2019届二轮复习第4讲　算法与推理证明学案（全国通用）

2019届二轮复习第4讲　算法与推理证明学案（全国通用）

第4讲　算法与推理证明 　【p19】‎ 　【p19】‎ 年份 卷别 题号 考查内容 命题规律 ‎2018‎ Ⅱ ‎7‎ 程序框图 ‎2017‎ Ⅰ ‎8‎ 程序框图 Ⅱ ‎7‎ 合情推理 ‎8‎ 程序框图 Ⅲ ‎7‎ 程序框图 ‎2016‎ Ⅰ ‎9‎ 程序框图 Ⅱ ‎8‎ 程序框图 ‎15‎ 推理 Ⅲ ‎7‎ 程序框图 ‎　　主要结合数列，通过程序框图给出数列公式，按照图中循环结构运算并求值．主要考法为已知多个相互依存量的迭代关系式求某个量的值或循环次数.‎ 备 考 建 议　【p19】‎ 本部分内容在高考中通常以选择题、填空题的形式出现，属容易题或中档题．对于程序框图要掌握基本算法语句尤其是含循环结构的程序框图，往往与分段函数的求值、数列求和或求积、统计等有规律的重复计算问题放在一起考查，读题审题要仔细．对合情推理的考查重点是考查归纳推理和类比推理，往往以数表、数阵、图形等为背景与数列、通项、求和、周期性等数学知识相结合考查，所以平常要多加训练、总结，提升观察探究、归纳和概括能力．‎ 典 例 剖 析　【p19】‎ 探究一　算法初步 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例1(1)执行如下图所示的程序框图，输出s的值为(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎【解析】选D.‎ 第一次循环，n＝1，s＝；第二次循环，n＝2，s＝＋，直至n＝1 008，s＝＋＋…＋，结束循环，输出 s＝＋＋…＋ ‎＝－＋－＋…＋－ ‎＝－＋－＋…＋－ ‎＝1－＝，选D.‎ ‎(2)已知实数x∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于55的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】选B.‎ 设实数x∈[1，9]，‎ 经过第1次循环得到x＝2x＋1，n＝2，‎ 第2次循环得到x＝2(2x＋1)＋1，n＝3；‎ 第3次循环得到x＝2[2(2x＋1)＋1]＋1，n＝4，‎ 此时输出x的值，输出的值为8x＋7，令8x＋7≥55，‎ 解得x≥6，由几何概型得到输出的x不小于55的概率为＝，故选B.‎ 探究二　逻辑推理 例2 (1) 宋代理学家程颐认为：“格犹穷也，物犹理也，犹曰穷其理而已也．”就是说，格就是深刻探究，穷尽，物就是万物的本原，关于“格物致知”的做法，就是“今日格一件，明日又格一件，积习既多，然后脱然自有贯通处．”上述推理用的是(　　)‎ A．类比推理 B．演绎推理 C．归纳推理 D．以上都不对 ‎【解析】选C.‎ 今天研究一件，明天又研究一件，将事物的规律一个一个找出来，归纳推理出“贯通处”．故为归纳推理．‎ ‎(2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为(1，3]．若将其中的条件“|PF1|＝2|PF2|”更换为“|PF1|＝k|PF2|，k>0且k≠‎1”‎，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是________．‎ ‎【解析】 若|PF1|＝2|PF2|，‎ 则双曲线离心率的取值范围为(1，3]，‎ 区间前端点为1，后端点为3＝＝.‎ 若将其中的条件“|PF1|＝2|PF2|”‎ 更换为“|PF1|＝k|PF2|，k>0且k≠‎1”‎，经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是.‎ 例3 (1)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B是椭圆上不同的两个点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P.证明：－0，b>0)写出类似的结论．‎ ‎【解析】(1) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由P(x0，0)在线段AB的垂直平分线上，‎ 得(x1－x0)2＋y12＝(x2－x0)2＋y22.‎ 由A，B两点在椭圆上，得y12＝b2－x12，y22＝b2－x22，‎ ‎(x1－x0)2－(x2－x0)2＝y22－y12＝(x12－x22)，‎ ‎(x1－x2)(x1＋x2－2x0)＝(x1－x2)(x1＋x2)，‎ ‎∵x1≠x2，‎ ‎∴2x0＝(x1＋x2)·＝(x1＋x2).‎ ‎∵－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，又x1≠x2，∴－‎2a(x0>或x0<－)．‎ 规 律 总 结　【p20】‎ ‎1．