人教新课标A版高一数学2-5-2求数列前n项和知识的运用

人教新课标A版高一数学2-5-2求数列前n项和知识的运用

2.5.2 求数列前 n 项和知识的运用 从容说课 上节课师生共同分析探究了等比数列的前 n 项和公式，从多种角度探索了等比数列前 n 项和公式的推导方法，在此基础上，这节课会进一步将等比数列前 n 项和公式与等比数列通 项公式综合在一起应用成为可能. 等比数列的通项公式与前 n 项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中 三个量可求另两个量，即已知 a1,an,q,n,Sn 五个量中的任意三个，就可以求出其余的两个量， 这其中渗透了方程的思想.其中解指数方程的难度比较大，训练要控制难度和复杂程度，要 大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”. 求数列前 n 项和，不仅仅是数学中的数列知识的演绎，更主要的是实际生活中的许多等 比数列问题需要用数列的知识加以解决.例如，教育储蓄问题、住房贷款问题等等，都是与 数列求和有关的生活中的实际问题.通过数列知识在现实生活中广泛的应用，使学生经历从 日常生活中的实际问题抽象出等比数列模型的过程，探索并掌握其中的一些基本的数量关 系，感受数列这种特殊的数学模型的广泛应用，在运用它解决一些实际问题的过程中更多地 体会数学的应用价值.同时，在解决问题的过程中也能对学生的价值观和世界观的培养有着 积极的影响，充分发挥数学的教育功能. 教材例题 3设计了一个与计算机相呼应的空间，明确指出：计算机可以帮助我们求一般 数列的和.教师要让学生体会到循环结构既可用于数列描述，又可用于数列求和.从这里我们 应该认识到，教材的设计和安排给学生和教师都留下了一定的空间，这个空间需要我们把握 好，充实好.因此，这里需要适当地安排对一般数列求和的习题和练习，使学生对一般数列 的求和有个简单的认识. 数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法的思 想等)，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有 着不可替代的作用.教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间. 教学重点 1.求数列前 n 项和知识的灵活运用. 2.运用数列这个特殊的数学模型解决生产实际和社会生活中的实际问题. 教学难点 运用数列模型解决生产实际和社会生活中相应的问题. 教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等 三维目标 一、知识与技能 1.用方程的思想认识等比数列前 n 项和公式，利用公式知三求一； 2.用等比数列前 n项和公式和有关知识解决现实生活中存在着大量的数列求和的计算问 题； 3.将等比数列前 n 项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题. 二、过程与方法 1.采用启发、引导、分析、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学； 2.给学生充分的独立思考、合作交流、自主探究的机会； 3.进行严谨科学的解题思想和解题方法的训练. 三、情感态度与价值观 1.通过数学本身知识的演绎推理和运算，提高学生深化对知识的理解和运用的水平以及 将知识融汇贯通的能力； 2.在独立思考、合作交流、自主探究中提高解题技能； 3.在研究解决生产实际和社会生活中的实际问题的过程中了解社会、认识社会，形成科 学的世界观和价值观. 教学过程 导入新课 师 你知道我国银行中有一种专门的储蓄业务叫做“教育储蓄”吗？ 生 根据自己所知道的，说出自己对“教育储蓄”的理解.(很可能是很笼统的、见字释义的理 解) 师 出示投影胶片 1：银行关于教育储蓄的管理办法(节选) 管理办法 第七条 教育储蓄为零存整取定期储蓄存款.存期分为一年、三年和六年.最低起存金额 为 50元，本金合计最高限额为 2万元.开户时储户应与金融机构约定每月固定存入的金额， 分月存入，中途如有漏存，应在次月补齐，未补存者按零存整取定期储蓄存款的有关规定办 理. 第八条 教育储蓄实行利率优惠.一年期、三年期教育储蓄按开户日同期同档次整存整 取定期储蓄存款利率计息；六年期按开户日五年期整存整取定期储蓄存款利率计息. 