2020届二轮复习（文）分类讨论思想课件（28张）

2020届二轮复习（文）分类讨论思想课件（28张）

三、分类讨论思想 总纲目录 应用一    由数学运算要求引起的分类讨论 应用二    由概念、性质、公式引起的分类讨论 应用三    由参数变化引起的分类讨论 应用四    由位置关系引起的分类讨论 应用一    由数学运算要求引起的分类讨论 例1　 (1)已知函数 f ( x )=   且 f ( a )=-3,则 f (6- a )=   (　　) A.-   　    B.-   　    C.-   　    D.-   (2)(2015山东)设函数 f ( x )=   则满足 f ( f ( a ))=2 f ( a ) 的 a 的取值范围是   (   　) A.   　    B.[0,1] C.   　    D.[1,+ ∞ ) A C 解析　 (1) A 　由于 f ( a )=-3, 若 a ≤ 1,则2 a -1 -2=-3,整理得2 a -1 =-1. 由于2 x >0,所以2 a -1 =-1无解; 若 a >1,则-log 2 ( a +1)=-3,即 a +1=8,解得 a =7, 所以 f (6- a )= f (-1)=2 -1-1 -2=-   . 综上所述, f (6- a )=-   . (2) C 　由 f ( f ( a ))=2 f ( a ) 得, f ( a ) ≥ 1. 当 a <1时,有3 a -1 ≥ 1, ∴ a ≥   ,∴   ≤ a <1. 当 a ≥ 1时,有2 a ≥ 1, ∴ a ≥ 0,∴ a ≥ 1. 综上, a ≥   ,故选C. 方法指导 由数学运算要求引起的分类讨论主要是在运算过程中,运算变量在不同取值 范围内计算形式会不同,所以要进行分类讨论. 设函数 f ( x )=   若 f ( a )<1,则实数 a 的取值范围是   (　　) A.(- ∞ ,-3)　    B.(1,+ ∞ ) C.(-3,1)　    D.(- ∞ ,-3) ∪ (1,+ ∞ ) C 答案    C 　当 a <0时,   -7<1,即   <8=   , ∴ a >-3,即-3< a <0; 当 a ≥ 0时,   <1,∴ a <1,即0 ≤ a <1. 综上可知, a 的取值范围为(-3,1). 应用二    由概念、性质、公式引起的分类讨论 例2　 (1)若函数 f ( x )= a x ( a >0,且 a ≠ 1)在区间[-1,2]上的最大值为4,最小值为 m , 且函数 g ( x )=(1-4 m )   在[0,+ ∞ )上是增函数,则 a = 　　　     . (2)已知数列{ a n }的首项 a 1 =7,且满足   则数列{ a n }的通项公式 为 　　　　　　     . 解析 　(1) 答案        解析 　若 a >1,则有 a 2 =4, a -1 = m , 此时 a =2, m =   , g ( x )=-   为减函数,不符合题意. 若0< a <1,则有 a -1 =4, a 2 = m , 此时 a =   , m =   ,经检验知符合题意. (2) 答案      a n =   解析        方法指导 “四步”解决由概念、性质、公式引起的分类讨论问题 第1步:确定需分类的目标与对象,即确定需要分类的目标.一般把需要用到的 概念、性质、公式等解决问题的对象作为分类目标. 第2步:根据概念、性质、公式确定分类标准.运用概念、性质、公式对象进 行区分. 第3步:分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目标”分别进行处理. 第4步:汇总“分目标”.将“分目标”问题进行汇总,并作进一步处理. 1 .一条直线过点(5,2),且在 x 轴, y 轴上的截距相等,则这条直线的方程为   (    　) A. x + y -7=0 B.2 x -5 y =0 C. x + y -7=0或2 x -5 y =0 D. x + y +7=0或2 y -5 x =0 C 答案    C 　设该直线在 x 轴, y 轴上的截距均为 a ,当 a =0时,直线过原点,此时直线 方程为 y =   x ,即2 x -5 y =0;当 a ≠ 0时,设直线方程为   +   =1,代入点(5,2),则求得 a =7,所以直线方程为 x + y -7=0. 2 .在等比数列{ a n }中,已知 a 3 =   , S 3 =   ,则 a 1 = 　　　     . 答案        或6 解析 　当 q =1时, a 1 = a 2 = a 3 =   , S 3 =3 a 1 =   ,显然成立; 当 q ≠ 1时,由题意,得   由①②,得   =3,即2 q 2 - q -1=0, 所以 q =-   或 q =1(舍去).所以 a 1 =   =6, 综上可知, a 1 =   或 a 1 =6. 应用三    由参数变化引起的分类讨论 例3 　已知函数 f ( x )=   x 3 -   x 2 + ax , a ∈R. (1)若 x =2是 f ( x )的极值点,求 a 的值,并讨论 f ( x )的单调性; (2)已知函数 g ( x )= f ( x )-   ax 2 +   ,若 g ( x )在区间(0,1)内有零点,求 a 的取值范围. 解析 　(1) f ( x )=   x 3 -   x 2 + ax , f '( x )= x 2 - x + a . ∵ x =2是 f ( x )的极值点,∴ f '(2)=4-2+ a =0,解得 a =-2. ∴ f '( x )= x 2 - x -2=( x +1)( x -2),令 f '( x )=0,解得 x =-1或 x =2. 