2019届二轮复习（理）专题二第一讲三角函数的图象与性质学案

2019届二轮复习（理）专题二第一讲三角函数的图象与性质学案

‎ 第一讲　三角函数的图象与性质 年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析 ‎2018‎ Ⅰ卷 与三角函数有关的最值求法·T16‎ 高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在6～12题或第14～15题位置上，命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题.‎ Ⅱ卷 三角函数的单调性应用·T10‎ ‎2017‎ Ⅰ卷 三角函数的图象变换·T9‎ Ⅱ卷 三角函数的最值问题·T14‎ Ⅲ卷 三角函数的性质·T6‎ ‎2016‎ Ⅰ卷 三角函数的性质·T12‎ Ⅱ卷 三角函数的图象变换与性质·T7‎ Ⅲ卷 三角函数的图象变换·T14‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与变换 授课提示：对应学生用书第19页 ‎[悟通——方法结论]‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 ‎(1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．‎ ‎(2)图象变换：‎ y＝sin xy＝sin(x＋φ)‎ y＝Asin(ωx＋φ)．‎ ‎[全练——快速解答]‎ ‎1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确 的是(　　)‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ 解析：易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2，故选D.‎ 答案：D ‎2．(2018·南昌模拟)函数y＝sin的图象可以由函数y＝cos 的图象(　　)‎ A．向右平移个单位长度得到 B．向右平移个单位长度得到 C．向左平移个单位长度得到 D．向左平移个单位长度得到 解析：由y＝cos ＝sin，y＝sin＝sin，知函数y＝sin的图象可以由y＝cos 的图象向右平移个单位长度得到．‎ 答案：B ‎3．(2018·益阳、湘潭联考)若将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴的方程为(　　)‎ A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 解析：将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度，得到f＝2sin＝2sin的图象，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数g(x)＝2sin的图象．令x－＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，函数g(x)图象的一条对称轴的方程为x＝，故选D.‎ 答案：D ‎4．(2018·唐山模拟)将函数y＝cos 2x－sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为g(x)，则g(x)＝(　　)‎ A．2sin 2x B．－2sin 2x C．2cos D．2sin 解析：因为y＝cos 2x－sin 2x＝2cos，‎ 将其图象向右平移个单位长度得到 g(x)＝2cos＝2cos＝2sin 2x的图象．‎ 答案：A 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．‎ 由图象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 授课提示：对应学生用书第20页 ‎[悟通——方法结论]‎ ‎　函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的确定 利用函数图象的最高点和最低点确定A，利用周期确定ω，利用图象的某一已知点确定φ.‎ ‎[全练——快速解答]‎ ‎1．(2018·郑州模拟)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式是(　　)‎ A．f(x)＝sin(x∈R)‎ B．f(x)＝sin(x∈R)‎ C．f(x)＝sin(x∈R)‎ D．f(x)＝sin(x∈R)‎ 解析：依题意，设g(x)＝sin(ωx＋θ)，其中ω>0，|θ|<，则有T＝＝4＝π，ω＝2，g＝sin＝1，则θ＝，因此g(x)＝sin，f(x)＝g＝sin＝sin，故选A.‎ 答案：A ‎2．(2018·贵阳模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其导数f′(x)的图象如图所示，则f的值为(　　)‎ A．2 B. C．－ D．－ 解析：依题意得f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，结合函数y＝f′(x)的图象可知，T＝＝4＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A＝.因为0<φ<π，<＋φ<，且f′＝cos＝－1，所以＋φ＝π，φ＝，f(x)＝sin，f＝sin＝－×＝－，故选D.‎ 答案：D ‎3．(2018·山西八校联考)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝________.‎ 解析：由函数图象得A＝2，所以y＝2sin(ωx＋φ)，因为图象过点(0，－1)，所以sin φ＝－，因为x＝0位于图象的单调递减区间，所以φ＝2kπ－(k∈Z)，又－π<φ<0，所以φ＝－.‎ 答案：－ 用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.‎ 三角函数的性质 授课提示：对应学生用书第20页 ‎[悟通——方法结论]‎ ‎1．三角函数的单调区间 y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；‎ y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；‎ y＝tan x的单调递增区间是(k∈Z)．‎ ‎2．三角函数奇偶性判断 y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．‎ y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．‎ y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．‎ ‎3．三角函数周期性的求法 函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝.应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期为T＝.‎ ‎4．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 ‎(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)．‎ ‎(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．‎ ‎(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．‎ ‎[全练——快速解答]‎ ‎1．