江苏省盐城市盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期终考试数学试题

江苏省盐城市盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期终考试数学试题

江苏省盐城市一中、大丰高级中学2020-2021学年第一学期高二年 级期终考试 数学试题 一、单项选择题：本题共 8 题，每 题 5 ，共 40 . 每 题给出的四个选项中，只有一项 符 题目要 的，请把答案 写 答题卡相应位 上. 1. 题“∀ x> 1,x2> 1”的 定  ( ) A. ∀ x> 1,x2≤ 1 B. ∀ x≤ 1,x2≤ 1 C. ∃ x≤ 1,x2≤ 1 D.∃ x> 1,x2≤ 1 【答 】D 2.已知函数 f(x)的导函数 f(x)的图像如下，若 f(x) x= x0处 值， x0的值为  ( ) A. - 3 B. 0 C. 3 D. 7 【答 】B 3.已知 z(1+ i) = 3- 5i， z=  ( ) A. 1- 4i B. - 1- 4i C. - 1+ 4i D. 1+ 4i 【答 】B 4. α的一个法 量 (1,2,3)， β的一个法 量 (3,0, - 1)， α与 β的 关系  ( ) A. 行 B. 相交且不 直 C. 相交且 直 D.不 定 【答 】C 5.已知 x ∈R， “ 2 x > 1” “x< 2”的  ( ) A. 充 不 要 件 B. 要不充 件 C. 充要 件 D.既不 要也不充 件 【答 】A 6. 三棱锥O-ABC中，AD  =DB  ，CE  = 2EB  ，若DE  = xOA  + yOB  + zOC  ，  ( ) A. x= 1 2 ,y=- 1 6 ,z= 1 3  B. x= 1 2 ,y= 1 6 ,z=- 1 3  C. x=- 1 2 ,y= 1 6 ,z= 1 3  D.x= 1 2 ,y= 1 6 ,z= 1 3  【答 】C 7.已知 x2+ 4y2= 4， 1 x2 + 1 y2 的 值为  ( ) A. 5 2  B. 9 C. 1 D. 9 4  ·1· 【答 】D 8.已知函数 f(x) = x+ sinx，若存 x ∈ [0,π] 不等 f(xsinx)≤ f(m- cosx)成 ， 整数m的 值为  ( ) A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2 【答 】A 二、多项选择题：本题共 4题，每 题 5 ，共 20 . 每 题给出的四个选项中，有多项符 题目要 的， 请把答案 写 答题卡相应位 上.全部选对得 5 ，部 选对得 3 ，不选或有选错的得 0 . 9.已知双曲线C的渐近线方 为 y=± 2x， 该双曲线的离 率为  ( ) A. 5   2  B. 6   2  C. 3   D. 5   【答 】AD 10. 正方 ABCD-A1B1C1D1中，若点E,F,G 为AB,BC,C1D1的中点，  ( ) A. B1D⊥ EFG B. CD1// EFG C. AC1⊥ EFG D.AC1// EFG 【答 】AB 11. 2018 世界著 的国 科技 《Nature》上 一篇 为《The Universal Decay of Collective Memory and Attention》的论文，该文以 12 个不 领域的数 出双 数 函数 f(x) =C1eλ1x+C2eλ2x 绘 人类行为时的 用.关于该函数下 说法中正 的  ( ) A. C1C2> 0且 λ1≠ λ2时函数 f(x) 零点 B. C1C2< 0且 λ1≠ λ2时函数 f(x) 零点 C. C1C2λ1λ2< 0且 λ1≠ λ2时函数 f(x) 值 D. C1C2λ1λ2> 0且 λ1≠ λ2时函数 f(x) 值 【答 】BC 12.已知无 数 an 满足 an+2= an+ λan+1 1+ λ ，其中 λ为 数，λ≠-1， 下 说法中正 的  ( ) A. 若 λ=-2， an  等差数 B. 若 an  等差数 ， λ=-2 C. 若 a1= 1，a2=-2，λ=- 1 2 ， an  等比数 D.若 an  等比数 ， a1= 1，a2=-2，λ=- 1 2  【答 】AC 三、 空题：本题共 4题，每 题 5 ，共 20 . 