第十一条 教育储蓄逾期支取，其超过原定存期的部分，按支取日活期储蓄存款利率计 付利息，并按有关规定征收储蓄存款利息所得税. 第十二条 教育储蓄提前支取时必须全额支取，提前支取时，储户能提供“证明”的，按 实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息，并免征储蓄存款利息所 得税；储户未能提供“证明”的，按实际存期和支取日活期储蓄存款利率计付利息，并按有关 规定征收储蓄存款利息所得税. 师 着重引导学生注意关键的内容. 生 理解文件中的内容. 师 这是一个关系到我国每一个家庭的社会生活中的实际问题，其中大部分的计算都是用数 列的知识.现在我们就来一起探索其中的数学内容. 推进新课 ［例题剖析］ 师 出示投影胶片 2：课本第 70页 B组题第 4题： 例 1 思考以下问题： (1)依教育储蓄的方式，每月存 50元，连续存 3年，到期(3 年)或 6 年时一次可支取本息共 多少元？ (2)依教育储蓄的方式，每月存 a 元，连续存 3年，到期(3年)或 6年时一次可支取本息共多 少元？ (3)依教育储蓄的方式，每月存 50元，连续存 3 年，到期(3 年)时一次可支取本息比同档次 的“零存整取”多收益多少元？ (4)欲在 3年后一次支取教育储蓄本息合计 1万元，每月应存入多少元？ (5)欲在 3年后一次支取教育储蓄本息合计 a 万元，每月应存入多少元？ (6)依教育储蓄方式，原打算每月存 100元，连续存 6年，可是到了 4年时，学生需要提前 支取全部本息，一次可支取本息共多少元？ (7)依教育储蓄方式，原打算每月存 a 元，连续存 6 年，可是到了 b 年时，学生需要提前支 取全部本息，一次可支取本息共多少元？ (8)不用教育储蓄方式，而用其他的储蓄方式，以每月可存 100元，6年后使用为例，探讨以 现行的利率标准可能的最大收益，将得到的结果与教育储蓄比较. ［合作探究］ 师 要解决上面的这些问题，我们必须要了解一点银行的业务知识，据调查，银行整存整取 定期储蓄存款利率计算公式是这样的： 若每月固定存 a 元，连续存 n 个月，则计算利息的公式为 2 )1( nna  ×月利率. 师 你能解释这个公式的含义吗？ 生 独立思考、合作交流、自主探究. 师 (在学生充分探究后揭示)设月利率为 q， 则这个公式实际上是数列：aq,2aq,3aq,…,naq,…的前 n 项和. 这个数列的项不正是依次月数的利息数？ 这个数列具有什么特征呢？ 生 发现等差关系. 师 用我们的数学语言来说，这是个首项为 aq，公差为 aq的等差数列，而不是一个等比数 列.从这个公式中我们知道，银行整存整取定期储蓄存款利率计算不是按复利(利生息——利 滚利)计算的. 我们把这样的计算利息的方法叫做按单利(利不生息——利不滚利)计算. 这是我们在计算时必须弄明白的，否则，我们计算的结果就会与银行计算的实际结果不一致. 师 我们还需要了解银行的三年期、五年期的整存整取的存款利率，以及三年期零存整取的 存款利率和利息税率： 三年期整存整取存款年利率为 2.52%，月利率为 0.21%； 五年整存整取存款年利率为 2.79%，月利率为 0.232 5%； 三年期零存整取存款年利率为 1.89%，月利率为 0.157 5%； 利息税率为 20%. 师 下面我们来看第一个问题的结果. 生 计算，报告结果. 师 生共同解答： (1)解：因为三年期整存整取存款年利率为 2.52%，月利率为 0.21%，故依教育储蓄的方式， 每月存 50元，连续存 3年，到期一次可支取本息共 2 36)365050(  ×0.21%+1 800＝1 869.93(元). 因为五年整存整取存款年利率为 2.79%，月利率为 0.232 5%，故依教育储蓄的方式，若每月 存入每月存 50元，连续存 6年，到期一次可支取本息共 2 72)725050(  ×0.232 5%+3 600＝3 905.50(元). (2)每月存入每月存 a 元，连续存 3年，到期一次可支取本息共 2 36)36(  aa ×0.21%+36a(元). 若每月存入每月存 a 元，连续存 6年，到期一次可支取本息共 2 72)72(  aa ×0.232 5%+72a(元). (3)因为三年期零存整取存款年利率为 1.89%，月利率为 0.157 5%，故每月存 50元，连续存 3年，到期一次可支取本息共 2 36)365050(  ×0.157 5%×80%+1 800=1 841.96(元). 