(2018·高考全国卷Ⅱ)若ƒ(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)‎ A. B. C. D．π 解析：ƒ(x)＝cos x－sin x＝－＝－sin，当x∈，即x－∈时，y＝sin单调递增，y＝－sin单调递减．‎ ‎∵函数ƒ(x)在[－a，a]是减函数，‎ ‎∴[－a，a]⊆，‎ ‎∴0＜a≤，∴a的最大值为.‎ 故选A.‎ 答案：A ‎2．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)‎ A. B．1‎ C. D. 解析：因为cos＝cos＝sin，所以f(x)＝sin，于是f(x)的最大值为.‎ 答案：A ‎3．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)‎ A．11 B．9‎ C．7 D．5‎ 解析：由题意得 则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝或φ＝－.‎ 又函数f(x)在(，)上单调，所以≤×，即ω≤12.‎ 若ω＝11，则φ＝－，此时f(x)＝sin，‎ f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，不满足f(x)在区间上单调；‎ 若ω＝9，则φ＝，此时f(x)＝sin，满足f(x)在区间上单调递减，故选B.‎ 答案：B ‎1．三角函数单调性的求法：‎ 求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0)的单调性的一般思路是令ωx＋φ＝z，则y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求解．‎ ‎2．三角函数的最值问题注意判断类型，尤其是可化为Asin(ωx＋φ)型的值求解时注意x的范围对ωx＋φ范围的影响．‎ ‎[练通——即学即用]‎ ‎1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)‎ A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在单调递减 解析：根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；‎ 当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；‎ f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；‎ 函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．‎ 答案：D ‎2．(2018·太原模拟)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：易得f(x)＝2sin，设t＝ωx－，因为00，所以应向左平移，故选A.‎ 答案：A ‎3．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在上的最小值是(　　)‎ A．1　　　 B. C．1＋ D. 解析：f(x)＝sin2x＋sin xcos x＝－cos 2x＋sin 2x＝sin＋，因为≤x≤，所以≤2x－≤，所以当2x－＝，即x＝时，函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x取得最小值，且最小值为＋＝1.‎ 答案：A ‎4．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x)＝的最小正周期为(　　)‎ A. B. C．π D．2π 解析：由已知得ƒ(x)＝＝＝＝sin x·cos x＝sin 2x，所以ƒ(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ 故选C.‎ 答案：C ‎5．(2018·贵阳模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则φ的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：由题意，得＝＋＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又f＝sin＝0，－<φ<，所以φ＝，故选B.‎ 答案：B ‎6．(2018·湘中名校高三联考)已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)‎ A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 解析：由f(α)＝－，f(β)＝，|α－β|的最小值为，知＝，即T＝3π＝，所以ω＝，‎ 所以f(x)＝sin＋，‎ 由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，‎ 得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ(k∈Z)，故选B.‎ 答案：B ‎7．(2018·郑州质检)已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则(＋)·(－)的值为(　　)‎ A．－1 B．－ C． D．2‎ 解析：(＋)·(－)＝(＋)·＝2·＝2||2，显然||的长度为半个周期，周期T＝＝2，∴||＝1，所求值为2.‎ 答案：D ‎8．(2018·成都模拟)设函数f(x)＝sin，若x1x2<0，且f(x1)＋f(x2)＝0，则|x2－x1|的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：f(x1)＋f(x2)＝0⇔f(x1)＝－f(x2)，|x2－x1|可视为直线y＝m与函数y＝f(x)、函数y＝－f(x)的图象的交点的横坐标的距离，作出函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象如图所示，设A，B 分别为直线y＝m与函数y＝f(x)、函数y＝－f(x)的图象的两个相邻交点，‎ 因为x1x2<0，且当直线y＝m过y＝f(x)的图象与y轴的交点时，直线为y＝，|AB|＝，所以当直线y＝m向上移动时，线段AB的长度会增加，当直线y＝m向下移动时，线段AB的长度也会增加，所以|x2－x1|>.‎ 答案：B ‎9．已知函数f(x)＝sin(x＋φ)－2cos(x＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x＝π对称，则cos 2φ＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：由题意可得f(x)＝sin(x＋φ－γ)，其中sin γ＝，cos γ＝.当x＝π时，由π＋φ－γ＝kπ＋，得2φ＝2kπ－π＋2γ，则cos 2φ＝cos(2kπ－π＋2γ)＝－cos 2γ＝sin2γ－cos2γ＝.故选A.‎ 答案：A ‎10．(2018·广西三市联考)已知x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在上的最小值为(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．－ D．－ 解析：∵x＝是f(x)＝2sin图象的一条对称轴，‎ ‎∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，‎ 即φ＝＋kπ(k∈Z)．‎ ‎∵0<φ<π，∴φ＝，则f(x)＝2sin，‎ ‎∴g(x)＝2sin＝2sin.‎ 又∵－≤x≤，∴≤2x＋≤，‎ ‎∴－1≤2sin≤2.