请把答案 写 答题卡相应位 上. 13.若点P(2021,t) 抛物线 y2= 4x上，点F为该抛物线的焦点， PF的值为 ▲ . 【答 】2022 14. 一 直角三角 ABC，∠A= π 2 ，AB= 250米，AC= 160米，现欲建一矩 停车 ADEF，点 D,E,F 边AB,BC,CA上， 停车 积的 大值为 ▲ 方米. 【答 】10000 15.设函数 f(x) = ax- lnx- 1，若 a=-1， f(x) ▲ 个零点；若 f(x) 且仅 两个零点， 实数 ·2· ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ a的取值 围为 ▲ .(第 1 2 ，第 2 3 ) 【答 】1; (0,1) 16.已知数 {an}与 {bn}满足 a1+ a2+⋯+an= 2n+1- 2，bn= an (an- 1) (an+1- 1) ，数 {bn}的 n项的 为 Sn，若 Sn≤M恒成 ， M的 值为 ▲ . 【答 】1 四、解答题：本题共 6 题，第 17 题 10 ，其余每 题 12 ，共 70 . 请 答题卡 定区域内作答，解答时 应写出必要的文字说 ，证 过程或演算步骤. 17. ( 题满 10 ) 从① a1,a2,a5成等比数 ，② S5= 25，③ Sn+2 n+ 2  - Sn n = 2，这三个 件中任 一个，补充 下 问题中 答. 已知等差数 {an}的 n项 为 Sn，a4= 7， ，bn= an+ 2 1+an 2  ， 数 {bn}的 n项 为 Tn. (注：如 择多个 件 解答， 么 照第一个解答计 ) 【规 解答】解: ①，设数 {an}的公差为 d， 由 a4= 7可 a1+ 3d= 7， 由 a1,a2,a5成等比数 a1(a1+ 4d) = (a1+ d)2， 联 以上两 可 a1= 7 d= 0  或 a1= 1 d= 2  ，6 若 a1= 7,d= 0， an= 7，bn= 23，Tn= 23n；8 若 a1= 1,d= 2， an= 2n- 1，bn= 2n- 1 + 2n，Tn= [n× 1 + n(n- 1) 2  × 2] + 2(1- 2n) 1- 2  = n2+ 2n+1- 2. 10 ②，设数 {an}的公差为 d， 由 a4= 7可 a1+ 3d= 7， 由 S5= 25 5a1+ 5× 4 2 d= 25， 联 以上两 可 a1= 1,d= 2，5 a n = 2n - 1 ，b n = 2n - 1 + 2n，Tn = [n × 1 + n(n- 1) 2  × 2 ] + 2(1- 2n) 1- 2  = n 2 + 2n+1 - 2 . 10 ③，设数 {an}的公差为 d， 由 a4= 7可 a1+ 3d= 7， ∵ Sn= na1+ n(n- 1)d 2 ，∴ Sn n = a1+ (n- 1)d 2 ，∴ Sn+2 n+ 2 = a1+ (n+ 1)d 2 ， 由 Sn+2 n+ 2 - Sn n = 2 d= 2， a1= 1，5 a n = 2n - 1 ，b n = 2n - 1 + 2n，Tn = [n × 1 + n(n- 1) 2  × 2 ] + 2(1- 2n) 1- 2  = n 2 + 2n+1 - 2 . 10 18. ( 题满 12 ) 如图， 直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB= 2 3   ,AC= 2,AA1= 3. ⑴ 直线BC1与A1C所成角的 值； ·3· ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ⑵设 3BG  =BA1  +BC  ， AG长. (第 18题图) 【规 解答】解：以 {AB  ,AC  ,AA1  }为正交基 建 如图所示 间直角 系A- xyz，2 A(0,0,0)，A1(0,0,3)，B(2 3   ,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,3). 