比教育储蓄的方式少收益 27.97(元). (4)设每月应存入 x元，由教育储蓄的计算公式得 2 36)36(  xx ×0.21%+36x＝10 000. 解得 x≈267.39(元)，即每月应存入 267.39(元). (5)设每月应存入 x元，由教育储蓄的计算公式得 2 36)36(  xx ×0.21%+36x＝10 000a. 解得 x= 3986.37 10000a =267.39a，即每月应存入 267.39a(元). (6)根据银行出台的教育储蓄《管理办法》，需要提前支取的，在提供证明的情况下，按实际 存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息，并免征储蓄存款利息所得税. 故该学生支取时，应按照三年期整存整取存款年利率为 2.52%，月利率为 0.21%进行计算. 由计算公式得 2 48)48100100(  ×0.21%+4 800＝5 046.96(元). (7)与第 6小题类似，应根据实际存期进行同档次计算. 一到两年的按一年期整存整取计息 .一年期整存整取存款年利率为 1.98%，月利率为 0.165 %，故当 b=1或 2时，由计算公式得 2 12)12( bbaa  ×0.165%+12ab(元). 当 b=3或 4或 5时，应按照三年期整存整取存款年利率为 2.52%，月利率为 0.21%进行计算. 根据计算公式得 2 12)12( bbaa  ×0.21%+12ab(元). (8)此题可以选择多种储蓄方式，学生可能提供多个结果，只要他们计算方式符合规定的储 蓄方式即可.教师可以组织学生讨论，然后选择一个最佳答案. ［概括总结］ 师 在我们上述探究问题的过程中，我们学到了许多课本上没有的东西，增长了一些银行存 款的知识.我们可以用这些知识去规划一下自己将来接受教育的存款计划，并与家长商量， 看能不能付诸于现实；我们也可以为身边的亲朋好友当个小参谋，把你学到的知识讲解给他 们听一听，看他们能不能接受你的意见和建议. 从生产实际和社会生活中，我们还能寻找到更多的探究题材，只要我们做个有心人，我们学 到的知识就能与生产实际与社会生活紧密的结合起来. 说明：此例文字量大，阅读理解能力要求较高，但是弄通问题的基本含义后，因为其蕴含的 数学知识和方法并不深奥，计算量也不大，所以可以说是一个非常好的探究性问题.可以猜 想，这也是普通高中新课程标准推崇它作为一个典型例题的理由. 师 下面的问题需要我们用更多的数学知识才能解决它. 出示投影胶片 3： 例 2 你能估计函数 y=9-x2在第一象限的图象与 x轴、y轴围成的区域的面积吗？ 出示多媒体图片 1： 师 如图，为了估计函数 y=9-x2在第一象限的图象与 x 轴、y 轴围成的区域的面积 x，把 x 轴上的区间［0，3］分成 n 等份.从各分点作 y 轴平行线与图象相交，再从各交点向左作 x 轴平行线，构成(n-1)个矩形.下面用程序来计算这(n-1)个矩形的面积的和 S. SUM =0 K =1 INPUT 请输入将［0，3］分成的份数 n：”;N WHILE k＜=N-1 AN =(9-(k*3/n)^2)*3/N SUM=SUM=AN PRINT k,AN,SUM K=k=1 WEND END 阅读程序，回答下列问题： (1)程序中的 AN，SUM 分别表示什么，为什么？ (2)请根据程序分别计算当 n＝6，11，16时，各个矩形的面积的和(不必在计算机上运行程序). 师 你能回答第一个问题吗？ 生 AN表示第ｋ个矩形的面积，SUM 表示前ｋ个矩形面积的和. 生 当把 x轴上的区间［0，3］分成 n 等份时，各等份的长都是 n 3 . 理由是：各分点的横坐标分别是 n 3 , n 23 ,…, n n )1(3  . 从各分点作 y轴平行线与 y=9-x2图象相交，交点的纵坐标分别是 2)3(9 n  , 2)23(9 n   ,…, 2])1(3[9 n n   . 它们分别是各个相应矩形的高，所以各个矩形面积分别是 nn 3])3(9[ 2  , nn 3])23(9[ 2    ,…, nn n 3)])1(3[(9 2          . 师 对学生的思考给予高度的赞扬. 师 当我们把 x轴上的区间［0，3］分成 n 等份时，按照上面的作图方法，我们得到了函数 y=9-x2在第一象限的图象与 x轴、y轴围成的区域内的 n-1个矩形. 