【数学】2018届一轮复习人教A版第十章计数原理、概率第8讲离散型随机变量的均值与方差学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第十章计数原理、概率第8讲离散型随机变量的均值与方差学案

第8讲　离散型随机变量的均值与方差 最新考纲　1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎(1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.‎ ‎(2)方差 称D(X)＝__(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差.‎ ‎2.均值与方差的性质 ‎(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.‎ ‎(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).‎ ‎3.两点分布与二项分布的均值、方差 ‎(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).‎ ‎(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.(　　)‎ ‎(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.(　　)‎ ‎(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.(　　)‎ ‎(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.(　　)‎ 解析　均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2.(选修2－3P68T1改编)已知X的分布列为 X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)‎ A. B‎.4 ‎ C.－1 D.1‎ 解析　E(X)＝－＋＝－，‎ E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.‎ 答案　A ‎3.已知某离散型随机变量X的分布列如下表，则随机变量X的方差D(X)等于(　　)‎ X ‎0‎ ‎1‎ P m ‎2m A. B. C. D. 解析　由已知得m＋‎2m＝1得m＝，由于X服从两点分布，所以D(X)＝m·‎2m＝.‎ 答案　B ‎4.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)，则D(X)等于________.‎ 解析　∵E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，‎ ‎∴D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.‎ 答案　8‎ ‎5.(2015·广东卷)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.‎ 解析　由于X～B(n，p)，且E(X)＝30，D(X)＝20.‎ 所以解之得p＝.‎ 答案　 ‎6.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量X的数学期望E(X)＝________(结果用最简分数表示).‎ 解析　随机变量X只能取0，1，2三个数，‎ 因为P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，故E(X)＝1×＋2×＝.‎ 答案　 考点一　一般分布列的均值与方差 ‎【例1】 (2017·台州调研)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.‎ ‎(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；‎ ‎(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ).‎ 解　(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，‎ 两人都付0元的概率为P1＝×＝，‎ 两人都付40元的概率为P2＝×＝，‎ 两人都付80元的概率为 P3＝×＝×＝，‎ 则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.‎ ‎(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则：‎ P(ξ＝0)＝×＝；‎ P(ξ＝40)＝×＋×＝；‎ P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝；‎ P(ξ＝120)＝×＋×＝；‎ P(ξ＝160)＝×＝.‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎120‎ ‎160‎ P E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.‎ D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.‎ 规律方法　(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.‎ ‎(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用.‎ ‎【训练1】 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：‎ 降水量X X<300‎ ‎300≤X<700‎ ‎700≤X<900‎ X≥900‎ 工期延误天数Y ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：‎ ‎(1)工程延误天数Y的均值与方差；‎ ‎(2)在降水量X至少是‎300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率.‎ 解　(1)由条件和概率的加法公式有：P(X<300)＝0.3，‎ P(300≤X＜700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，‎ P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.‎ 所以Y的分布列为：‎ Y ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ P ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；‎ D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.‎ 故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.‎ ‎(2)由概率加法公式， 得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，‎ 又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.‎ 由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝.‎ 故在降水量X至少是‎300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.‎ 考点二　与二项分布有关的均值、方差 ‎【例2】 (2017·北京海淀区模拟)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.‎ ‎(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；‎ ‎(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？‎ 解　(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响.‎ 记“这2人的累计得分X≤‎3”‎的事件为A，‎ 则事件A的对立事件为“X＝5”，‎ 因为P(X＝5)＝×＝，‎ 所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，‎ 即这2人的累计得分X≤3的概率为.‎ ‎(2)法一　设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).‎ 由已知可得，X1～B，X2～B，‎ 所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，‎ 因此E(2X1)＝2E(X1)＝，‎ E(3X2)＝3E(X2)＝.‎ 因为E(2X1)>E(3X2)，‎ 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.‎ 法二　设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y1，都选择方案乙所获得的累计得分为Y2，则Y1，Y2的分布列为：‎ Y1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎　‎ Y2‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ P ‎∴E(Y1)＝0×＋2×＋4×＝，‎ E(Y2)＝0×＋3×＋6×＝，‎ 因为E(Y1)>E(Y2)，‎ 所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大.‎ 规律方法　二项分布的期望与方差.‎ ‎(1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.‎ ‎(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).‎ ‎【训练2】 (2017·诸暨模拟)甲、乙、丙三人准备报考某大学，假设甲考上的概率为，甲、丙都考不上的概率为，乙、丙都考上的概率为，且三人能否考上相互独立.‎ ‎(1)求乙、丙两人各自考上的概率；‎ ‎(2)设X表示甲、乙、丙三人中考上的人数与没考上的人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望.‎ 解　(1)设A表示“甲考上”，B表示“乙考上”，C表示“丙考上”，‎ 则P(A)＝，且 解得P(C)＝，P(B)＝.‎ ‎∴乙考上的概率为，丙考上的概率为.‎ ‎(2)由题意X的可能取值为1，3，‎ P(X＝1)＝××＋××＋××＋××＋××＋××＝，‎ P(X＝3)＝××＋××＝，‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎1‎ ‎3‎ P EX＝1×＋3×＝.‎ 考点三　均值与方差在决策中的应用 ‎【例3】 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.‎ ‎(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；‎ ‎(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：‎ 年入流量X ‎40120‎ 发电机最多可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？‎ 解　(1)依题意，p1＝P(40120)＝＝0.1.‎ 由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝＋4××＝0.947 7.‎ ‎(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元).‎ ‎①安装1台发电机的情形.‎ 由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，‎ 对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.‎ ‎②安装2台发电机的情形.‎ 依题意，当40120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.因此得Y的分布列如下：‎ Y ‎3 400‎ ‎9 200‎ ‎15 000‎ P ‎0.2‎ ‎0.7‎ ‎0.1‎ 所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.‎ 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.‎ 规律方法　随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.‎ ‎【训练3】 (2017·贵州调研)某投资公司在2018年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：‎ 项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；‎ 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.‎ 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.‎ 解　若按“项目一”投资，设获利为X1万元.则X1的分布列为 X1‎ ‎300‎ ‎－150‎ P ‎∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元).‎ 若按“项目二”投资，设获利X2万元，‎ 则X2的分布列为：‎ X2‎ ‎500‎ ‎－300‎ ‎0‎ P ‎∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元).‎ D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，‎ D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.‎ 所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)

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