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文档介绍
2019届二轮复习第2讲 空间点、线、面的位置关系课件(33张)(全国通用)
第 2 讲 空间点、线、面的位置关系 高考定位 1. 以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断,主要以选择、填空题的形式,题目难度较小; 2. 以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明,并常与几何体的表面积、体积相渗透 . 1. (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 如图,在下列四个正方体中, A , B 为正方体的两个顶点, M , N , Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 ( ) 真 题 感 悟 解析 法一 对于选项 B ,如图 (1) 所示,连接 CD ,因为 AB ∥ CD , M , Q 分别是所在棱的中点,所以 MQ ∥ CD ,所以 AB ∥ MQ ,又 AB ⊄ 平面 MNQ , MQ ⊂ 平面 MNQ ,所以 AB ∥ 平面 MNQ . 同理可证选项 C , D 中均有 AB ∥ 平面 MNQ . 因此 A 项中直线 AB 与平面 MNQ 不平行 . 法二 对于选项 A ,其中 O 为 BC 的中点 ( 如图 (2) 所示 ) ,连接 OQ ,则 OQ ∥ AB ,因为 OQ 与平面 MNQ 有交点,所以 AB 与平面 MNQ 有交点,即 AB 与平面 MNQ 不平行 . A 项中直线 AB 与平面 MNQ 不平行 . 答案 A 图 (1) 图 (2) 解析 如图,依题意,平面 α 与棱 BA , BC , BB 1 所在直线所成角都相等,容易得到平面 AB 1 C 符合题意,进而所有平行于平面 AB 1 C 的平面均符合题意 . 答案 A 3. (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, AB ∥ CD ,且 ∠ BAP = ∠ CDP = 90°. (1) 证明:平面 PAB ⊥ 平面 PAD ; (2) 若 PA = PD = AB = DC , ∠ APD = 90° ,且四棱锥 P - ABCD 的体积为,求该四棱锥的侧面积 . (1) 证明 ∵∠ BAP = ∠ CDP = 90° , ∴ AB ⊥ PA , CD ⊥ PD . ∵ AB ∥ CD , ∴ AB ⊥ PD . 又 ∵ PA ∩ PD = P , PA , PD ⊂ 平面 PAD , ∴ AB ⊥ 平面 PAD . ∵ AB ⊂ 平面 PAB , ∴ 平面 PAB ⊥ 平面 PAD . (2) 解 取 AD 的中点 E ,连接 PE . ∵ PA = PD , ∴ PE ⊥ AD . 由 (1) 知, AB ⊥ 平面 PAD , PE ⊂ 平面 PAD ,故 AB ⊥ PE ,又 AB ∩ AD = A ,可得 PE ⊥ 平面 ABCD . 1. 直线、平面平行的判定及其性质 (1) 线面平行的判定定理: a ⊄ α , b ⊂ α , a ∥ b ⇒ a ∥ α . (2) 线面平行的性质定理: a ∥ α , a ⊂ β , α ∩ β = b ⇒ a ∥ b . (3) 面面平行的判定定理: a ⊂ β , b ⊂ β , a ∩ b = P , a ∥ α , b ∥ α ⇒ α ∥ β . (4) 面面平行的性质定理: α ∥ β , α ∩ γ = a , β ∩ γ = b ⇒ a ∥ b . 考 点 整 合 2. 直线、平面垂直的判定及其性质 (1) 线面垂直的判定定理: m ⊂ α , n ⊂ α , m ∩ n = P , l ⊥ m , l ⊥ n ⇒ l ⊥ α . (2) 线面垂直的性质定理: a ⊥ α , b ⊥ α ⇒ a ∥ b . (3) 面面垂直的判定定理: a ⊂ β , a ⊥ α ⇒ α ⊥ β . (4) 面面垂直的性质定理: α ⊥ β , α ∩ β = l , a ⊂ α , a ⊥ l ⇒ a ⊥ β . 热点一 空间点、线、面位置关系的判定 【例 1 】 (2018· 成都诊断 ) 已知 m , n 是空间中两条不同的直线, α , β 是两个不同的平面,且 m ⊂ α , n ⊂ β . 有下列命题: ① 若 α ∥ β ,则 m ∥ n ; ② 若 α ∥ β ,则 m ∥ β ; ③ 若 α ∩ β = l ,且 m ⊥ l , n ⊥ l ,则 α ⊥ β ; ④ 若 α ∩ β = l ,且 m ⊥ l , m ⊥ n ,则 α ⊥ β . 其中真命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 ① 若 α ∥ β ,则 m ∥ n 或 m , n 异面,不正确; ② 若 α ∥ β ,根据平面与平面平行的性质,可得 m ∥ β ,正确; ③ 若 α ∩ β = l ,且 m ⊥ l , n ⊥ l ,则 α 与 β 不一定垂直,不正确; ④ 若 α ∩ β = l ,且 m ⊥ l , m ⊥ n , l 与 n 不一定相交,不能推出 α ⊥ β ,不正确 . 答案 B 探究提高 1. 