- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
【数学】2021届一轮复习人教A版直线与圆(含答案)
解析几何(1)—直线与圆 典例分析 例1.(1)已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,则圆C的 方程为________. (2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为________. 例2.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求 的最大值和最小值; (2)求y-x的最大值和最小值; (3)求x2+y2的最大值和最小值. 例3.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点. (1)求M的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积. 例4.已知点A(﹣3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|. (1)若点P的轨迹为曲线C,求曲线C的方程; (2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M, 当|QM|取最小值时,求直线QM的方程. 例5.已知圆直线过定点. (1)若与圆相切,求直线的方程; (2) 若与圆相交于两点,线段的中点为,又与的交点为 ,判断是否为定值,若是,求出其定值,若不是,请说明理由 课后作业 1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,-2)∪ B. C.(-2,0) D. 2.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为 ( ) A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0 3.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是 ( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 4.圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线 所在直线的斜率为 ( ) A.-或- B.-或- C.-或- D.-或- 6.直线y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则的取值范围是( ) A.(,2) B.(,3) C. D. 7.若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则+的 最小值为 ( ) A.1 B.5 C.4 D.3+2 8.已知点M(1,0)是圆C:x2+y2-4x-2y=0内的一点,那么过点M的最短弦所在直线的方程是______;最长弦所在直线的方程为______. 9.若圆C与圆x2+y2+2x=0关于直线x+y-1=0对称,则圆心C的坐标为________;圆C的一般方程是________. 10.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2+|PA|2,其中A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为________. 11过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则线段PQ的 长为________. 12.已知直线:,直线:,圆:. 若上任意一点到两直线,的距离之和为定值,则实数_______. 13.已知圆,直线,为直线上一动点,为坐标原点. (1)若直线交圆于两点,且,求实数的值; (2)若,过点做圆的切线,切点为,求的最小值. . 14.已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方. (1)求圆C的方程; (2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 解析几何(1)—直线与圆答案 典例分析 例1.(1)已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,则圆C的 方程为________. x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0 (2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为________.(x-2)2+y2=9 例2.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求 的最大值和最小值; 最大值为,最小值为- (2)求y-x的最大值和最小值; 最大值为-2+,最小值为-2- (3)求x2+y2的最大值和最小值. x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4 例3.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点. (1)求M的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积. 解 (1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4. 设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y). 由题设知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM. 因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-, 故l的方程为x+3y-8=0. 又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为, 所以|PM|=,S△POM=××=,故△POM的面积为. 例4.已知点A(﹣3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|. (1)若点P的轨迹为曲线C,求曲线C的方程; (2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M, 当|QM|取最小值时,求直线QM的方程. 解:(1)设P点的坐标为(x,y),… 因为两定点A(﹣3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|, 所以(x+3)2+y2=4[(x﹣3)2+y2],… 即(x﹣5)2+y2=16. 所以此曲线的方程为(x﹣5)2+y2=16.… (2)因为(x﹣5)2+y2=16的圆心坐标为C(5,0),半径为4, 则圆心M到直线l1的距离为,… 因为点Q在直线l1:x+y+3=0上,过点Q的直线l2与曲线C:(x﹣5)2+y2=16只有一个公共点M,所以QM|的最小值为.… 直线CQ的方程为x﹣y﹣5=0, 联立直线l1:x+y+3=0,可得Q(1,﹣4),… 设切线方程为y+4=k(x﹣1),即kx﹣y﹣k﹣4=0,… 故圆心到直线的距离,得k=0,切线方程为y=﹣4;… 当切线斜率不存在时,切线方程为x=1,… 因此直线QM的方程x=1或y=﹣4.… 例5.已知圆直线过定点. (1)若与圆相切,求直线的方程; (2) 若与圆相交于两点,线段的中点为,又与的交点为 ,判断是否为定值,若是,求出其定值,若不是,请说明理由 (1)3x-4y-3=0或x=1 (2), =6. 课后作业 1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则实数a的取值范围是 ( D ) A.(-∞,-2)∪ B. C.(-2,0) D. 2.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为 ( B ) A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0 3.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是 ( B ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 4.圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有 ( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线 所在直线的斜率为 ( D ) A.-或- B.-或- C.-或- D.-或- 6.直线y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则的取值范围是( D ) A.(,2) B.(,3) C. D. 7.若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则+的 最小值为 ( D ) A.1 B.5 C.4 D.3+2 8.已知点M(1,0)是圆C:x2+y2-4x-2y=0内的一点,那么过点M的最短弦所在直线的方程是______;最长弦所在直线的方程为______. x+y-1=0 x-y-1=0 9.若圆C与圆x2+y2+2x=0关于直线x+y-1=0对称,则圆心C的坐标为________;圆C的一般方程是________.(1,2) x2+y2-2x-4y+4=0 10.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2+|PA|2,其中A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为________.74 11过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则线段PQ的 长为________.4 12.已知直线:,直线:,圆:. 若上任意一点到两直线,的距离之和为定值,则实数_______. 13.已知圆,直线,为直线上一动点,为坐标原点. (1)若直线交圆于两点,且,求实数的值; (2)若,过点做圆的切线,切点为,求的最小值. .解:(Ⅰ)∵,∴圆心到直线的距离为1,,∴. (Ⅱ)∵, ∴求的最小值相当于求的最小值. ∴的最小值为. 14.已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方. (1)求圆C的方程; (2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 解 (1)设圆心C(a,0),则=2⇒a=0或a=-5(舍). 所以圆C的方程为x2+y2=4. (2)当直线AB⊥x轴时,x轴平分∠ANB. 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0, 所以x1+x2=,x1x2=. 若x轴平分∠ANB,则kAN=-kBN⇒+=0⇒+=0⇒2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0⇒-+2t=0⇒t=4,所以当点N为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM总成立.查看更多