【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案
第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考试说明 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;
2.理解全称量词与存在量词的意义;
3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.
考情分析
考点
考查方向
考例
考查热度
逻辑联结词
含逻辑联结词的
命题的真假判断
★☆☆
全称命题
和特称命题
全称命题、特称
命题的真假判断
2014
全国卷Ⅰ9
★★☆
命题的否定
含一个量词的
命题的否定
2015
全国卷Ⅰ3
★★☆
真题再现
■ [2017-2013 课标全国真题再现
[2015·全国卷Ⅰ 设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为 ( )
A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n
C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n
[解析 C 特称命题的否定是全称命题,故选C.
■ [2017-2016 其他省份类似高考真题
1.[2017·山东卷 已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧q B.p∧q
C.p∧q D.p∧q
[解析 B 因为x>0时,x+1>1,所以ln(x+1)>0,所以p为真命题.若a>b,可取a=1,b=-2,此时a2
0”是假命题,∴命题“∃x0∈R,a+4x0+1≤0”是真命题,∴a≤0或解得a≤0或00,函数f(x)=(ln x)2+ln x-a有零点,D为真命题.综上可知选B.
变式题 C [解析 f'(x)=ex-1,由f'(x)>0得x>0,由f'(x)<0得x<0,故当x=0时,函数f(x)取得极小值,同时也是最小值,f(0)=e0-0=1-0=1>0,∴∀x∈R,f(x)>0成立,即p是真命题.g(x)=ln x+x+1在(0,+∞)上为增函数,当x→0时,g(x)<0,g(1)=0+1+1=2>0,则∃x0∈(0,+∞),g(x0)=0成立,即命题q是真命题.p:∃x0∈R,f(x0)≤0,q:∀x∈(0,+∞),g(x)≠0.综上,只有选项C正确.
例3 [思路点拨 (1)由命题p为真命题,知存在x0∈1, 使对数式的真数大于0成立,然后采用分离变量的办法把t分离出来,求出分离变量后的函数的值域,则t的范围即可求;(2) p且q为真命题,所以p与q都为真命题,列出不等式(组)求出a满足的条件.
(1)t>- (2)(1,2 [解析 (1)若p为假命题,则p为真命题.不等式tx2+2x-2>0有属于1, 的解,即t>-有属于1, 的解,又1-.
(2)命题p为真时,函数f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点,则f(0)·f(1)=-(2a-2)<0,解得a>1;命题q为真时,函数y=x2-a在(0,+∞)上是减函数,则2-a<0,解得a>2.∴q为真时,a∈(-∞,2 .∵p且q为真命题,∴p与q都为真命题,∴解得10;
③∀x1,x2∈(0,1),有f≤;
④∀x∈(-1,1),|f(x)|≥2|x|.
其中所有真命题的序号是 ( )
A.①② B.③④
C.①②③ D.①②③④
[解析 D 对于①,∵f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),且其定义域为(-1,1),∴f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-[ln(1+x)-ln(1-x) =-f(x),即∀x∈(-1,1),有f(-x)=-f(x),故①是真命题;对于②,∵x∈(-1,1),由f'(x)=+=≥2>0,可知f(x)在区间(-1,1)上单调递增,即∀x1,x2∈(-1,1)且x1≠x2,有>0,故②是真命题;对于③,∵f'(x)=在(0,1)上单调递增,∴∀x1,x2∈(0,1),有f≤,故③是真命题;对于④,设g(x)=f(x)-2x,则当x∈(0,1)时,g'(x)=f'(x)-2≥0,∴g(x)在(0,1)上单调递增,∴当x∈(0,1)时,g(x)>g(0),即f(x)>2x,由奇函数性质可知,∀x∈(-1,1),|f(x)|≥2|x|,故④是真命题.故选D.