4 ⑴BC  1= (-2 3   ,2,3)，A1C  = (0,2, - 3)， ∴ cos= BC  1 ⋅A1C  |BC  1||A1C  | = -5 5 13    =- 13   13 ， 7 直线BC1与A1C所成角的 值为 13   13 . 8 ⑵∵G为△A1BC的重 ，A1(0,0,3)，B(2 3   ,0,0)，C(0,2,0)， ∴G( 2 3   3 , 2 3 ,1)， 10 ∴AG= |AG  |= ( 2 3   3 )2+ ( 2 3 )2+ 12   = 5 3 . 12 19. ( 题满 12 ) 已知函数 f(x) = x- 2 x - alnx. ⑴已知 f(x) 点 (1,f(1))处的 线方 为 y= x- 2， 实数 a的值； ⑵已知 f(x) 定义域上 函数， 实数 a的取值 围. 【规 解答】解：⑴∵ f(x) = x- 2 x - alnx，∴ f(x) = 1+ 2 x2 - a x ，∴ f(1) = 3- a， 又 f(x) 点 (1,f(1))处的 线方 为 y= x- 2，∴ f(1) = 1， ∴ 3- a= 1，∴ a= 2. 4 ⑵ f(x)的定义域为 (0, +∞)， ∵ f(x) 定义域上为 函数，∴ f(x) = 1+ 2 x2 - a x ≥ 0 (0, +∞)上恒成 ， ∴ a≤ x+ 2 x  (0, +∞)上恒成 ，∴ a≤ x+ 2 x  min ， 8 由基 不等 x+ 2 x ≥ 2 x× 2 x   = 2 2   ， 且仅 x= 2   时等号成 ， 故 x+ 2 x  min = 2 2   ， 故 a的取值 围为 ( -∞,2 2   ]. 12 ·4· ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 20. ( 题满 12 ) 如图所示的四棱锥 P-ABCD中， ABCD 边长为 2 的正方 ，△ PAD 正三角 ， PAD⊥ ABCD. ⑴ PAB与 PCD所成锐二 角的大 ； ⑵设E为PB上的 点，直线CE与 PAB所成的角为 θ， sinθ的 大值. (第 20题图) 【规 解答】解：取AD的中点O，取BC的中点F，连 OP,OF， 因为 ABCD 正方 ，∴OF⊥AD， ∵△PAD 正三角 ，O为AD的中点，∴OP⊥AD， 又因为 PAD⊥ ABCD， PAD∩ ABCD=AD，OP⊂ PAD， ∴OP⊥ ABCD， 以 {OF  ,OD  ,OP  }为正交基 建 如图所示 间直角 系O- xyz. 2 ⑴P(0,0, 3   ),A(0, - 1,0)，B(2, - 1,0), AB  = (2,0,0)，AP  = (0,1, 3   )， 设m  = (x,y,z)为 PAB的一个法 量， m  ⋅AB  = 2x= 0 m  ⋅AP  = y+ 3   z= 0  ， x= 0，令 z= 1， y=- 3   ，m  = (0, - 3   ,1)，4 P(0,0, 3   ),C(2,1,0)，D(0,1,0), DC  = (2,0,0)，DP  = (0, - 1, 3   )， 设 n  = (a,b,c)为 PCD的一个法 量， n  ⋅DC  = 2a= 0 n  ⋅DP  =-b+ 3   c= 0  ， a= 0，令 c= 1， b= 3   ，n  = (0, 3   ,1)，6 ∴ cos= m  ⋅ n |m ||n| = -2 2× 2 =- 1 2 ，又∈ [0,π]，∴= 2π 3 ， ∴ PAB与 PCD所成锐二 角的大 为 π 3 . 8 ⑵设BE  = λBP  ，λ ∈ [0,1]， BE  = λ( -2,1, 3   )= (-2λ,λ, 3   λ)， CE  =CB  +BE  = (0, - 2,0) + (-2λ,λ, 3   λ) = (-2λ,λ- 2, 3   λ)， 因为直线CE与 PAB所成的角为 θ， ∴ sinθ= |cos |= |CE  ⋅m | |CE  ||m | = |- 3   (λ- 2) + 3   λ| (-2λ)2+ (λ- 2)2+ ( 3   λ)2   × 2   10 ·5· ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ = 3   8λ2- 4λ+ 4    = 3   2 2(λ- 1 4 )2+ 7 8    ≤ 3   7 2   = 42   7 ， 且仅 λ= 1 4 时取等号， 故 sinθ的 大值为 42   7 . 