2019届二轮复习第8招直线遇圆锥曲线突破在点线距离学案(江苏专用)

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2019届二轮复习第8招直线遇圆锥曲线突破在点线距离学案(江苏专用)

直线遇圆锥曲线 突破在点线距离 近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考热点考点,且填空也有涉及,有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。分析这类问题,往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法,对称的方法及韦达定理等。‎ ‎1、直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系,从几何角度可分为三类:无公共点,有且仅有一个公共点,有两个不同的公共点。‎ 直线与圆锥曲线的位置关系,可以通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的。‎ 直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离。对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,同样也不是相切。这三种位置关系的判定条件可归纳为:‎ 设直线:,圆锥曲线C:,‎ 由,消元可得:,。‎ ‎, (1)相交;‎ ‎ (2)相切;‎ ‎ (3)相离。‎ 注意:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件。‎ ‎2、直线与圆锥曲线相交的弦长公式 有关弦长的问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系“设而不求”,有关焦点弦长的问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简便运算。‎ ‎(1)斜率为的直线与圆锥曲线交于两点,,则所得弦长或,其中求与时通常使用根与系数的关系,即作如下变形:‎ ‎,‎ ‎。‎ (2) 当斜率不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式)。‎ ‎3、弦的中点问题 有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算。‎ 考点1:直线与圆锥曲线的相交弦问题 ‎【例1】在平面直角坐标系中,已知椭圆:过点,且离心率.‎ (1) 求椭圆的方程;‎ (2) 直线的斜率为,直线与椭圆交于点,两点,求△面积的最大值.‎ ‎【解析】(1),,又,,,故所求椭圆的方程为.‎ ‎(2)设的方程为,点,,联立,整理得,判别式,即.‎ 又,则,‎ 点到直线的距离.‎ 因此,当且仅当即时,等号成立. 故的面积最大值为2.‎ ‎【例2】如图,在平面直角坐标系中,已知直线:,抛物线:.‎ (1) 若直线过抛物线的焦点,求抛物线的方程;‎ (2) 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和.‎ 求证:线段的中点坐标为;‎ ‚求的取值范围.‎ ‎【解析】(1):,与轴的交点坐标为,即抛物线的焦点为,,. 抛物线的方程为.‎ ‎(2)证明:设点,,则,即,,又、关于对称,,即,‎ ‎,又的中点在上,.‎ 线段的中点坐标为.‎ ‚解:的中点为,,即,,即关于的方程,有两个不相等的实数根. ,即,解得,故所求的取值范围为.‎ 考点2:圆锥曲线中的存在性问题 ‎【例3】已知点,,动点满足.‎ (1) 求的轨迹的方程;‎ (2) 是否存在过点的直线与曲线相交于两点,并且曲线存在点,使四边形为平行四边形?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】(1)根据椭圆定义可得,,,所以轨迹的方程为. ‎ ‎(2)假设存在过点的直线. 设,,由题意可知的斜率一定不为0,故不妨设:,代入椭圆方程并整理得,显然,则 假设存在点,使得四边形为平行四边形,其充要条件为,则点的坐标为. 由点在椭圆上,即. 整理得 ‎. 又在椭圆上,即,‎ ‎. 故.‚ 将代入‚得 ‎,ƒ 有ƒ解得,故直线的方程是,即.‎ ‎【例4】已知椭圆:的离心率位,点和点都在椭圆上,直线交轴于点.‎ (1) 求椭圆的方程,并求点的坐标(用表示);、‎ (2) 设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点. 轴上是否存在点,使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【解析】(1)由题意得,解得,故椭圆的方程为. ‎ 和点,,设,‎ 直线的方程为,时,,.‎ (2) 点与点关于轴对称,,点. ‎ 直线交轴于点,. ‎ 存在点,使得,设,‎ ‎,,‎ 即,,,或.‎ 故轴上存在点,使得,点的坐标为或.‎
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