2018届二轮复习第22讲三角恒等变换的方法学案（全国通用）

2018届二轮复习第22讲三角恒等变换的方法学案（全国通用）

‎【知识要点】‎ 一、同角的三大关系：‎ 商数关系： 平方关系： ‎ 温馨提示：‎ ‎（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解.‎ ‎（2）利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号.‎ 二、诱导公式口诀：纵变横不变，符号看象限 用诱导公式化简，一般先把角化成的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面 的角是纵轴（即轴）上的角，就是 “纵”，是横轴（即轴）上的角，就是“横”；符号看象限是，把看作是锐角，判断角在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）.‎ 用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间的角，再变到区间 的角，再变到区间的角计算.‎ 三、和角与差角公式 ：‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎ 变用：±= (±)(1)‎ 四、二倍角公式：‎ ‎= .‎ ‎.‎ 五、注意这些公式的来弄去脉，这些公式都可以由公式推导出来.‎ 六、注意公式的顺用、逆用、变用.‎ 如：逆用 ‎ 变用 ‎ 七、辅助角公式 ‎（其中）(其中和点所在象限相同，且 ‎)‎ 八、三角恒等变换方法 观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）‎ ‎（1）“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，把未知的角变成已知角的和差，‎ 或者变成已知角与特殊角的和差.是变换的主线，如, ‎ ‎,,等.‎ ‎（2）“变名”指的是“切化弦”（正切余切化成正弦余弦.‎ ‎（3）“变式”指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、辅助角公式展开和合 并等.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法一 变角 使用情景 未知的角和已知的角之间有联系 解题步骤 先把未知的角转化成已知的角或特殊的角的关系，再代入公式求解.‎ ‎【例1】 已知，,，，求的值．‎ ‎∴‎ ‎【点评】（1）三角恒等变换首先要注意观察 “角”，因为“角”是三角的主角，注意观察未知的角和已知的角之间的“和”、“差”、“倍”、“半”的关系，再决定变形的方向.（2）该题中 ‎，所以要先通过诱导公式把 这样就和已知联系起来了.当然也可以把利用诱导公式变 再把学.科.网 ‎【反馈检测1】设（－）=－，（－）=，且＜＜，0＜β＜，求 ‎.‎ ‎【例2】已知<<<,‎ ‎(Ⅰ)求的值.（Ⅱ）求.‎ ‎【点评】（1）三角恒等变换中求角，一般转化成求角的某种三角函数，一般是余弦、正弦，有时是正切，要看具体的数学情景.（2）一个关键点.‎ ‎【反馈检测2】如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，， 它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知的横坐标分别为，.‎ ‎（1）求(+)的值；（2）求+2的值.‎ 方法二 变名 使用情景 已知的三角函数种类比较多 解题步骤 先把正切余切化成正弦余弦（简称“切化弦”），再化简.‎ ‎【例3】若 ‎【点评】此题把化成是很关键的一个切入点，一般当三角函数的种类比较多，给化简带来了麻烦时，一般是把正切余切化成正弦和余弦，简称“切化弦”.‎ ‎【反馈检测3】求·的值.‎ 方法三 变式 使用情景 式子的次数有高有低，项数较多.‎ 解题步骤 一般进行升幂或降幂、因式分解、辅助角公式，再化简.‎ ‎【例4】已知函数 ‎（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的最小正周期；（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值；（Ⅲ）如果在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎（Ⅲ）在上恒成立，即 ‎【点评】（1）由于已知的函数的次数是“2”次，但是目标函数是一次，所以首先必须利用降幂公式降幂.（2）辅助角公式是三角恒等变换经常用到的公式，它可以化二项式为单项式，所以一定要熟练准确地掌握.‎ ‎【反馈检测4】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）设，求的值域和单调递增区间．‎ ‎【反馈检测5】已知，，令函数，且的最小正周期为．‎ ‎（1）求的值； （2）求的单调区间．‎ 高中数学常见题型解法归纳反馈检测第22讲 ：‎ 三角恒等变换的方法参考答案 ‎【反馈检测1答案】－‎ ‎【反馈检测2答案】（1）；（2）+2=.‎ ‎【反馈检测2详细解析】由条件得=,=.‎ ‎∵,为锐角, ∴==, ==.‎ 因此==7, ==.‎ ‎(1)(+)===-3.‎ ‎(2)∵2===, ∴ (+2)===-1.‎ ‎∵,为锐角,∴0＜+2＜,∴+2=.‎ ‎【反馈检测3答案】‎ ‎【反馈检测3详细解析】原式=‎ ‎【反馈检测4答案】（1）；（2）.学.科.网 ‎【反馈检测5答案】（1）；（2）在上递增；同理可求递减区间为． ‎ ‎【反馈检测5详细解析】（1）∵，所以 ‎，即，‎ ‎∴；‎ ‎（2）令，解之在上递增；同理可求递减区间为． ‎