新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：模块素养评价 课件
模块素养评价
(120分钟 150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,则 等于( )
【解析】选A.
AO OC CB
A.AB B.BC C.CD D.
0
AO OC CB AC CB AB.
2.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(a-2i)(1+i)在复平面内对应的点为M,则
“a=1”是“点M在第四象限”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】选A.因为复数z=(a-2i)(1+i)=a+2+(a-2)i,所以z在复平面内对应的点
M的坐标是(a+2,a-2).若点M在第四象限,则a+2>0,a-2<0,所以-2
0)的最小正周期为π,为了得到函数
g(x)=cos ωx的图象,只要将y=f(x)的图象 ( )
A.向左平移 个单位长度
B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度
D.向右平移 个单位长度
( x )4
8
8
4
4
【解析】选A.由题知ω=2,所以
f (x) sin(2x ) cos[ (2x )]4 2 4
cos(2x ) cos(2x ).4 8
6.已知点O,N在△ABC所在平面内,且
则点O,N依次是△ABC的 ( )
A.重心 外心 B.重心 内心
C.外心 重心 D.外心 内心
OA OB OC ,NA NB NC ,
0
【解析】选C.由 知,O为△ABC的外心;由
得 取BC边的中点D,则 知A,N,D三点共线,
且AN=2ND,故点N是△ABC的重心.
OA OB OC
NA NB NC ,
0
AN NB NC,
AN NB NC 2ND,
7.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷共八十一个
问题,分为九类,每类九个问题,《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就,其中
在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式,这与古希腊的海伦
公式完全等价,其求法是:“以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜
幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公
式,即 现有周长为10+2 的△ABC满足sin C∶sin A
∶sin B=2∶3∶ ,则用以上给出的公式求得△ABC的面积为( )
A.6 B.4 C.8 D.12
2 2 2
2 2 21 c a bS [c a ( ) ]4 2
， 7
7
7 73
【解析】选A.因为sin C∶sin A∶sin B=2∶3∶ ,
则c∶a∶b=2∶3∶ ,因为△ABC的周长为10+2 ,即a+b+c=10+2 ,
所以c=4,a=6,b=2 ,所以
7
7 7 7
7
2 2 2
2 2 21 c a bS [c a ( ) ] 6 3.4 2
8.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的
外观是如图所示的十字立方体.其上下、左右、前后完全对称,六根完全一样的
正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来,若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为
1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为(容器壁的
厚度忽略不计) ( )
A.28π B.30π C.60π D.120π
【解析】选B.由题意,该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个正四棱柱
体对角线的一半,即为 所以该球形容器的表面积的最小值
为4π× =30π.
1 3025 4 12 2
，
230( )2
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的
得0分)
9.已知a∥b,|a|=2|b|=6,则|a+b|的值可能为( )
A.3 B.6 C.8 D.9
【解析】选AD.因为a∥b,|a|=2|b|=6,
则|a|=6,|b|=3.
当a,b方向相同时,|a+b|=|a|+|b|=9;
当a,b方向相反时,|a+b|=||a|-|b||=3.
10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2 ,c=3,A+3C=π,则下列结
论正确的是 ( )
A.cos C= B.sin B=
C.a=3 D.S△ABC=
3
3
3
2
3
2
【解析】选AD.A+3C=π,故B=2C,
根据正弦定理:
即2 sin C=3×2sin Ccos C,
因为sin C≠0,故cos C= ,sin C= ,
sin B=sin 2C=2sin Ccos C= .
c2=a2+b2-2abcos C,化简得到a2-4a+3=0,解得a=3或a=1,若a=3,
则A=C= ,故B= ,不满足题意,故a=1.
S△ABC= absin C= ×1×2 × = .
b c
sin B sin C
，
3
3
3
6
3
2 2
3
4
2
1
2
1
2 3 6
3 2
11.函数f(x)=cos (ωx+φ) 的部分图象如图所示,则下列结论正确
的是( )
A.ω=π
B.φ=
C.x= 是函数的一条对称轴
D. 是函数的对称中心
( 0, )2
3
3
4
1(k ,0)4
【解析】选ACD.由题图知 T=1,
则T=2,即T= =2,所以ω=π,则A选项正确.
由图象可得,
所以 π+φ=2kπ+ ,k∈Z,
即φ=2kπ+ ,k∈Z,再由
得φ= ,即f(x)=cos ,所以B选项不正确.
函数f(x)的对称轴为πx+ =kπ+π,k∈Z,即x=k+ ,k∈Z,
1
2
2
1 1f ( ) cos ( ) 04 4
，
1
4 2
4
4
2
，
( x )4
4
3
4
当k=0时,x= 是函数f(x)的一条对称轴,所以C选项正确.函数f(x)的对称中心
满足πx+ =kπ+ ,k∈Z,即x=k+ ,k∈Z,
所以函数f(x)的对称中心为 ,k∈Z,所以D选项正确.