判断与空间位置关系有关的命题真假的方法 (1) 借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断 . (2) 借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系,结合有关定理,进行肯定或否定 . 2. 两点注意: (1) 平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中; (2) 当从正面入手较难时,可利用反证法,推出与题设或公认的结论相矛盾的命题,进而作出判断 . 【训练 1 】 (1) (2018· 石家庄调研 ) 如图,在三棱台 ABC - A 1 B 1 C 1 的 6 个顶点中任取 3 个点作平面 α ,设 α ∩ 平面 ABC = l ,若 l ∥ A 1 C 1 ,则这 3 个点可以是 ( ) A. B , C , A 1 B. B 1 , C 1 , A C. A 1 , B 1 , C D. A 1 , B , C 1 (2) (2018· 菏泽模拟 ) 已知 m , n 是两条不同的直线, α , β , γ 是三个不同的平面,则下列正确的是 ( ) A. 若 m ∥ α , n ∥ α ,则 m ∥ n B . 若 α ⊥ γ , β ⊥ γ ,则 α ∥ β C. 若 m ∥ α , n ∥ β ,则 α ∥ β D . 若 m ⊥ α , n ⊥ α ,则 m ∥ n 解析 (1) 在棱台中, AC ∥ A 1 C 1 , l ∥ A 1 C 1 ,则 l ∥ AC 或 l 为直线 AC . 因此平面 α 可以过点 A 1 , B , C 1 ,选项 D 正确 . (2) 结合长方体模型,易判定选项 A , B , C 不正确 . 由线面垂直的性质,当 m ⊥ α , n ⊥ α 时,有 m ∥ n , D 项正确 . 答案 (1)D (2)D 热点二 空间平行、垂直关系的证明 【例 2 】 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, AB ∥ CD , AB ⊥ AD , CD = 2 AB ,平面 PAD ⊥ 底面 ABCD , PA ⊥ AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: ( 1) PA ⊥ 底面 ABCD ; ( 2) BE ∥ 平面 PAD ; ( 3) 平面 BEF ⊥ 平面 PCD . 证明 (1) ∵ 平面 PAD ⊥ 底面 ABCD , 且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD , PA ⊂ 平面 PAD , ∴ PA ⊥ 底面 ABCD . (2) ∵ AB ∥ CD , CD = 2 AB , E 为 CD 的中点 , ∴ AB ∥ DE ,且 AB = DE . ∴ 四边形 ABED 为平行四边形 . ∴ BE ∥ AD . 又 ∵ BE ⊄ 平面 PAD , AD ⊂ 平面 PAD , ∴ BE ∥ 平面 PAD . (3) ∵ AB ⊥ AD ,而且 ABED 为平行四边形 . ∴ BE ⊥ CD , AD ⊥ CD , 由 (1) 知 PA ⊥ 底面 ABCD ,且 CD ⊂ 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ CD ,且 PA ∩ AD = A , PA , AD ⊂ 平面 PAD , ∴ CD ⊥ 平面 PAD ,又 PD ⊂ 平面 PAD , ∴ CD ⊥ PD . ∵ E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, ∴ PD ∥ EF . ∴ CD ⊥ EF ,又 BE ⊥ CD 且 EF ∩ BE = E , ∴ CD ⊥ 平面 BEF ,又 CD ⊂ 平面 PCD , ∴ 平面 BEF ⊥ 平面 PCD . 【 迁移探究 1 】 在本例条件下,证明平面 BEF ⊥ 平面 ABCD . 证明 如图,连接 AC ,设 AC ∩ BE = O ,连接 FO , AE . ∴ 四边形 ABCE 为平行四边形 . ∴ O 为 AC 的中点,又 F 为 PC 的中点 , 则 FO ∥ PA ,又 PA ⊥ 平面 ABCD , ∴ FO ⊥ 平面 ABCD . 又 FO ⊂ 平面 BEF , ∴ 平面 BEF ⊥ 平面 ABCD . 【 迁移探究 2 】 在本例条件下,若 AB = BC ,求证: BE ⊥ 平面 PAC . 证明 连接 AC ,设 AC ∩ BE = O . AB ∥ CD , CD = 2 AB ,且 E 为 CD 的中点 . ∴ AB 綉 CE . 又 ∵ AB = BC , ∴ 四边形 ABCE 为菱形, ∴ BE ⊥ AC . 又 ∵ PA ⊥ 平面 ABCD ,又 BE ⊂ 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ BE , 又 PA ∩ AC = A , PA , AC ⊂ 平面 PAC , ∴ BE ⊥ 平面 PAC . 探究提高 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 . (1) 证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行 . (2) 证明线面垂直,需转化为证明线线垂直 . (3) 证明线线垂直,需转化为证明线面垂直 . (4) 证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直 . 