2021版高考数学一轮复习第九章立体几何第四节垂直关系课件文北师大版

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第四节　垂 直 关 系 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【 教材 · 知识梳理 】 1. 直线与直线垂直 (1) 定义 : 若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点 , 并且交角为直角 , 则 称这两条直线互相垂直 . (2) 若一条直线垂直于一个平面 , 则它就和平面内的任意一条直线垂直 . 2. 直线与平面垂直 (1) 定义 : 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直 , 那么称这条直线和 这个平面垂直 . (2) 判定定理与性质定理 : 3. 平面与平面垂直 【 知识点辨析 】 ( 正确的打 “ √ ” , 错误的打 “ × ” ) (1) 直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直 , 则 l ⊥α. ( 　　 ) (2) 若两平行线中的一条垂直于一个平面 , 则另一条也垂直于这个平面 .( 　　 ) (3) 若直线 a⊥ 平面 α, 直线 b∥α, 则直线 a 与 b 垂直 . ( 　　 ) (4) 若 α⊥β,a⊥β, 则 a∥α. ( 　　 ) (5) 若两平面垂直 , 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 .( 　　 ) (6) 如果两个平面所成的二面角为 90°, 则这两个平面垂直 . ( 　　 ) 提示 : (1) ×. 直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直 , 则 l ⊥α. (2)√. (3)√. (4)×. 若 α⊥β,a⊥β, 则 a∥α 或 a α. (5)×. 若两平面垂直 , 则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 . (6)√. 【 易错点索引 】 序号 易错警示 典题索引 1 证明线面垂直时忽视平面上的两条直线相交 考点一、 T3 考点三、角度 1 2 证明面面垂直时找错直线 考点一、 T3 3 应用面面垂直的性质定理时忽视与交线垂直 考点三、角度 2 【 教材 · 基础自测 】 1.( 必修 2P43B 组 T3 改编 ) 下列命题中不正确的是 ( 　　 ) A. 如果平面 α⊥ 平面 β, 且直线 l ∥ 平面 α, 则直线 l ⊥ 平面 β B. 如果平面 α⊥ 平面 β, 那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β C. 如果平面 α 不垂直于平面 β, 那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β D. 如果平面 α⊥ 平面 γ, 平面 β⊥ 平面 γ,α∩β= l , 那么 l ⊥γ 【 解析 】 选 A. 根据面面垂直的性质 , 知 A 不正确 , 直线 l 可能平行于平面 β, 也可能 在平面 β 内或与平面 β 相交 . 2.( 必修 2 P38 例 1 改编 ) 如图 , 在三棱锥 V-ABC 中 ,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°, 则构 成三棱锥的四个三角 形中直角三角形的个数为 　　　　 .  所以有 4 个直角三角形 . 答案 : 4 3.( 必修 2 P42T6 改编 ) 如图 , 已知平面 α,β, 且 α∩β=AB,PC⊥α,PD⊥β,C,D 是 垂足 . 那么直线 AB 与平面 PCD 的位置关系为 　　　　 , 若 PC=PD=1,CD= , 则平面 α 与平面 β 的位置关系为 　　　　 .  【 解析 】 因为 PC⊥α,AB α, 所以 PC⊥AB. 同理 PD⊥AB. 又 PC∩PD=P, 故 AB⊥ 平 面 PCD. 设 AB 与平面 PCD 的交点为 H, 连接 CH,DH. 因为 AB⊥ 平面 PCD, 所以 AB⊥CH, AB⊥DH, 所以∠ CHD 是二面角 α-AB-β 的平面角 . 又 PC=PD=1,CD= , 所以 CD 2 = PC 2 +PD 2 =2, 即∠ CPD=90°. 在平面四边形 PCHD 中 ,∠PCH=∠PDH=∠CPD=90°, 所以 ∠ CHD=90°. 故平面 α⊥ 平面 β. 答案 : AB⊥ 平面 PCD 　平面 α⊥ 平面 β 核心素养　逻辑推理 —— 逻辑推理心路历程　  【 素养诠释 】 逻辑推理是指从一些事实和命题出发 , 依据逻辑规则推出一个命题的过程 , 主要包括两类 : 一类是从特殊到一般的推理 , 推理形式主要有归纳、类比 ; 一类是从一般到特殊的推理 . 【 典例 】 (2019· 全国卷 Ⅲ) 如图 , 点 N 为正方形 ABCD 的中心 ,△ECD 为正三角形 , 平面 ECD⊥ 平面 ABCD,M 是线段 ED 的中点 , 则 世纪金榜导学号 ( 　　 ) A.BM=EN, 且直线 BM,EN 是相交直线 B.BM≠EN, 且直线 BM,EN 是相交直线 C.BM=EN, 且直线 BM,EN 是异面直线 D.BM≠EN, 且直线 BM,EN 是异面直线 【 素养立意 】 本题要求证的结论是线段 BM 与 EN 的大小关系及位置关系 , 我们可以假定相交 , 那么需要找到它们所确定的平面 , 进而通过已知条件进行逻辑推理论证 . 【 解析 】 选 B. 连接 BD, 则点 N 在 BD 上且为 BD 中点 . 因为直线 BM,EN 都是平面 BED 内 的直线 , 且不平行 , 即直线 BM,EN 是相交直线 . 设正方形 ABCD 的边长为 2a, 则由题 意可得 :DE=2a,DM=a,DN= a,DB=2 a, 根据余弦定理可得 :BM 2 =DB 2 +DM 2 - 2DB·DMcos∠BDE=9a 2 -4 a 2 cos∠BDE,EN 2 =DE 2 +DN 2 -2DE·DNcos∠BDE=6a 2 - 4 a 2 cos∠BDE, 所以 BM≠EN.