3
4
4
2
1
4
1(k ,0)4
12.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1各条棱的长度均相等,D为AA1的中点,M,N分别是线
段BB1和线段CC1上的动点(含端点),且满足BM=C1N,当M,N运动时,下列结论中正
确的是 ( )
A.在△DMN内存在与平面ABC平行的线段
B.平面DMN⊥平面BCC1B1
C.三棱锥A1-DMN的体积为定值
D.△DMN可能为直角三角形
【解析】选ABC.用平行于平面ABC的平面截平面DMN,则交线平行于平面ABC,故A
选项正确;当M,N分别在BB1,CC1上运动时,若满足BM=C1N,则线段MN必过正方形
BCC1B1的中心O,由DO⊥平面BCC1B1可得平面DMN⊥平面BCC1B1,故B选项正确;当
M,N分别在BB1,CC1上运动时,△A1DM的面积不变,点N到平面A1DM的距离不变,所以
三棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故C选项正确;
若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,易证DM=DN,所以
△DMN为等腰直角三角形,所以DO=OM=ON,即MN=2DO.设正三棱柱的棱长为2,则
DO= ,MN=2 .因为MN的最大值为BC1,BC1=2 ,所以MN不可能为2 ,所以
△DMN不可能为直角三角形,故D选项错误.
3 3 2 3
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知两点A(-1,0),B(-1, ).O为坐标原点,点C在第一象限,且∠AOC=120°,
设 (λ∈R),则λ=________.
3
OC 3OA OB
【解析】由题意,得 =-3(-1,0)+λ(-1, )=(3-λ, λ),
因为∠AOC=120°,所以 解得λ= .
答案:
OC
3 3
2 2
OA OC 1 3 1, ,2 2OA OC (3 ) 3
即 3
2
3
2
14.已知A,B,C都是锐角,且tan A=1,tan B=2,tan C=3,则A+B+C的值为
________.
【解析】因为tan A=1,tan B=2,所以tan(A+B)= =-3,
又因为tan C=3,
所以tan(A+B+C)=0.
因为A,B,C都是锐角,所以A+B+C=180°.
答案:180°
tan A tan B
1 tan Atan B
15.太湖中有一小岛,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车测得小岛在公路
的南偏西15°的方向上,汽车行驶1 km后,又测得小岛在公路的南偏西75°的方
向上,则小岛到公路的距离是________km.
【解析】如图,∠CAB=15°,∠CBA=180°-75°=105°,
∠ACB=180°-105°-15°=60°,AB=1 km.
由正弦定理得
所以BC= ·sin 15°
= (km).
BC AB
sin CAB sin ACB
，
1
sin 60
6 2
2 3
设C到直线AB的距离为d,
则d=BC·sin 75°= (km).
答案:
6 2 6 2 3
4 62 3
3
6
16.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若存在平面α,使每条棱所在的直线与平面α所
成的角都相等,则各棱所在的直线与此平面所成角的正切值为________.
【解析】根据题意可知,正方体的每条棱实质上可转化为过同一顶点的三条棱,
不妨转化为过点B1的三条棱B1A1,B1C1,B1B,连接A1C1,A1B,BC1,如图所示,可以发
现这三条棱所在的直线与平面A1BC1所成的角均相等.
取BC1的中点E,连接A1E,B1E,则在正三棱锥B1-A1BC1中,顶点B1在平面A1BC1中的
射影为等边三角形A1BC1的中心,即点M,连接B1M,则A1M是线段A1B1在平面A1BC1中
的射影,所以∠B1A1E为棱B1A1所在的直线与平面A1BC1所成的角.设正方体棱长
为a,则B1A1=a,B1E= a,且A1B1⊥B1E,
则tan∠B1A1E=
答案:
2
2
1
1 1
2 aB E 22 .A B a 2
2
2
四、解答题(共70分)
17.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,4),B(-2,3),C(2,-1).
(1)求
(2)设实数t满足 求t的值.
AB AC AB AC ;
及
(AB tOC) OC ，
【解析】(1)因为 =(-3,-1), =(1,-5),
所以 =(-3)×1+(-1)×(-5)=2.
因为 =(-2,-6),
所以
(2)因为 =(-3-2t,-1+t), =(2,-1),且
所以 =0,
即(-3-2t)×2+(-1+t)×(-1)=0,
所以t=-1.
AB
AC
AB AC
AB AC
AB AC 4 36 2 10.
AB tOC
OC
(AB tOC) OC,
(AB tOC) OC
18.(12分)已知函数f(x)=sin
(1)求f(x)在x∈[0,π]上的递增区间;
(2)用“五点法”在所给的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象;
3(2x ).4
(3)写出y=f(x)的图象是由y=sin x的图象经过怎样的变换得到的.
【解析】(1)令2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,
所以kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z.
