【数学】2020届一轮复习人教A版均值不等式的灵活应用（理）学案
专题34 均值不等式的灵活应用
一．【学习目标】
会应用不等式的基础知识通过不等式建模，分析求解与不等式相关的实际应用问题；会运用不等式的工具性探究函数与方程问题；会通过构造函数解决不等式的综合问题，从而提升思维能力．
二．【知识要点】
1.不等式建模应用问题
实际问题中所涉及的变量之间、变量与常量之间存在不等关系，适合应用不等式知识建模求解；有时问题可能是函数建模后转化化归为不等式解模，此类应用问题的求解思路仍然是：理解问题⇒假设建模⇒求解模型⇒检验评价，而关键和切入点是理解问题情境，建立数学模型.
2.不等式综合应用类型
类型1：求函数的定义域、值域、最值及单调性判定问题.
类型2：讨论方程根的存在性、根的分布及根的个数等问题.
类型3：探究直线与圆、圆锥曲线的位置关系，参变量取值范围，最值问题等.
类型4：探究数列的递增(递减)性，前n项和的最值等问题.
3．基本不等式
(1)a2＋b2≥2ab；变式：≥ab；当且仅当a＝b时等号成立；
(2)如果a≥0，b≥0，则≥；变式：ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立，其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
4．(1)若a>0，b>0，且a＋b＝P(定值)，则由ab≤＝可知，当a＝b时，ab有最大值；
(2)若a>0，b>0且ab＝S(定值)，则由a＋b≥2＝2可知，当a＝b时，a＋b有最小值2.
三．题型方法规律总结
1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值等问题.
不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角等相结合，解决这些问题的关键是找出综合题中各部分知识之间的转化化归，注意灵活应用数学思想和数学方法.
2.建立不等式的主要途径有：利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等式.
3.不等式的实际应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一.不等式应用题大都是以函数的面目出现，以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程(组)解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等有着密切的关系.
4.解答不等式的实际应用问题，一般可分为四个步骤：
(1)审题：阅读理解材料.应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题的方法.
(2)建模：建立数学模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系.
(3)求解：利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.
(4)回验：回到实际问题，作出合理的结论.
四．典例分析
（一）基本不等式比较大小
例1．若，，则下列结论：①，②③
④，其中正确的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
练习1．若m，n，a，b，c，d均为正数，，则p，q的大小关系为( )
A．p≥q B．p≤q C．p>q D．不确定
【答案】B
【解析】q＝≥＝＋＝p，当且仅当＝时取等号．
练习2．若，，，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，且，
∴，即．
故选B．
练习3．设f(x)＝ex,0
p D．p＝r>q
【答案】C
【解析】由题意得，
∵，∴，
又函数为增函数，∴．
故选C．
（二）利用基本不等式证明
例2.已知，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】，，，
上面三式相加，得：，
所以，.
练习1．设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是
A．逆命题与否命题均为真命题 B．逆命题为假命题，否命题为真命题
C．逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D．否命题为假命题，逆否命题为真命题
【答案】A
【解析】原命题：“设a、，原命题“若，则”，是假命题，
原命题的逆否命题是假命题；
原命题的逆命题：“若，则”，是真命题，
原命题的否命题是真命题．
故选：A．
练习2．已知，，为不全相等的正实数，且.求证：.
【答案】见解析
【解析】因为，，都是正实数，且，
所以，，，
以上三个不等式相加，得：，即，
因为，，不全相等，所以上述三个不等式中的“”不都同时成立，
所以.
练习3．下列条件：①，②，③，，④，，其中能使成立的条件的序号是________．
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
练习1．若正数满足，则的最小值为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【解析】∵x＞0，y＞0，x+4y＝xy，
∴,
∴x+y＝（x+y）（）＝5+≥5+2＝9，当且仅当x＝2y取等号，结合x+4y＝xy，
解得x＝6，y＝3
∴x+y的最小值为9，
故答案为：A．
练习2．已知，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，可知，且，则，
则，
当且仅当，即等号成立，即最小值是，故选A.
练习3．已知，且，则的最小值为______．
【答案】15
（五）条件等式求最值
例5．若直线过圆的圆心，则的最小值为( )
A．10 B． C． D．
【答案】C
【解析】圆x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0的圆心（﹣2，2）在直线ax﹣by+2＝0上，
所以﹣2a﹣2b+2＝0，即1＝a+b，
（）（a+b）＝55+2（a＞0，b＞0当且仅当ab时取等号）
故选：C．
练习1．已知实数，且，则的最小值为____
【答案】
【解析】由于a+b＝2，且a＞b＞0，则0＜b＜1＜a＜2，
所以，，
令t＝2a﹣1∈（1，3），则2a＝t+1，
所以，
当且仅当，即当时，等号成立．
因此，的最小值为．
故答案为：．
练习2．若实数，满足，则的最小值为____.
