2018届二轮复习（理）专题八 数学思想方法与高考数学文化(选用)第1讲课件（全国通用）
第
1
讲 函数与方程思想、数形结合思想
数学思想解读
1
.
函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点
，
描述两个量之间的依赖关系
，
刻画数量之间的本质特征
，
在提出数学问题时
，
抛开一些非数学特征
，
抽象出数量特征
，
建立明确的函数关系
，
并运用函数的知识和方法解决问题
.
有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系
，
列出方程
(
组
)
，
进而通过解方程
(
组
)
求得未知量
.
函数与方程思想是相互联系
，
相互为用的
.
2
.
数形结合思想
，
就是根据数与形之间的对应关系
，
通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想
.
数形结合思想的应用包括以下两个方面：
(1)
“
以形助数
”
，
把某些抽象的数学问题直观化、生动化
，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；
(
2)
“
以数定形
”
，
把直观图形数量化
，
使形更加精确
.
热点一 函数与方程思想
应用
1
求解不等式、函数零点的问题
【例
1
】
(1)
(2017·
衡阳市联考
)
设
0<
a
<1
，
e
为自然对数的底数，则
a
，
a
e
，
e
a
－
1
的大小关系为
(
)
A.e
a
－
1<
a
<
a
e
B.
a
e
<
a
m
时
，
x
2
－
2
mx
＋
4
m
＝
(
x
－
m
)
2
＋
4
m
－
m
2
.
∴
要使方程
f
(
x
)
＝
b
有三个不同的根
，
则有
4
m
－
m
2
<
m
，
即
m
2
－
3
m
>0.
又
m
>0
，
解得
m
>3.
答案
(1)(0
，
2)
(2)(3
，＋
∞
)
探究提高
1.
本题利用数形结合思想
，
将函数零点或方程的根的情况转化为两函数图象交点问题
.
2
.
探究方程解的问题应注意两点：
(1)
讨论方程的解
(
或函数的零点
)
一般可构造两个函数
，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解
.
(2)
正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键
，
数形结合应以快和准为原则
，
不要刻意去用数形结合
.
应用
2
利用数形结合思想求最值、范围
【例
5
】
(1)
记实数
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
中最小数为
min{
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
}
，则定义在区间
[0
，＋
∞
)
上的函数
f
(
x
)
＝
min{
x
2
＋
1
，
x
＋
3
，
13
－
x
}
的最大值为
(
)
A.5 B.6 C.8 D.10
(2)
已知圆
C
：
(
x
－
3)
2
＋
(
y
－
4)
2
＝
1
和两点
A
(
－
m
，
0)
，
B
(
m
，
0)(
m
>0).
若圆
C
上存在点
P
，使得
∠
APB
＝
90
°，则
m
的最大值为
(
)
A.7 B.6 C.5 D.4
解析
(1)
在同一坐标系中作出三个函数
y
＝
x
2
＋
1
，
y
＝
x
＋
3
，
y
＝
13
－
x
的图象如图：
由图可知
，
在实数集
R
上
，
min{
x
2
＋
1
，
x
＋
3
，
13
－
x
}
为
y
＝
x
＋
3
上
A
点下方的射线
，
抛物线
AB
之间的部分
，
线段
BC
，
与直线
y
＝
13
－
x
点
C
下方的部分的组合图
.
显然
，
在区间
[0
，
＋
∞
)
上
，
在
C
点时
，
y
＝
min{
x
2
＋
1
，
x
＋
3
，
13
－
x
}
取得最大值
.
所以
|
OP
|
max
＝
|
OC
|
＋
r
＝
6
，
即
m
的最大值为
6.
答案
(1)C
(2)B
探究提高
1.
第
(1)
题利用函数的图象求最值
，
避免分段函数的讨论；第
(2)
题利用几何直观
，
把
m
的值转化为圆上的点到原点的距离
.
2
.
运用数形结合思想求解最值问题
(1)
对于几何图形中的动态问题
，
应分析各个变量的变化过程
，
找出其中的相互关系求解
.
(2)
应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式
，
主要有：
①
比值
——
可考虑直线的斜率；
②
二元一次式
——
可考虑直线的截距；
③
根式分式
——
可考虑点到直线的距离；
④
根式
——
可考虑两点间的距离
.
答案
D
应用
3
数形结合求解不等式、参数问题
∵
f
(
x
)
为奇函数
，∴
g
(
x
)
为偶函数
，∴
g
(
x
)
的图象的示意图如图所示
.
当
x
>0
时
，
由
f
(
x
)>0
，
得
g
(
x
)>0
，
由图知
0<
x
<1
，
当
x
<0
时
，
由
f
(
x
)>0
，
得
g
(
x
)<0
，
由图知
x
<
－
1
，
答案
(1)A
(2)C
探究提高
1.
第
(1)
题利用了数形结合思想
，
由条件判断函数的单调性
，
再结合
f
(
－
1)
＝
0
可作出函数的图象
，
利用图象即可求出
x
的取值范围
.
2
.
求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象
，
根据不等式中量的特点
，
选择适当的两个
(
或多个
)
函数
，
利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题
，
往往可以避免烦琐的运算
，
获得简捷的解答
.
解析
(1)
由题意
，
易知
a
>1.
在同一坐标系内作出
y
＝
(
x
－
1)
2
，
x
∈
(1
，
2)
及
y
＝
log
a
x
的图象
.
答案
(1)(1
，
2]
(2)(
－
1
，
1]
1.
当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想
.
2.
借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解
(
证
)
不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解
.
3.
许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量
.
4.
在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的
.
5.
有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的
.
