2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：2

2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：2

课时分层作业(十三) (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1．直线 x＋ 3y＋1＝0 的倾斜角为( ) A．π 6 B．π 3 C．2π 3 D．5π 6 D [直线 x＋ 3y＋1＝0 的斜率 k＝－ 3 3 ，所以直线倾斜角为5π 6 .] 2．直线x 3 ＋y 4 ＝1 化成一般式方程为( ) A．y＝－4 3x＋4 B．y＝－4 3(x－3) C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12 C [直线x 3 ＋y 4 ＝1 化成一般式方程为 4x＋3y－12＝0.] 3．若直线 l1：ax＋2y＋2＝0 与直线 l2：x＋(a－1)y＋1＝0 平行，则实数 a 的 值是( ) A．2 B．－1 或 2 C．－1 D．0 C [∵已知两直线平行，∴a(a－1)－2＝0，解得 a＝－1 或 a＝2，当 a＝2 时， 两直线重合，舍去，当 a＝－1 时两直线平行．故选 C.] 4．如果 A·B＞0 且 B·C＜0，那么直线 Ax＋By＋C＝0 不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C [由 A·B＞0 且 B·C＜0，可得直线 Ax＋By＋C＝0 的斜率为－A B ＜0，直线在 y 轴上的截距－C B ＞0，故直线不经过第三象限，故选 C.] 5．坐标原点在直线 l 上的射影为点(2,1)，直线 l 的方程是( ) A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－5＝0 C．2x＋3y－7＝0 D．3x＋2y－8＝0 B [∵原点在直线 l 上的射影为点(2,1)， ∴直线 l 的斜率为 k＝－2 1 ＝－2. 又点(2,1)在直线 l 上， ∴所求的直线方程为 y－1＝－2(x－2)， 即 2x＋y－5＝0.] 二、填空题 6．使直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0 和直线 ax－3y＋3＝0 垂直的实数 a 的值为 ________． 0 或 1 [由(2a＋1)a－3a＝0 解得 a＝0 或 1.] 7．已知直线 l 的斜率是直线 2x－3y＋12＝0 的斜率的1 2 ，l 在 y 轴上的截距是 直线 2x－3y＋12＝0 在 y 轴上的截距的 2 倍，则直线 l 的方程为________． x－3y＋24＝0 [由 2x－3y＋12＝0 知，斜率为2 3 ，在 y 轴上截距为 4.根据题意， 直线 l 的斜率为1 3 ，在 y 轴上截距为 8，所以直线 l 的方程为 x－3y＋24＝0.] 8．已知直线 l 的倾斜角为α，sin α＝3 5 ，且这条直线 l 经过点 P(3,5)，则直线 l 的一般式方程为________． 3x－4y＋11＝0 或 3x＋4y－29＝0 [因为 sin α＝3 5 ，所以 cos α＝± 1－sin2α＝ ±4 5 ，所以直线 l 的斜率为 k＝tan α＝±3 4 ，又因为直线 l 经过点 P(3,5)，所以直线 l 的方程为 y－5＝3 4(x－3)或 y－5＝－3 4(x－3)，所以直线 l 的一般式方程为 3x－4y＋ 11＝0 或 3x＋4y－29＝0.] 三、解答题 9.如图所示，在平行四边形 ABCD 中，边 AB 所在的直线方程为 2x－y－2＝0， 点 C(2,0)． (1)求直线 CD 的方程； (2)求 AB 边上的高 CE 所在的直线方程． [解] (1)因为四边形 ABCD 为平行四边形， 所以 AB∥CD， 设直线 CD 的方程为 2x－y＋m＝0， 将点 C(2,0)代入上式得 m＝－4，所以直线 CD 的方程为 2x－y－4＝0. (2)设直线 CE 的方程为 x＋2y＋n＝0， 将点 C(2,0)代入上式得 n＝－2. 所以直线 CE 的方程为 x＋2y－2＝0. 10．设直线 l 的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件 分别求 m 的值． (1)在 x 轴上的截距为 1； (2)斜率为 1； (3)经过定点 P(－1，－1)． [解] (1)∵直线过点 P′(1,0)，∴m2－2m－3＝2m－6. 