2018届二轮复习立体几何中的垂直、二面角、点面距三连问问题解法举例学案（全国通用）

2018届二轮复习立体几何中的垂直、二面角、点面距三连问问题解法举例学案（全国通用）

立体几何中的垂直、二面角、点面距三连问问题解法举例 在立体几何命题中，第一问证明垂直（线线垂直，线面垂直或者面面垂直）、第二问求二面角大小或某种三角函数值、第三问点面距，这种连续三问的几何题学生求解起 往往感到比较吃力，费时较多，需要加强研究训练，现在举例说明这类问题常见的解法．‎ 例1：如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）求点到平面的距离．‎ A B C D O F 解法一（几何法）：‎ ‎（Ⅰ）取中点，连结．‎ 为正三角形，．‎ 正三棱柱中，平面平面，‎ 平面．‎ 连结，在正方形中，分别为 的中点， ，．‎ 在正方形中，， 平面．‎ ‎（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，‎ 由（Ⅰ）得平面．， ‎ 为二面角的平面角．‎ 在中，由等面积法可求得，‎ 又， ．‎ 所以二面角的的平面角的正弦值为．‎ ‎（Ⅲ）中，，．‎ 在正三棱柱中，到平面的距离为．‎ 设点到平面的距离为．‎ 由，得，．‎ 点到平面的距离为．‎ 解法二（坐标法）：‎ ‎（Ⅰ）取中点，连结．‎ 为正三角形，．‎ 在正三棱柱中，平面平面，‎ 平面．‎ 取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，‎ x z A B C D O F y ‎，，．‎ ‎，，‎ ‎，．‎ 平面．‎ ‎（Ⅱ）设平面的法向量为．‎ ‎，． ，，‎ 令得为平面的一个法向量．‎ 由（Ⅰ）知平面，为平面的法向量．‎ ‎，．‎ 二面角的大小为．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，‎ ‎．‎ 点到平面的距离．‎ 本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点K到平面的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.‎ 例2：如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，其中 ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；‎ ‎（3）求到平面PAD的距离 解法一（坐标法）‎ 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系 ‎（1）设E是BD的中点，P—ABCD是正四棱锥，∴ ‎ 又， ∴ ‎ ‎ ∴∴ ，‎ ‎∴ ， 即． ‎ ‎（2）设平面PAD的法向量是， ‎ ‎ ‎ ‎∴ 取得，‎ 又平面的法向量是 ‎∴ ，∴．‎ ‎（3） ， ∴到平面PAD的距离．‎ 解法二（几何法）：‎ ‎（1）设AC与BD交点为O，连PO；∵P—ABCD是正四棱锥，∴PO⊥面ABCD， ‎ ‎∴AO为PA在平面ABCD上的射影， 又ABCD为正方形，‎ ‎∴AO⊥BD，由三垂线定理知PA⊥BD，而BD∥B1D1，∴．‎ ‎（2）由题意知平面PAD与平面所成的锐二面角为二面角A-PD-B； ‎ ‎∵AO⊥面PBD，过O作OE垂直PD于E，连AE，‎ 则由三垂线定理知∠AEO为二面角A-PD-B的平面角； ‎ 可以计算得， ‎ ‎（3）设B1C1与BC的中点分别为M、N；则到平面PAD的距离为M到平面PAD的距离；由VM-PAD=VP-ADM求得．‎