【数学】2020届数学文一轮复习第七章第4讲基本不等式作业
1．当x>0时，函数f(x)＝有( )
A．最小值1 B.最大值1
C．最小值2 D．最大值2
解析：选B.f(x)＝≤＝1.
当且仅当x＝，x>0即x＝1时取等号．所以f(x)有最大值1.
2．下列不等式一定成立的是( )
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
解析：选C.对选项A，当x>0时，x2＋－x＝≥0，所以lg≥lg x；
对选项B，当sin x<0时显然不成立；
对选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；
对选项D，因为x2＋1≥1，
所以0<≤1.故选C.
3．若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则( )
A．R
b>1，所以lg a>lg b>0，(lg a＋lg b)>，即Q>P.因为>，所以lg>lg＝(lg a＋lg b)＝Q，
所以R>Q，所以P0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．
解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，
所以＋＝
＝＋＋≥＋2＝.
当且仅当a＝2b＝时取等号．
答案：
7．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝________．
解析：y＝x－4＋＝x＋1＋－5，
因为x>－1，所以x＋1>0，>0.
所以由基本不等式，
得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，
当且仅当x＋1＝，
即(x＋1)2＝9，即x＋1＝3，x＝2时取等号，
所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
答案：3
8．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是________．
解析：因为2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时等号成立)，所以≤，所以2x＋y≤，得x＋y≤－2.
答案：(－∞，－2]
9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设00，
所以＋≥2＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，
故函数的最大值为－.
(2)因为00，
所以y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，所以当x＝1时，函数y＝的最大值为.
10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，
得＋＝1，
又x>0，y>0，
则1＝＋≥2 ＝.
得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
1．已知直线ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，则ab的最大值是( )
A．9 B.
C．4 D．
解析：选B.将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r＝，故直线过圆心，即a＋2b＝6，所以a＋2b＝6≥2，可得ab≤，当且仅当a＝2b＝3时等号成立，即ab的最大值是，故选B.
2．若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是( )
A．1 B.
C．9 D．16
解析：选B.＋
＝·
＝
≥
＝，
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故选B.
3．设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．
解析：设＝m，＝n，则m，n均大于零，
因为m2＋n2≥2mn，
所以2(m2＋n2)≥(m＋n)2，
所以m＋n≤·，
所以＋
≤·
＝3，
当且仅当＝，
即a＝，b＝时“＝”成立，
所以所求最大值为3.
答案：3
4．设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by(a>1，b>2)的最大值为5，则＋的最小值为________．
解析：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A(1，1)．
由z＝ax＋by(a>1，b>2)，得y＝－x＋，
由图可知，zmax＝a＋b＝5.
可得a－1＋b－2＝2.
所以＋＝(a－1＋b－2)＝
≥＝.
当且仅当b＝2a时等号成立，并且a＋b＝5，a>1，b>2即a＝，b＝时上式等号成立．
所以＋的最小值为.
答案：
5．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)＋的最小值．
解：(1)因为x>0，y>0，
所以由基本不等式，得2x＋5y≥2.
因为2x＋5y＝20，
所以2≤20，xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有解得
此时xy有最大值10.
所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
所以当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)因为x>0，y>0，
所以＋＝·
＝≥
＝.
当且仅当＝时，等号成立．
由解得
所以＋的最小值为.
6．某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．
(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？
(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？
解：(1)设第n年获取利润为y万元．
n年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n年付出的装修费之和为n×1＋×2＝n2，又投资81万元，n年共收入租金30n万元，
所以利润y＝30n－n2－81(n∈N*)．
令y＞0，即30n－n2－81＞0，
所以n2－30n＋81＜0，
解得3＜n＜27(n∈N*)，所以从第4年开始获取纯利润．
(2)方案①：年平均利润t＝＝30－－n＝30－≤30－2＝12(当且仅当＝n，即n＝9时取等号)，
所以年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．
方案②：纯利润总和y＝30n－n2－81＝－(n－15)2＋144(n∈N*)，
当n＝15时，纯利润总和最大，为144万元，
所以纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，
两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.
