【数学】2020届一轮复习人教A版 空间点线面的位置关系 学案

【数学】2020届一轮复习人教A版 空间点线面的位置关系 学案

空间点线面的位置关系 ‎ 审稿: ‎ ‎【考纲要求】‎ ‎（1）理解空间直线、平面位置关系的定义；‎ ‎（2）了解可以作为推理依据的公理和定理；‎ ‎（3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。‎ ‎【知识网络】‎ 空间点线面位置关系 三个公理、三个推论 平面 平行直线 异面直线 相交直线 公理4及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离 直线在平面内 直线与平面平行 直线与平面相交 空间两条直线 概念 垂直 斜交 空间直线 与平面 空间两个平面 两个平面平行 两个平面相交 三垂线定理 直线与平面所成的角 ‎【考点梳理】‎ 考点一、平面的基本性质 ‎1、平面的基本性质的应用 ‎（1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内；‎ ‎（2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面；‎ ‎（3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。‎ ‎2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。‎ ‎3、公理2的推论：‎ ‎（1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；‎ ‎（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面；‎ ‎（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。‎ ‎4、点共线、线共点、点线共面 ‎（1）点共线问题 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。‎ ‎（2）线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。‎ 要点诠释：证明点线共面的常用方法 ‎①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；‎ ‎②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。‎ 考点二、直线与直线的位置关系 ‎（1）位置关系的分类 ‎（2）异面直线所成的角 ‎①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a’∥a,b’∥b,把a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）‎ ‎②范围：‎ 要点诠释：证明两直线为异面直线的方法：‎ ‎1、定义法（不易操作）‎ ‎2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。‎ ‎3、客观题中，也可用下述结论：‎ 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：‎ 考点三、直线和平面、两个平面的位置关系 ‎1、直线和平面的位置关系 位置关系 直线a 在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 图形表示 ‎2、两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平行 ‎0‎ 两平面相交 斜交 有无数个公共点在一条直线上 垂直 有无数个公共点在一条直线上 考点四、平行公理、等角定理 平行于同一条直线的两条直线互相平行。（但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行，可能相交，也可能异面）‎ 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。‎ 要点诠释：‎ ‎（1）以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力；‎ ‎（2）通过判断位置关系，考查空间想象能力；‎ ‎（3）应用公理、定理证明点共线、线共面等问题；‎ ‎（4）多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、异面直线的判定 例1已知空间四边形ABCD.‎ ‎(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;‎ ‎(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;‎ ‎(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.‎ ‎【证明】(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面，‎ 所以A、B、C、D四点共面 这与空间四边形ABCD的定义矛盾 所以对角线AC与BD是异面直线 ‎ (2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=AC.‎ 同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.‎ 又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.‎ ‎∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.‎ ‎(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.‎ ‎【点评】在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点。问：‎ ‎（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由。‎ ‎【解析】（1）不是异面直线。理由：连接MN、A1C1、AC。∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN// A1C1，又∵A1A CC1，∴A1ACC1为平行四边形。∴A1C1//AC，得到MN//AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线。‎ ‎（2）是异面直线。证明如下：‎ ‎∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面。假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾。∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线 ‎【点评】（1）易证MN//AC，∴AM与CN不异面。（2）由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法。‎ 类型二、平面的基本性质及平行公理的应用 例2.(2015春 九江校级期末)如图，在矩形ABCD(AB

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