【数学】2021届一轮复习人教A版直线与圆(含答案)

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【数学】2021届一轮复习人教A版直线与圆(含答案)

解析几何(1)—直线与圆 ‎ ‎ 典例分析 例1.(1)已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,则圆C的 方程为________. ‎ ‎(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为________.‎ 例2.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.‎ ‎(1)求 的最大值和最小值; ‎ ‎(2)求y-x的最大值和最小值; ‎ ‎(3)求x2+y2的最大值和最小值.‎ 例3.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.‎ ‎(1)求M的轨迹方程;‎ ‎(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.‎ 例4.已知点A(﹣3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.‎ ‎(1)若点P的轨迹为曲线C,求曲线C的方程;‎ ‎(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M,‎ 当|QM|取最小值时,求直线QM的方程.‎ 例5.已知圆直线过定点.‎ ‎ (1)若与圆相切,求直线的方程;‎ ‎ (2) 若与圆相交于两点,线段的中点为,又与的交点为 ‎ ,判断是否为定值,若是,求出其定值,若不是,请说明理由 ‎ 课后作业 ‎ ‎1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则实数a的取值范围是 (   )‎ A.(-∞,-2)∪ B. C.(-2,0) D. ‎2.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为 (   )‎ A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0‎ ‎3.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是 (   )‎ A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 ‎4.圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有 (   )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎5.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线 所在直线的斜率为 (   )‎ A.-或- B.-或- C.-或- D.-或- ‎6.直线y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则的取值范围是(  )‎ A.(,2) B.(,3) C. D. ‎7.若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则+的 最小值为 (   )‎ A.1 B.5 C.4 D.3+2 ‎8.已知点M(1,0)是圆C:x2+y2-4x-2y=0内的一点,那么过点M的最短弦所在直线的方程是______;最长弦所在直线的方程为______. ‎ ‎9.若圆C与圆x2+y2+2x=0关于直线x+y-1=0对称,则圆心C的坐标为________;圆C的一般方程是________.‎ ‎10.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2+|PA|2,其中A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为________.‎ ‎11过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则线段PQ的 长为________.‎ ‎12.已知直线:,直线:,圆:. ‎ 若上任意一点到两直线,的距离之和为定值,则实数_______. ‎ ‎13.已知圆,直线,为直线上一动点,为坐标原点.‎ ‎(1)若直线交圆于两点,且,求实数的值;‎ ‎(2)若,过点做圆的切线,切点为,求的最小值.‎ ‎.‎ ‎14.已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.‎ ‎(1)求圆C的方程;‎ ‎(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解析几何(1)—直线与圆答案 典例分析 例1.(1)已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,则圆C的 方程为________. x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0‎ ‎(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为________.(x-2)2+y2=9‎ 例2.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.‎ ‎(1)求 的最大值和最小值; 最大值为,最小值为- ‎(2)求y-x的最大值和最小值; 最大值为-2+,最小值为-2- ‎(3)求x2+y2的最大值和最小值.‎ ‎ x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4 例3.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.‎ ‎(1)求M的轨迹方程;‎ ‎(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.‎ 解 (1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.‎ 设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).‎ 由题设知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,‎ 即(x-1)2+(y-3)2=2.‎ 由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.‎ ‎(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.‎ 因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,‎ 故l的方程为x+3y-8=0.‎ 又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,‎ 所以|PM|=,S△POM=××=,故△POM的面积为.‎ 例4.已知点A(﹣3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.‎ ‎(1)若点P的轨迹为曲线C,求曲线C的方程;‎ ‎(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M,‎ 当|QM|取最小值时,求直线QM的方程.‎ 解:(1)设P点的坐标为(x,y),…‎ 因为两定点A(﹣3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|,‎ 所以(x+3)2+y2=4[(x﹣3)2+y2],…‎ 即(x﹣5)2+y2=16.‎ 所以此曲线的方程为(x﹣5)2+y2=16.…‎ ‎(2)因为(x﹣5)2+y2=16的圆心坐标为C(5,0),半径为4,‎ 则圆心M到直线l1的距离为,…‎ 因为点Q在直线l1:x+y+3=0上,过点Q的直线l2与曲线C:(x﹣5)2+y2=16只有一个公共点M,所以QM|的最小值为.…‎ 直线CQ的方程为x﹣y﹣5=0,‎ 联立直线l1:x+y+3=0,可得Q(1,﹣4),…‎ 设切线方程为y+4=k(x﹣1),即kx﹣y﹣k﹣4=0,…‎ 故圆心到直线的距离,得k=0,切线方程为y=﹣4;…‎ 当切线斜率不存在时,切线方程为x=1,…‎ 因此直线QM的方程x=1或y=﹣4.…‎ 例5.已知圆直线过定点.‎ ‎ (1)若与圆相切,求直线的方程;‎ ‎ (2) 若与圆相交于两点,线段的中点为,又与的交点为 ‎ ,判断是否为定值,若是,求出其定值,若不是,请说明理由 ‎ ‎(1)3x-4y-3=0或x=1‎ ‎(2), =6.‎ 课后作业 ‎ ‎1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则实数a的取值范围是 ( D  )‎ A.(-∞,-2)∪ B. C.(-2,0) D. ‎2.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为 ( B  )‎ A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0‎ ‎3.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是 ( B  )‎ A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 ‎4.圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有 ( C  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎5.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线 所在直线的斜率为 (  D )‎ A.-或- B.-或- C.-或- D.-或- ‎6.直线y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则的取值范围是( D )‎ A.(,2) B.(,3) C. D. ‎7.若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则+的 最小值为 ( D  )‎ A.1 B.5 C.4 D.3+2 ‎8.已知点M(1,0)是圆C:x2+y2-4x-2y=0内的一点,那么过点M的最短弦所在直线的方程是______;最长弦所在直线的方程为______. x+y-1=0 x-y-1=0‎ ‎9.若圆C与圆x2+y2+2x=0关于直线x+y-1=0对称,则圆心C的坐标为________;圆C的一般方程是________.(1,2) x2+y2-2x-4y+4=0‎ ‎10.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2+|PA|2,其中A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为________.74‎ ‎11过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则线段PQ的 长为________.4‎ ‎12.已知直线:,直线:,圆:. ‎ 若上任意一点到两直线,的距离之和为定值,则实数_______. ‎ ‎13.已知圆,直线,为直线上一动点,为坐标原点.‎ ‎(1)若直线交圆于两点,且,求实数的值;‎ ‎(2)若,过点做圆的切线,切点为,求的最小值.‎ ‎.解:(Ⅰ)∵,∴圆心到直线的距离为1,,∴.‎ ‎(Ⅱ)∵,‎ ‎∴求的最小值相当于求的最小值.‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎14.已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.‎ ‎(1)求圆C的方程;‎ ‎(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解 (1)设圆心C(a,0),则=2⇒a=0或a=-5(舍).‎ 所以圆C的方程为x2+y2=4.‎ ‎(2)当直线AB⊥x轴时,x轴平分∠ANB.‎ 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0,‎ 所以x1+x2=,x1x2=.‎ 若x轴平分∠ANB,则kAN=-kBN⇒+=0⇒+=0⇒2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0⇒-+2t=0⇒t=4,所以当点N为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM总成立.‎
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