师 想一想，这个由各个矩形面积组成的数列的前 n-1项和如何求. 生 自主探究. 列式： nn n nnnn Sn 3])1(3[9...3])23(9[3])3(9[ 222 1            =           ]))1(3(9[...])23(9[])3(9[3 222 n n nnn =        ])1(...21[)3()1(93 2222 n n n n . 师 引导学生整理所列出的式子，得到上述最后一道式子. 师 求和时遇到了 12+22+…+n2的计算问题，这也是一个求数列前 n 项和的问题. 关于这个问题，我们只要求大家知道，这是求数列：12,22,32,…,n2,…的前 n 项和的问题.由于 这个数列不是等差数列，也不是等比数列，因此不能用已经推导出来的等差数列前 n 项和公 式与等比数列前 n 项和公式.而这个和的计算，要求同学们记得它的计算公式. 即要求记住：12+22+…+n2= 6 )12)(1(  nnn . 关于这个公式的推导过程，我们可以作为知识拓展的材料，放在课外进行探究性学习. 师 运用这个公式，请把上面的 n-1个矩形面积的和计算出来. 生 继续运算. Sn-1= n 3 {9(n-1)-( n 3 )2［12+22+…+(n-1)2］} = n 3 ［9(n-1)-( n 3 )2 6 )12()1(  nnn ］ = 2 2 2 )134(9 n nn  . 师 明确一下计算结果，再继续带领学生一起理解第 2小题的含义并得出结果. 师 根据程序，当 n＝6 时，5 个矩形的面积的和就是输入 N＝6，SUM 的最后一个输出 值, SUM =15.625. 那么当 n＝11 时，10 个矩形的面积的和就是 N＝11 时，SUM 的最后一个输出值，即 SUM=16.736； 当 n=16时，我们就得到 15个矩形面积的和 SUM=17.139. 当 n=17时，SUM的最后一个输出值是多少？ 生 n=17时，SUM的最后一个输出值 SUM=17.190. 师 你是怎么计算 n=17时，SUM的最后一个输出值的呢？ 生 是用上面推导出来的计算公式： 2 2 1 2 )134(9 n nnSn   . 当 n=500时，SUM 的最后一个输出值 SUM=? 当 n=1 000时，SUM的最后一个输出值 SUM=? 生 用公式 2 2 1 2 )134(9 n nnSn   ，不难算出 n=500 时，SUM=17.973； n=1 000 时， SUM=17.986. 师 在计算 n=500与 n=1 000时的最后一个输出值 SUM 时，为什么用上面推导出来的公式而 不用程序中的步骤呢？ 师 这是因为公式 2 2 1 2 )134(9 n nnSn   用起来很方便，只要给出上一个 n 的值，就可以代 入公式，一下子得出结果.另一方面，程序设计的是一个递推的循环结构.它在上机运行时， 对于每个给定的 n，都要从 k=1依次循环到 k=N-1，这是同学们在没有上机条件时很难做到 而又没有必要做到的事. 师 至此，你能估计出函数 y=9-x2在第一象限的图象与 x轴、y轴围成的区域的面积了？ 生 由 n=500与 n=1 000时的最后一个输出值 SUM，可以估计，这个面积大约是 18. 师 一个非常准确的结果！ ［教师精讲］ 师 通过本例的探索，我们来归纳一下收获： 1.本例中，程序使用了 Sn 的递推公式，即       )1( , 1 11 ＞naSS aS nnn 这个递推公式的推导，同学们可以自己去思考一下； 2.需要同学们必须想到的是，这个公式还有一个非常重要的作用，那就是：它给我们提供了 求数列的首项和第 n 项的办法，即       )1( , 1 11 ＞nSSa Sa nnn 3.关于估计函数 y=9-x2在第一象限的图象与 x轴、y轴围成的区域的面积，这里采用的是无 限逼近的思想，即［0，3］区间分得越细，前 k个矩形面积的和 SUM就越接近函数 y=9-x2 在第一象限的图象与 x轴、y轴围成的区域的面积.教材中已经在用旁白告诉我们，用微积分 的知识可得 x＝18，而我们的估计值也是 18，可见我们的估计非常准确. 课堂小结 本节学习了如下内容： 1.教育储蓄中的有关计算. 2.用计算机程序计算数列的和. 布置作业 课本第 69页习题 2.5第 4、5题. 板书设计 求数列前 n 项和知识的运用 问题情境导引 例 1 例 2