【答案】4
【解析】∵a＞1，b＞2满足2a+b﹣6＝0，
∴2（a﹣1）+b﹣2＝2，a﹣1＞0，b﹣2＞0，
则（）[2（a﹣1）+b﹣2]，
（4），
当且仅当且2a+b﹣6＝0即a，b＝3时取得最小值为4．
故答案为：4．
练习3．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．
【答案】1
【解析】∵点在椭圆上运动，即，
则
，当且仅当时，取等号，
即所求的最小值为.
练习4．已知，，，则的最小值为_______．
【答案】3
【解析】因为，，
所以=
（六）基本不等式的恒成立问题
例6.已知函数.
(1)求关于的不等式的解集；
(2),使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由题意得
不等式可化为或或 或
解得．
所以不等式的解集为．
(2)，使得成立，等价于.
由(1)知，当时，，
当且仅当，即当时，等号成立．所以，解得，
又，所以．故实数的取值范围为．
【点睛】解绝对值不等式的常用方法
(1)平方法：两边平方去掉绝对值符号．
(2)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
(3)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．
(4)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
练习1．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，当等号成立.故恒成，化简得，解得，故选C.
练习 2．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的最小值是
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】不等式对任意的正实数x，y恒成立，
则对任意的正实数x，y恒成立，
又，，
解得或不合题意，舍去，，
即正实数m的最小值是4．
故选：B．
练习3．（1）已知x＞0，y＞0，x+y+xy=8，则x+y的最小值？
（2）已知不等式的解集为{x|a≤x＜b}，点（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，若对任意满足条件的m，n，恒有成立，则λ的取值范围？
【答案】(1)4 (2)（﹣∞，9]
【解析】（1）∵x＞0，y＞0，
∴，当且仅当x=y时取等号
由x+y+xy=8，
可得：8﹣（x+y）≤．令x+y=t．（t＞0）．得8﹣t≤，（t＞0）.
解得：t≥4，即x+y≥4．故x+y的最小值为4．
（2）由不等式的解集为{x|a≤x＜b}，
可得方程（x+2）（x+1）=0的两个根=a=﹣2，=b=﹣1．
∵点（a，b）在直线mx+ny+1=0上，得：﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1．
对任意满足条件的m，n，恒有成立，
则：．当且仅当n=m时取等号．
∴λ≤9．
即λ的取值范围是（﹣∞，9]．
练习4．若不等式＞0在满足条件a＞b＞c时恒成立，求实数λ的取值范围．
【答案】(－∞，4)
（七）对勾函数求最值
例7．已知。
（1）比较，在的大小关系；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
=，
即
（2）∵在上恒成立，
∴在上恒成立，
即，又在上递增，
∴
∴，即
∴
（1）将该厂家2019年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
【答案】（1）；（2）2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大
【解析】（1）由题意有，得
故
∴
（2）由（1）知：
当且仅当即时，有最大值.
答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大.
练习1．某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x米．
（Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；学_科网
（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）池底设计为边长米的正方形时，总造价最低，其值为元.
【解析】（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，
则有(平方米)．池底长方形宽为米，则
S2＝8x＋8×＝8(x＋)．
（Ⅱ）设总造价为y，则
y＝120×1 600＋100×8≥192000＋64000＝256000．当且仅当x＝，即x＝40时取等号．
所以x＝40时，总造价最低为256000元．
答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元．
练习2．某投资公司计划投资，两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资金额
的函数关系为，产品的利润与投资金额的函数关系为.（注：利润与投资金额单位：万元）
（1）该公司已有100万元资金，并全部投入，两种产品中，其中万元资金投入产品，试把，两种产品利润总和表示为的函数，并写出定义域；
（2）试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
【答案】（1）；（2）20，28.
练习3．已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元设公司一年内共生产该款手机万部且并全部销售完，每万部的收入为万元，且．
写出年利润万元关于年产量（万部）的函数关系式；
当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）， ;（2）当时，y取得最大值57600万元．
【解析】（1）由题意，可得利润关于年产量的函数关系式为
，.
由可得
，
当且仅当，即时取等号，所以当时，y取得最大值57600万元．