解答程序框图问题的关键点：‎ ‎(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，‎ 在如累加求和、累乘求积 、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构．‎ ‎(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．‎ ‎(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律．特别要注意输出循环次数的情况，防止多一次或少一次的错误．‎ ‎2．合情推理的解题思路：‎ ‎(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．‎ ‎(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．‎ ‎(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．‎ 高 考 回 眸　【p20】‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 考题1[2017·全国卷Ⅰ] 下图的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入(　　)‎ A．A>1 000和n＝n＋1‎ B．A>1 000和n＝n＋2‎ C．A≤1 000和n＝n＋1‎ D．A≤1 000和n＝n＋2‎ ‎【解析】选D.‎ 判断框“”中应填入A≤1 000，由于是求最小偶数，故处理框“”中应填入n＝n＋2.选D.‎ ‎【命题意图】本题考查了循环结构的程序框图，考查学生的逻辑推理能力．‎ 考题2[2017·全国卷Ⅱ] 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎【解析】选D.‎ 由于甲不知道自己的成绩，故乙、丙的成绩中一个为优秀、一个为良好，所以丁看到甲的成绩后一定能断定自己的成绩，乙看到丙的成绩后可以知道自己的成绩．故选D.‎ ‎【命题意图】本题考查了推理的知识，解答时注意通过画图、列表等方法解决．‎ 考点限时训练　【p116】‎ A组　基础演练 ‎1．执行如图所示的程序框图，如果输出s＝4，那么判断框内应填入的条件是(　　)‎ A．k≤14? B．k≤15?‎ C．k≤16? D．k≤17?‎ ‎【解析】选B.‎ 执行如图所示的程序框图，第一次循环，k＝2，s＝log23；第二次循环，k＝3，s＝log24＝2；第三次循环，k＝4，s＝log25；第四次循环，k＝5，s＝log26；…；第十四次循环，k＝15，s＝log216＝4；此时结束循环，判断框内应填入的条件只能是k≤15？，故选B.‎ ‎2．甲、乙两人约好一同去看《变形金刚5》，两人买完了电影票后，偶遇丙也来看这场电影，此时还剩9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表.‎ ‎1排4号 ‎1排5号 ‎1排8号 ‎2排4号 ‎3排1号 ‎3排5号 ‎4排1号 ‎4排2号 ‎4排8号 丙从这9张电影票中挑选了一张，甲、乙询问丙所选的电影票的座位信息，丙只将排数告诉了甲，只将号数告诉了乙．下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：‎ 甲对乙说：“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定．”‎ 乙对甲说：“本来我不能确定，但是现在我能确定了．”‎ 甲对乙说：“哦，那我也能确定了！”‎ 根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是(　　)‎ A．4排8号 B．3排1号 ‎ C．1排4号 D．1排5号 ‎【解析】选B.‎ 甲不能确定故排除2排4号，甲肯定乙一定不能确定，所以丙拿到的排数必然不是乙能直接确定的4排2号所在的排数，故排除4排；然后乙说那么他能确定了，由于5号对应两个位置，而4号，1号，8号对应的位置唯一确定，所以必是三个中的一个；甲思考乙既然能确定，必然是上述三个，根据最后甲也确定，1排有两个可以，而3排唯一，所以是3排1号．‎ ‎3．给出命题：若a、b是正常数，且a≠b，(x，y)∈(0，＋∞)，则＋≥(当且仅当＝时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数f(x)＝＋的最小值及取最小值时的x值分别为(　　)‎ A．11＋6， B．11＋6， C．25， D．25， ‎【解析】选D.‎ 本题先从给出的命题中进行学习，获取一些基本的信息，进而利用这一信息进行作答．依题意可得f(x)＝＋＝＋≥＝25，当且仅当＝即x＝时等号成立，故选D.‎ ‎4．