【数学】2018届一轮复习人教A版直线及其方程学案
专题45直线及其方程
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．
(2)直线的斜率
①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α；
②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．
2．直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
所有直线
3.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
高频考点一 直线的倾斜角与斜率
例1、(1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.
解析 (1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
因为α∈，所以≤cos α≤，
因此k＝2·cos α∈[1，].
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，].
又θ∈[0，π)，所以θ∈，
即倾斜角的取值范围是.
(2)如图，∵kAP＝＝1，
kBP＝＝－，
∴直线l的斜率k∈(－∞，－]∪[1，＋∞).
答案 (1)B (2)(－∞，－]∪[1，＋∞)
【方法规律】(1)①任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R.
②正切函数在[0，π)不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围.
(2)第(2)问求解要注意两点：①斜率公式的正确计算；②数形结合写出斜率的范围，
切莫错误想当然认为－≤k≤1.
【变式探究】 (1)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k的取值范围是( )
A.－1
或k<－1 D.k>或k<－1
(2)直线l经过点A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________.
高频考点二 求直线的方程
例2、根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.
解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.
设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α<π)，
从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.
故所求直线方程为y＝±(x＋4).
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋＝1，
又直线过点(－3，4)，
从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；
当斜率存在时，设其为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋10－5k＝0.
由点线距离公式，得＝5，解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
【方法规律】根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性.
【举一反三】 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α.
∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.
又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3).
所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
高频考点三 直线方程的综合应用
例3、已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求
△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
解 方法一 设直线方程为＋＝1 (a>0，b>0)，
点P(3,2)代入得＋＝1≥2 ，得ab≥24，
从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.
方法二 依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.
则直线l的方程为y－2＝k(x－3) (k<0)，
且有A，B(0,2－3k)，
∴S△ABO＝(2－3k)
＝
≥
＝×(12＋12)＝12.
当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．
即△ABO的面积的最小值为12.
故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.
【变式探究】已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．
解 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，当a＝时，面积最小．
【感悟提升】与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)
求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
【变式探究】(1)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是．
(2)(2015·安徽)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为．
答案 (1)5 (2)－
(2)∵|x－a|≥0恒成立，∴要使y＝2a与y＝|x－a|－1只有一个交点，必有2a＝－1，解得a＝－.
1.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )
（A） （B） （C） （D）1
【答案】C
【解析】设（不妨设），则
，故选C.
1.【2015高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或
【答案】D
【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 ，设反射光线所在直线的斜率为 ，则反身光线所在直线方程为： ，即：.
又因为光线与圆相切， 所以， ,
整理： ，解得： ，或 ,故选D．
1．（2014·湖北卷）设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b)，例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得Mf(a，b)＝c＝，即Mf(a，b)为a，b的算术平均数．
(1)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数；
(2)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数.
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
【答案】(1) (2)x(或填(1)k1；(2)k2x，其中k1，k2为正常数)
【解析】设A(a，f(a))，B(b，－ f(b))，C(c，0)，则此三点共线：
(1)依题意，c＝，则＝，
即＝.
因为a>0，b>0，所以化简得＝，故可以选择f(x)＝(x>0)；
(2)依题意，c＝，则＝，因为a>0，b>0，所以化简得＝，故可以选择f(x)＝x(x>0)．
2．（2014·江西卷）如图17所示，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．
图17
(1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．
(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝(y0≠0)．
因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x＝的交点为N，，
则＝＝＝
·.
又P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，
代入上式得＝·＝·＝，所以＝＝，为定值．
3．（2014·四川卷）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；
②当最小时，求点T的坐标．
【解析】解：(1)由已知可得
解得a2＝6，b2＝2，
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，
则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
设P(x1，y1)，Q(x2， y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.
设M为PQ的中点，则M点的坐标为.
所以直线OM的斜率kOM＝－，
又直线OT的斜率kOT＝－，
所以点M在直线OT上，
因此OT平分线段PQ.
②由①可得，
|TF|＝，
|PQ|＝
＝
＝
＝.
所以＝＝
≥＝.
当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．
故当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．
1.直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析 直线的斜率为k＝tan α＝，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°.
答案 B
2.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是( )
A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0
C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0
解析 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.
答案 D
3.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.∪
解析 ∵直线的斜率k＝－，∴－1≤k＜0，则倾斜角的范围是.
答案 B
4.经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是( )
A.6x－4y－3＝0 B.3x－2y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0
5.若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B.－ C.－ D.
解析 依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得
a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.
答案 B
6.在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
解析 当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合.
答案 B
7.已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A.y＝x＋2 B.y＝x－2
C.y＝x＋ D.y＝－x＋2
解析 ∵直线x－2y－4＝0的斜率为，
∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝x＋2，故选A.
答案 A
8.若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为( )
A.1 B.2 C. 4 D.8
解析 ∵直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，
∴a＋b＝ab，即＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b＝2时上式等号成立.
∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.
答案 C
9.已知三角形的三个顶点A(－5，0，)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________.
解析 BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.
答案 x＋13y＋5＝0
10.若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是________.
11.过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.
解析 ①若直线过原点，则k＝－，
所以y＝－x，即4x＋3y＝0.
②若直线不过原点，设直线方程为＋＝1，
即x＋y＝a.则a＝3＋(－4)＝－1，
所以直线的方程为x＋y＋1＝0.
答案 4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
12.直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________.
解析 直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，
由解得x＝2，y＝－2，
所以直线l恒过定点(2，－2).
答案 (2，－2)
13.已知直线l过坐标原点，若直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
解析 设直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)的公共点为P(x，y).
则点P(x，y)在线段AB上移动，且A(2，4)，B(3，2)，
设直线l的斜率为k.
又kOA＝2，kOB＝.
如图所示，可知≤k≤2.
∴直线l的斜率的取值范围是.
答案
14.在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是________.