12 21. ( 题满 12 ) 已知 C： x2 a2 + y2 b2 = 1(a> b> 0)的离 率为 1 2 ，点P(1, 3 2 ) C上． ⑴ C的方 ； ⑵若 C的左右焦点 为F1,F2 ，过点F1的直线 l与C交于A、B两点，△AF1F2与△BF1F2的 积 为 S1,S2，S1= 2S2， 直线 l的斜率． 【规 解答】解：⑴由 c a = 1 2  1 a2 + 9 4b2 = 1 a2= b2+ c2        a2= 4 b2= 3  ，故C的方 为 x2 4 + y2 3 = 1. 4 ⑵F1( -1,0)， 然 l与 y轴不 直，故可设 l : x= ty- 1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)， 由 x= ty- 1 x2 4 + y2 3 = 1  去 x (3t2+ 4)y2- 6ty- 9= 0， y1+ y2= 6t 3t2+ 4 ，y1y2= -9 3t2+ 4 ，6 由 S1= 2S2 y1=-2y2，8 -y2= 6t 3t2+ 4 ，-2y2 2 = -9 3t2+ 4 ， 去 y2可 t=± 2 5    ，故 l : x=± 2 5    y- 1， l的斜率为± 5   2 . 12 22. ( 题满 12 ) 已知函数 f(x) = ex(x2- ax+ a2- 3a+ 1) x= x1 x= x2时取 值，且 x1< x2. ⑴已知 x1=-2， x2的值； ⑵已知 x1+ x2< 0， f(x1) ⋅ f(x2)的取值 围. 【规 解答】解：⑴∵ f(x) = ex(x2- ax+ a2- 3a+ 1)，∴ f(x) = ex[x2+ (2- a)x+ a2- 4a+ 1]， ∵ f(x) x= x1 x= x2时取 值，∴ f(x1) = f(x2) = 0， ∴ x1，x2 x2+ (2- a)x+ a2- 4a+ 1= 0的两个不等实 ， ∴ x1+ x2=-2+ x2= a- 2 ，x1x2=-2x2= a2- 4a+ 1，解 x2= 1， 经 验，符 题意. 4 ⑵由⑴知 x1+ x2= a- 2，x1x2= a2- 4a+ 1， ∴ f(x1) ⋅ f(x2) = ex1(x2 1 - ax1+ a2- 3a+ 1) ⋅ ex2(x2 2- ax2+ a2- 3a+ 1) ∵ x1，x2 x2+ (2- a)x+ a2- 4a+ 1= 0的两个不等实 ， ∴ x2 1 + (2- a)x1+ a2- 4a+ 1= 0，x2 2+ (2- a)x2+ a2- 4a+ 1= 0， ·6· ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ∴ x2 1 - ax1+ a2- 3a+ 1= a- 2x1，x 2 2- ax2+ a2- 3a+ 1= a- 2x2， ∴ f(x1) ⋅ f(x2) = ex1+x2(a- 2x1) (a- 2x2) = ex1+x2[4x1x2- 2a(x1+ x2) + a2] = ea-2[4(a2- 4a+ 1) - 2a(a- 2) + a2] = ea-2(3a2- 12a+ 4) 8 设 g(a) = ea-2(3a2- 12a+ 4)， ∵ x1+ x2< 0，∴ a- 2< 0，① 又 x1，x2 x2+ (2- a)x+ a2- 4a+ 1= 0的两个不等实 ， ∴△= (2- a)2- 4(a2- 4a+ 1)> 0， 0< a< 4，② 由①②知 a ∈ (0,2)，10 而 g(a) = ea-2(3a2- 6a- 8)，设 h(a) = 3a2- 6a- 8， h(0)< 0，h(2)< 0， 由二次函数的性质可知 h(a) = 3a2- 6a- 8< 0 (0,2)上恒成 ， g(a)< 0 (0,2)上恒成 ， g(a) = ea-2(3a2- 12a+ 4) (0,2)上单 减， 而 g(0) = 4 e2 ，g(2) =-8，故 f(x1) ⋅ f(x2)的取值 围为 ( -8, 4 e2 ). 12 ·7·