给出30个数：1，2，4，7，11，16，…，要计算这30个数的和，‎ 如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可分别填入(　　)‎ A．i≤30？和p＝p＋i－1‎ B．i≤31？和p＝p＋i＋1‎ C．i≤31？和p＝p＋i D．i≤30？和p＝p＋i ‎【解析】选D.‎ 由题意，本题求30个数的和，‎ 故在判断框中应填“i≤30？”，由于②处是要计算下一个加数，由规律知应填“p＝p＋i”，故选D.‎ ‎5．下图的程序框图是把k进制数a(共有n位数)化为十进制数b的程序框图，在该框图中若输入a＝2 134，k＝5，n＝4，则输出b的值为(　　)‎ A．290 B．294‎ C．266 D．274 ‎ ‎【解析】选B.‎ 由题意得，模拟执行程序框图，可得程序框图的功能．当输入a＝2 134，k＝5，n＝4时，计算并输出b＝4×50＋3×51＋1×52＋2×53＝294，故选B.‎ ‎6．面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长为ai，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi，若＝＝＝＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】选C.‎ 根据三棱锥的体积公式V＝Sh得： S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V，‎ 即S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝3V，‎ ‎∴H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.‎ ‎*7.“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动．已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a，b，c(a>b>c且a，b，c∈N*)，选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是 A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙都有可能 ‎【解析】选B.‎ 射击 击剑 游泳 马术 越野跑 总分 甲 ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎22‎ 乙 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎9‎ 丙 ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎9‎ 总分为5(a＋b＋c)＝22＋9＋9＝40，所以a＋b＋c＝8，只有两种可能5>2>1或4>3>1.显然4>3>1不符，因为即使五个第一名也不够22分．所以a＝5，b＝2，c＝1.所以由题可知，甲其余四个选项都是第一名，马术第二名，记2分，总共22分．‎ 由于丙马术第三名，记1分，所以其余四项均第二名，记2分，共9分．‎ 乙马术第一名，记5分，其余四项均第三名，记1分，共9分．所以选B.‎ B组　能力提升 ‎8．执行如图所示的程序框图，若输出的y值满足y≤，则输入的x值的取值范围是____________．‎ ‎【解析】∪.‎ 由程序框图可知对应的函数为y＝ 当x≤0时，y＝2x，‎ 令y≤，即2x≤，‎ 解得x≤－1；‎ 当x>0时，y＝log2x，‎ 令y≤，‎ 即log2x≤，‎ 解得01，此时x＝4；‎ 当x＝4时，y＝1，＝3>1，此时x＝1；‎ 当x＝1时，y＝－，＝>1，此时x＝－；‎ 当x＝－时，y＝－，＝<1；故此时输出y＝－.‎ ‎10．运行如图的程序框图，若输出的y随着输入的x的增大而减小，则a的取值范围是____________．‎ ‎【解析】 由程序框图可知，当x<2时，输出y＝(a－2)x；当x≥2时，输出y＝－1.因为，输出的y随着输入的x的增大而减小，即输出的分段函数y＝为减函数，所以a－2<0且(a－2)×2≥－1，解得≤a<2，故答案为.‎ ‎*11.分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图．若记图乙中第n行白圈的个数为an，则an＝__________．‎ ‎【解析】 根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，第一行记为(1，0)，第二行记为(2，1)，第三行记为(5，4)，第四行的白圈数为2×5＋4＝14；黑圈数为5＋2×4＝13，∴第四行的“坐标”为(14，13)；第五行的“坐标”为(41，40)，各行白圈数乘以2，分别是2，4，10，28，82，即1＋1，3＋1，9＋1，27＋1，81＋1，∴可以归纳出第n行的白圈数为an＝.‎