‎ ‎∴g(x)在上的最小值为－1.‎ 答案：B ‎11．已知函数f(x)＝1＋2cos x cos(x＋3φ)是偶函数，其中φ∈，则下列关于函数g(x)＝cos(2x－φ)的正确描述是(　　)‎ A．g(x)在区间上的最小值为－1‎ B．g(x)的图象可由函数f(x)的图象向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度得到 C．g(x)的图象的一个对称中心是 D．g(x)的一个单调递减区间是 解析：∵函数f(x)＝1＋2cos xcos(x＋3φ)是偶函数，y＝1，y＝2cos x都是偶函数，∴y＝cos(x＋3φ)是偶函数，∴3φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝，k∈Z，又0<φ<，∴φ＝，∴g(x)＝cos.当－≤x≤时，－≤2x－≤，cos∈[0,1]，故A错误；f(x)＝1＋2cos xcos(x＋π)＝1－2cos2x＝－cos 2x，显然B错误；当x＝－时，g(x)＝cos＝0，故C正确；当0≤x≤时，－≤2x－≤，g(x)＝cos有增有减，故D错误．故选C.‎ 答案：C ‎12．(2018·肇庆一模)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝，n＝，点P在y＝cos x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)在区间 上的最大值是(　　)‎ A．2 B．2 C．2 D．4‎ 解析：由题意，设点P的坐标为(x0，cos x0)，点Q的坐标为(x，y)，‎ 则＝m⊗＋n＝‎ ⊗(x0，cos x0)＋⇒(x，y)＝⇒ 即⇒y＝4cos，‎ 当x∈时，0≤2x－≤⇒≤cos≤1⇒2≤4cos≤4，所以函数y＝f(x)在区间上的最大值是4.‎ 答案：D 二、填空题 ‎13.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，已知图象经过点A(0,1)，B，则f(x)＝________.‎ 解析：由已知得＝，∴T＝，又T＝，∴ω＝3.‎ ‎∵sin φ＝，0<φ<，∴φ＝.‎ ‎∴函数f(x)＝2sin.‎ 答案：2sin ‎14．(2018·沈阳质检)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f的值为________．‎ 解析：由图象可知A＝2，T＝－＝，∴T＝π，‎ ‎∴ω＝2，∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，‎ ‎∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ ‎∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ ‎∵0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，‎ ‎ 则f＝2sin＝2cos ＝.‎ 答案： ‎15．若存在实数φ，使得圆面x2＋y2≤4恰好覆盖函数y＝sin图象的最高或最低点共三个，则正数k的取值范围是________．‎ 解析：函数y＝sin的图象的最高点或最低点一定在直线y＝±1上，由解得－≤x≤，‎ 由题意可得：T＝＝2k，T≤2＜2T，解得正数k的取值范围是.‎ 答案： ‎16．(2018·武汉调研)若函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称轴完全相同，则φ＝________.‎ 解析：因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即＝，所以ω＝2，故函数f(x)＝2sin.‎ 令2x＋＝kπ＋，k∈Z，‎ 则x＝＋，k∈Z，‎ 故函数f(x)的图象的对称轴为x＝＋，k∈Z.‎ 令2x＋φ＝mπ，m∈Z，‎ 则x＝－，m∈Z，‎ 故函数g(x)的图象的对称轴为x＝－，m∈Z，‎ 故＋－＋＝，n∈Z，‎ 即φ＝(m＋n－k)π－，‎ 又|φ|<，所以φ＝－.‎ 答案：－ 三、解答题 ‎17．(2018·合肥模拟)已知函数f(x)＝4sin3xcos x－2sin xcos x－cos 4x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ 解析：f(x)＝2sin xcos x(2sin2x－1)－cos 4x ‎＝－sin 2xcos 2x－cos 4x ‎＝－sin 4x－cos 4x ‎＝－sin.‎ ‎(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝.‎ 令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，即＋≤x≤＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)因为0≤x≤，所以≤4x＋≤.‎ 此时－≤sin≤1，所以－≤－sin≤，‎ 即－≤f(x)≤.‎ 所以f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－.‎ ‎18．(2018·汕头模拟)已知函数f(x)＝cos2ωxcos φ＋sin ωxcos ωxsin φ－sin(ω ‎>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．‎ ‎(1)求ω，φ的值；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)图象上的各点向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在上的最值及取最值时对应的x的值．‎ 解析：(1)由题意得，f(x)＝cos φ＋sin 2ωxsin φ－cos φ＝cos 2ωxcos φ＋sin 2ωxsin φ＝＝cos(2ωx－φ)．‎ 又函数f(x)的最小正周期为π，所以＝π ，所以ω＝1，‎ 故f(x)＝cos(2x－φ)，又x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴，故2×－φ＝kπ(k∈Z)，‎ 因为0<φ<π，所以φ＝.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝cos，将函数y＝f(x)图象上的各点向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，‎ 故g(x)＝cos.‎ 因为x∈，所以2x－∈，因此当2x－＝0，即x＝时，g(x)max＝；当2x－＝，即x＝时，g(x)min＝－.‎ ‎19．(2018·胶州模拟)已知函数f(x)＝cos(2π－x) ·sin.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(C)＝－，c＝，求△ABC的周长的取值范围．‎ 解析：f(x)＝cos(2π－x)sin＝cos x＝cos2 x－sin 2x＝－sin 2x＝cos＋.‎ ‎(1)f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ 由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，‎ 所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z.‎ ‎(2)由f(C)＝－，可得cos＝－1，由0，所以

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