解得 m＝3 或 m＝1. 又∵m＝3 时，直线 l 的方程为 y＝0，不符合题意， ∴m＝1. (2)由斜率为 1，得 －m2－2m－3 2m2＋m－1 ＝1， 2m2＋m－1≠0， 解得 m＝4 3. (3)直线过定点 P(－1，－1)， 则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6， 解得 m＝5 3 或 m＝－2. 11．(多选题)下列命题正确的是( ) A．当 B≠0 时，直线一般式方程可化为斜截式方程 B．当 C≠0 时，直线的一般式方程可化为截距式方程 C．两直线 mx＋y－n＝0 与 x＋my＋1＝0 互相平行的条件是 m＝1 n≠－1 或 m＝－1 n≠1 D．直线 ax＋(1－a)y＝3 与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2 互相垂直的条件是 a＝1 或 a＝－3. ACD [A 中，B≠0 时，Ax＋By＋C＝0 可化为 y＝－A Bx－C B ，故 A 正确；B 中，C≠0 时，Ax＋By＋C＝0 可化为 x －C A ＋ y －C B ＝1，但 A、B≠0 时是不可能的， 故 B 错误；C 中，若 mx＋y－n＝0 与 x＋my＋1＝0 平行，则 m2＝1 即 m＝±1，而 m＝1 时 n≠－1，否则重合；m＝－1 时 n≠1，否则也重合，故 C 正确；D 中，由 垂直条件可知，a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0 解得 a＝1 或 a＝－3.故 D 正确．故 ACD 正确．] 12．直线 l：mx＋(2m－1)y－6＝0 与两坐标轴所围成的三角形的面积为 3，则 m 的值为( ) A．2 B．－3 2 C．3 D．2 或－3 2 D [在 mx＋(2m－1)y－6＝0 中令 x＝0，得 y＝ 6 2m－1 ，令 y＝0，得 x＝6 m ，即 交点分别为 6 m ，0 ，0， 6 2m－1 ，据题意：1 2 ×|6 m|×| 6 2m－1|＝3，解得 m＝2 或 m＝－3 2.] 13．(一题两空)设 A、B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2 且|PA|＝|PB|，若 直线 PA 的斜率为1 2 ，那么直线 PB 的斜率为________；若直线 PA 的方程为 x－y＋ 1＝0，则直线 PB 的方程为________． －1 2 x＋y－5＝0 [由条件可知 PA 与 PB 两直线的倾斜角互补，故 kPB＝－kPA ＝－1 2 ；又因为 PA 的直线为 x－y＋1＝0，∴kPB＝－1，由 x＝2 时，y＝3，即直线 PB 过(2,3)，故 PB 的方程为 y－3＝－(x－2)， 即 x＋y－5＝0.] 14．已知直线 Ax＋By＋C＝0 的斜率为 5，且 A－2B＋3C＝0，则直线的方程 是________． 15x－3y－7＝0 [因为直线 Ax＋By＋C＝0 的斜率为 5，所以 B≠0，且－A B ＝5， 即 A＝－5B，又 A－2B＋3C＝0，所以－5B－2B＋3C＝0，即 C＝7 3B.此时直线的方 程化为－5Bx＋By＋7 3B＝0. 即－5x＋y＋7 3 ＝0， 故所求直线的方程为 15x－3y－7＝0.] 15．一河流同侧有两个村庄 A、B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使 用，已知 A、B 两村到河边的垂直距离分别为 300 m 和 700 m，且两村相距 500 m， 问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？ [解] 如图，以河流所在直线为 x 轴，y 轴通过点 A，建立直角坐标系， 则点 A(0,300)，B(x,700)，设 B 点在 y 轴上的射影为 H，则 x＝|BH|＝ AB2－AH2 ＝300，故点 B(300,700)，设点 A 关于 x 轴的对称点 A′(0，－300)，则直线 A′B 的 斜率 k＝10 3 ，直线 A′B 的方程为 y＝10 3 x－300. 令 y＝0 得 x＝90，得点 P(90,0)， 故水电站建在河边 P(90,0)处电线用料最省．