令 f '( x )>0,解得 x >2或 x <-1,∴ f ( x )在 x ∈(- ∞ ,-1),(2,+ ∞ )上单调递增; 令 f '( x )<0,解得-1< x <2,∴ f ( x )在 x ∈(-1,2)上单调递减. (2) g ( x )= f ( x )-   ax 2 +   =   x 3 -   (1+ a ) x 2 + ax +   , g '( x )= x 2 -(1+ a ) x + a =( x -1)( x - a ). ①当 a ≥ 1时, x ∈(0,1), g '( x )>0恒成立, g ( x )单调递增, 又 g (0)=   >0,因此函数 g ( x )在区间(0,1)内没有零点. ②当0< a <1时, x ∈(0, a ), g '( x )>0, g ( x )单调递增, x ∈( a ,1), g '( x )<0, g ( x )单调递减, 又 g (0)=   >0,因此要使函数 g ( x )在区间(0,1)内有零点, 必有 g (1)<0,∴   -   (1+ a )+ a +   <0,解得 a <-1,舍去. ③当 a ≤ 0时, x ∈(0,1), g '( x )<0, g ( x )单调递减, 又 g (0)=   >0,因此要使函数 g ( x )在区间(0,1)内有零点, 必有 g (1)<0,解得 a <-1,满足条件. 综上, a 的取值范围是(- ∞ ,-1). 方法指导 若遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义及对结果的影响进行分 类讨论,此种题目为含参型,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数 有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想,分类要做到分类标准明 确、不重不漏. 设函数 f ( x )=[ ax 2 -(3 a +1) x +3 a +2]e x . (1)若曲线 y = f ( x )在点(2, f (2))处的切线斜率为0,求 a ; (2)若 f ( x )在 x =1处取得极小值,求 a 的取值范围. 解析 　(1)因为 f ( x )=[ ax 2 -(3 a +1) x +3 a +2]e x , 所以 f '( x )=[ ax 2 -( a +1) x +1]e x . f '(2)=(2 a -1)e 2 . 由题设知 f '(2)=0,即(2 a -1)e 2 =0,解得 a =   . (2)由(1)得 f '( x )=[ ax 2 -( a +1) x +1]e x =( ax -1)( x -1)e x . 若 a >1,则当 x ∈   时, f '( x )<0; 当 x ∈(1,+ ∞ )时, f '( x )>0. 所以 f ( x )在 x =1处取得极小值. 若 a ≤ 1,则当 x ∈(0,1)时, ax -1 ≤ x -1<0,所以 f '( x )>0. 所以1不是 f ( x )的极小值点.综上可知, a 的取值范围是(1,+ ∞ ). 应用四    由位置关系引起的分类讨论 例4 　已知抛物线 C : y 2 =2 px ( p >0)的焦点为 F (1,0), O 为坐标原点, A , B 是抛物线 C 上异于 O 的两点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若直线 OA , OB 的斜率之积为-   ,求证:直线 AB 过定点. 解析 　(1)因为抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的焦点坐标为(1,0),所以   =1,所以 p =2.所以 抛物线 C 的方程为 y 2 =4 x . (2)证明:①当直线 AB 的斜率不存在时,设 A   , B   ,因为直线 OA , OB 的斜 率之积为-   ,所以   ·   =-   , 化简得 t 2 =32. 所以 A (8, t ), B (8,- t ),此时直线 AB 的方程为 x =8. ②当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y = kx + b , A ( x A , y A ), B ( x B , y B ),由   化 简得 ky 2 -4 y +4 b =0,所以 y A y B =   . 因为直线 OA , OB 的斜率之积为-   , 所以   ·   =-   , 即 x A x B +2 y A y B =0,即   ·   +2 y A y B =0,解得 y A y B =0(舍去)或 y A y B =-32. 所以 y A y B =   =-32,即 b =-8 k ,所以 y = kx -8 k ,即 y = k ( x -8). 综上所述,直线 AB 过 x 轴上的定点(8,0). 方法指导 五类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论 (1)二次函数图象对称轴的变化. (2)函数问题中区间的变化. (3)函数图象形状的变化. (4)直线由斜率引起的位置变化. (5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化. 1 .已知变量 x , y 满足的不等式组   表示的是一个直角三角形围成的平 面区域,则实数 k =   (　　) A.-   　    B.   　    C.0　    D.-   或0 D 答案    D 　作出不等式组   表示的平面区域,易知当直线 y = kx +1与直 线 x =0或 y =2 x 垂直时,平面区域是直角三角形区域. ∴ k =0或-   .故选D.   2 .过双曲线 x 2 -   =1的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A , B 两点,若| AB |=4,则这样的 直线 l 有   (　　) A.1条　    B.2条　    C.3条　    D.4条 答案    C 　因为双曲线的两个顶点之间的距离是2,小于4,所以当直线 l 与双曲 线左、右两支各有一个交点时,过双曲线的右焦点一定有两条直线满足要求; 当直线 l 与实轴垂直时,有3-   =1,解得 y =2或 y =-2,此时直线 AB 的长度是4,即只 与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条. 综上可知,有3条直线满足| AB |=4. C