【训练 2 】 (2018· 北京卷 ) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PAD ⊥ 平面 ABCD , PA ⊥ PD , PA = PD , E , F 分别为 AD , PB 的中点 . (1) 求证: PE ⊥ BC ; (2) 求证:平面 PAB ⊥ 平面 PCD ; (3) 求证: EF ∥ 平面 PCD . 证明 (1) 因为 PA = PD , E 为 AD 的中点, 所以 PE ⊥ AD . 因为底面 ABCD 为矩形, 所以 BC ∥ AD . 所以 PE ⊥ BC . (2) 因为底面 ABCD 为矩形,所以 AB ⊥ AD . 又因为平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ,平面 PAD ∩ 平面 ABCD = AD , AB ⊂ 平面 ABCD , 所以 AB ⊥ 平面 PAD ,且 PD ⊂ 平面 PAD . 所以 AB ⊥ PD . 又因为 PA ⊥ PD ,且 PA ∩ AB = A , 所以 PD ⊥ 平面 PAB . 又 PD ⊂ 平面 PCD , 所以平面 PAB ⊥ 平面 PCD . (3) 如图,取 PC 中点 G ,连接 FG , DG . 因为 F , G 分别为 PB , PC 的中点, 因为 ABCD 为矩形,且 E 为 AD 的中点, 所以 DE ∥ FG , DE = FG . 所以四边形 DEFG 为平行四边形 . 所以 EF ∥ DG . 又因为 EF ⊄ 平面 PCD , DG ⊂ 平面 PCD , 所以 EF ∥ 平面 PCD . 热点三 平面图形中的折叠问题 【例 3 】 (2016· 全国 Ⅱ 卷 ) 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ,点 E , F 分别在 AD , CD 上, AE = CF , EF 交 BD 于点 H ,将 △ DEF 沿 EF 折到 △ D ′ EF 的位置 . (1) 证明 由已知得 AC ⊥ BD , AD = CD , 由此得 EF ⊥ HD ,故 EF ⊥ HD ′ ,所以 AC ⊥ HD ′. 所以 OH = 1 , D ′ H = DH = 3 , 由 (1) 知 AC ⊥ HD ′ ,又 AC ⊥ BD , BD ∩ HD ′ = H , 所以 AC ⊥ 平面 BHD ′ ,于是 AC ⊥ OD ′ , 又由 OD ′ ⊥ OH , AC ∩ OH = O , 探究提高 1. 解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口 . 一般地翻折后还在同一个平面上的图形的性质不发生变化,不在同一个平面上的图形的性质发生变化 . 2. 在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形,善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解 . 【训练 3 】 (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 如图,在平行四边形 ABCM 中, AB = AC = 3 , ∠ ACM = 90°. 以 AC 为折痕将 △ ACM 折起,使点 M 到达点 D 的位置,且 AB ⊥ DA . (1) 证明 由已知可得, ∠ BAC = 90° ,即 BA ⊥ AC . 又 BA ⊥ AD , AC ∩ AD = D , AC , AD ⊂ 平面 ACD , 所以 AB ⊥ 平面 ACD . 又 AB ⊂ 平面 ABC , 所以平面 ACD ⊥ 平面 ABC . 由已知及 (1) 可得 DC ⊥ 平面 ABC , 所以 QE ⊥ 平面 ABC , QE = 1. 1. 空间中点、线、面的位置关系的判定 (1) 可以从线、面的概念、定理出发,学会找特例、反例 .(2) 可以借助长方体,在理解空间点、线、面位置关系的基础上,抽象出空间线、面的位置关系的定义 . 2. 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下: (1) 证明线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二是利用平行四边形进行平行转换:三是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换 . (2) 证明线线垂直常用的方法: ① 利用等腰三角形底边中线即高线的性质; ② 勾股定理; ③ 线面垂直的性质:即要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可, l ⊥ α , a ⊂ α ⇒ l ⊥ a . 3. 解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的不变 “ 性 ” 与 “ 量 ” ,即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等 .查看更多