因为0≤x≤π,
所以f(x)在[0,π]上的增区间为
2
3
4
2
8
5
8
5[ ].8 8
，
(2)列表:
函数图象如图,
(3)将y=sin x的图象上的所有点向右平移 个单位长度,得y=sin
的图象.
再将y=sin 的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不
变)得y=sin 的图象.
3
4
3(x )4
3(x )4
1
2
3(2x )4
19.(12分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足
a-2bsin A=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=5,且a>c,b= ,求 的值.
3
7 AB AC
【解析】(1)因为 a-2bsin A=0,
所以 sin A-2sin Bsin A=0,
因为sin A≠0,所以sin B= ,
又B为锐角,所以B= .
3
3
3
2
3
(2)由(1)知,B= ,b= ,
根据余弦定理得7=a2+c2-2accos ,
整理得(a+c)2-3ac=7,又a+c=5.
所以ac=6,又a>c,所以a=3,c=2,
于是cos A=
所以
3
7
3
2 2 2b c a 7 4 9 7 ,2bc 144 7
7AB AC AB AC cos A 2 7 1.14
20.(12分)已知函数f(x)= sin(ωx+φ) 的图象关于直线
x= 对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若 的值.
3 ( 0 )2 2
，
3
3 2 3f ( ) ( ), cos( )2 4 6 3 2
求
【解析】(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小
正周期T=π.
从而ω= =2.
又因为f(x)的图象关于直线x= 对称,
所以2· +φ=kπ+ ,k∈Z.
由 得k=0,所以φ=
2
T
3
3
2
2 2
2 .2 3 6
(2)由(1)得f(x)=
所以
所以
3sin(2x )6
，
3f ( ) 3sin(2 )2 2 6 4
，
1sin( ) .6 4
由
所以
2 , 06 3 6 2
得 ，
2 21 15cos( ) 1 sin ( ) 1 ( ) .6 6 4 4
3cos( ) sin sin[( ) ]2 6 6
sin( )cos cos( )sin6 6 6 6
1 3 15 1 3 15 .4 2 4 2 8
因此
21.(12分)(2020·全国Ⅰ卷)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,△ABC是
底面的内接正三角形,P为DO上一点,∠APC=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAC;
(2)设DO= ,圆锥的侧面积为 π,求三棱锥P-ABC的体积.2 3
【解题指南】(1)根据已知可得PA=PB=PC,进而有△PAC≌△PBC,可得
∠APC=∠BPC=90°,即PB⊥PC,从而证得PB⊥平面PAC,即可证得结论;
(2)将已知条件转化为母线l和底面半径r的关系,进而求出底面半径,求出正三
角形ABC的边长,在等腰直角三角形APB中求出AP,结合PA=PB=PC即可求出结论.
【解析】(1)由题设可知,PA=PB=PC.
由于△ABC是正三角形,故可得△PAC≌△PAB.△PAC≌△PBC.
又∠APC =90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°.
从而PB⊥PA,PB⊥PC,故PB⊥平面PAC,因为PB在平面PAB内,
所以平面PAB⊥平面PAC.
(2)设圆锥的底面半径为r,母线长为l.
由题设可得rl= ,l2-r2=2.解得r=1,l= ,
从而AB= .由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC= .
所以三棱锥P-ABC的体积为 ×PA×PB×PC=
3 3
3 6
2
1 1
3 2
31 1 6 6( ) .3 2 2 8
22.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PB=PD,PA=PC=4,底面是边长为2的菱形,且
∠ABC=60°,E,F,G分别是PA,PC,DC的中点.
(1)求证:平面EFG⊥平面PBD;
(2)若M是线段AC上一点,求三棱锥M-EFG的体积.
【解析】(1)因为E,F分别为PA,PC的中点,
所以EF∥AC,又四边形ABCD为菱形,
所以AC⊥BD,所以EF⊥BD.
设AC与BD交于点O,连接OP,则OA=OC.
因为PA=PC,所以OP⊥AC,所以OP⊥EF.
因为OP∩BD=O,所以EF⊥平面PBD.
因为EF⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PBD.
(2)由(1)知EF∥AC.
因为AC⊄ 平面EFG,EF⊂平面EFG,所以AC∥平面EFG,所以M到平面EFG的距离等于
A到平面EFG的距离,所以VM-EFG=VA-EFG=VG-AEF.
因为PB=PD,所以PO⊥BD,所以BD⊥平面PAC,
所以BD⊥平面PEF,所以DO⊥平面PEF.
因为S△AEF= S△PAF= S△PAC,∠ABC=60°,
所以∠BAD=120°,
1
2
1
4
因为AB=AD=2,所以BD=2 ,所以DO= .因为PO=
所以VG-AEF= VD-PAC=
所以三棱锥M-EFG的体积为 .
3 3 2 24 1 15 ，
1
8
1 1 1 52 15 3 .8 3 2 8
5
8
