时等号成立，故a＋b的最小值为4.‎ 角度二 与导数的几何意义相结合的问题 ‎[典题4]　设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　　)‎ A. B．[－1,0]‎ C．[0,1] D. ‎[答案]　A ‎[解析]　由题意知，y′＝2x＋2，‎ 设P(x0，y0)，则在点P处的切线的斜率k＝2x0＋2.‎ 因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，‎ 故－1≤x0≤－.‎ 角度三 与圆相结合求直线方程问题 ‎[典题5]　在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过点H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是________．‎ ‎[答案]　x＋y－－1＝0‎ ‎[解析]　直线OA的方程为y＝x，代入半圆方程，得A(1,1)，‎ 所以H(1,0)，直线HB的方程为y＝x－1，‎ 代入半圆方程，得B.‎ 所以直线AB的方程为 ＝，‎ 即x＋y－－1＝0.‎ ‎[点石成金]　处理直线方程综合应用的两大策略 ‎(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．‎ ‎(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.‎ 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．‎ ‎(1)证明：直线l过定点；‎ ‎(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．‎ ‎(1)证明：直线l的方程可变形为k(x＋2)＋(1－y)＝0，‎ 令解得 ‎∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．‎ ‎(2)解：由直线l的方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，‎ 要使直线l不经过第四象限，‎ 则必须有解得k>0；‎ 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意．故k≥0，‎ 即k的取值范围是[0，＋∞)．‎ ‎(3)解：由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．‎ 依题意得解得k>0.‎ ‎∵S＝·|OA|·|OB|‎ ‎＝··|1＋2k|‎ ‎＝·＝ ‎≥×(2×2＋4)＝4，‎ 等号成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，‎ ‎∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎ ‎[方法技巧]　1.直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系 θ ‎0°‎ ‎0°<θ<90°‎ ‎90°‎ ‎90°<θ<180°‎ k ‎0‎ k>0‎ 不存在 k<0‎ ‎2.求直线方程的方法 ‎(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．‎ ‎(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．‎ ‎[易错防范]　1.利用两点式计算斜率时，易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况．‎ ‎2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．‎ ‎3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．‎ ‎4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0的情况，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－.‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎[2015·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a＞0)交于M，N两点．‎ ‎(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；‎ ‎(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．‎ 解：(1)由题设，可得M(2，a)，N(－2，a)或M(－2，a)，N(2，a)．‎ 又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，则C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，‎ 即x－y－a＝0；‎ y＝在x＝－2处的导数值为－，则C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，‎ 即x＋y＋a＝0.‎ 故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.‎ ‎(2)存在符合题意的点．证明如下：‎ 设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.‎ 将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－‎4a＝0.‎ 故x1＋x2＝4k，x1x2＝－‎4a.‎ 从而k1＋k2＝＋ ‎＝＝.‎ 当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，‎ 故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 忽视斜率不存在而致误分析 ‎[典例]　已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则过点P(－1,1)的圆的切线方程为________．‎ ‎[审题视角]　首先验证过P(－1,1)斜率不存在的直线是否与圆相切，然后利用直线和圆相切的条件列出方程求解．‎ ‎[解析]　(1)当直线的斜率不存在时，方程为x＝－1.‎ 此时圆心C(1，－2)到直线x＝－1的距离d＝|－1－1|＝2，‎ 故该直线为圆的切线．‎ ‎(2)当直线的斜率存在时，设斜率为k，‎ 则其方程为y－1＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋1＝0.‎ 由已知，圆心到直线的距离等于圆的半径，‎ 即＝2，‎ 整理得＝2，‎ 解得k＝－，‎ 故此时切线方程为－x－y＋＝0，‎ 即5x＋12y－7＝0.‎ 综上，所求圆的切线方程为x＝－1或5x＋12y－7＝0.‎ ‎[答案]　x＝－1或5x＋12y－7＝0‎ 温馨提醒 求解过定点的直线问题，首先要检验斜率不存在的直线是否符合题意，这是非常容易遗漏的问题．在处理相关问题时，也可根据图形判断所求直线的条数，进而避免此类失误．‎