2020届二轮复习空间向量在立体几何中的应用教案(全国通用)

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2020届二轮复习空间向量在立体几何中的应用教案(全国通用)

‎2020届二轮复习 空间向量在立体几何中的应用 教案(全国通用)‎ 类型一、空间向量的运算 ‎【例1】已知=(2,2,1),=(4,5,3),求平面ABC的单位法向量。‎ ‎【答案】单位法向量=±(,-,).‎ ‎【解析】设面ABC的法向量,则⊥且⊥,即 ‎,即,解得,‎ 令,则 ‎∴单位法向量=±(,-,).‎ ‎【总结升华】一般情况下求法向量用待定系数法。由于法向量没规定长度,仅规定了方向,所以有一个自由度,可把的某个坐标设为1,再求另两个坐标。平面法向量是垂直于平面的向量,故法向量的相反向量也是法向量,所以本题的单位法向量应有两解。‎ 举一反三:‎ ‎【变式】若=(1,5,-1),=(-2,3,5)‎ ‎(1)若,求实数k的值;‎ ‎(2)若,求实数k的值;‎ ‎(3)若取得最小值,求实数k的值。‎ ‎【答案】‎ ‎(1)‎ ‎,即 由,解得; ‎ ‎(2),‎ ‎,‎ 即,解得;‎ ‎(3) ‎ 当时,取得最小值。‎ 类型二:向量法证明平行或垂直 ‎【例2】如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,, , ,为的中点,为的中点 ‎(Ⅰ)证明:直线;‎ ‎(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小; ‎ ‎(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。‎ ‎【解析】作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系 ‎,‎ ‎(1)‎ 设平面OCD的法向量为,则 即 ‎ 取,解得 ‎(2)设与所成的角为,‎ ‎ , 与所成角的大小为 ‎(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,‎ 由 , 得.‎ 所以点B到平面OCD的距离为 ‎【总结升华】1. 用向量证明线面平行的方法有:‎ ‎(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;‎ ‎(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行;‎ ‎(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.‎ ‎2. 用向量法证垂直问题:‎ ‎(1)证明线线垂直,只需证明两直线的方向向量数量积为0;‎ ‎(2)证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直;‎ ‎(3)证明面面垂直,只需证明两平面的法向量的数量积为0,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直.‎ 举一反三:‎ ‎【变式】ID 401056【高清视频空间向量在立体几何中的应用例题1】‎ 如图,已知直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D、E、F分别为B‎1A、C‎1C、BC的中点.求证:‎ ‎(1)DE∥平面ABC;‎ ‎(2)B‎1F⊥平面AEF.‎ ‎【解析】如图建立空间直角坐标系A-xyz,令AB=AA1=4,‎ 则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).‎ ‎(1)取AB中点为N,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),‎ ‎∴=(-2,4,0),=(-2,4,0),‎ ‎∴=.∴DE∥NC,‎ 又NC在平面ABC内,DE不在平面ABC内,故DE∥平面ABC.‎ ‎(2)=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),‎ =(2,2,0),‎ ·=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,‎ 则⊥,∴B‎1F⊥EF,‎ ‎∵·=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0.‎ ‎∴⊥,即B‎1F⊥AF,‎ 又∵AF∩FE=F,∴B‎1F⊥平面AEF.‎ 类型三:异面直线所成的角 ‎【例3】正方体ABCD-EFGH的棱长为a,点P在AC上,Q在BG上,且AP=BQ=a, 求直线PQ与AD所成的角 ‎【答案】90°‎ ‎【解析】建立空间直角坐标系如图,则,‎ ‎,‎ ‎∴,,‎ ‎∴‎ ‎∴QP与AD所成的角为90°。‎ ‎【总结升华】建立坐标系后,求出 可由求解。‎ 举一反三:‎ ‎【变式】如图,在直四棱柱中,底面是边长为的菱形,侧棱长为 ‎(1)与能否垂直?请证明你的判断;‎ ‎(2)当在上变化时,求异面直线与所成角的取值范围。‎ ‎【答案】∵菱形中,于,设,‎ 分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,‎ 设,则 ‎(1)∵,‎ ‎∴,∴与不能垂直。‎ ‎(2)∵,∴,∵‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎∵,∴设,‎ 又,∴‎ ‎∵,∴‎ ‎∴直线与所成角的取值范围是。‎ 类型四:直线与平面所成的角 ‎【例4】如图,在棱长为1的正方体中,是侧棱上的一点,。试确定,使直线与平面所成角的正切值为;‎ ‎【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).‎ 所以 又由的一个法向量.‎ 设与所成的角为,‎ 则 依题意有,解得.‎ 故当时,直线。‎ 举一反三:‎ ‎【变式】如图,三棱锥P-ABC中,∠ABC=,PA=1,AB=,AC=2,PA⊥面ABC.‎ ‎(1)求直线AB和直线PC所成角的余弦值;‎ ‎(2)求PC和面ABC所成角的正弦值;‎ ‎【答案】 ‎ ‎(1)以A为坐标原点,分别以AB、AP所在直线为y轴、z轴,以过A点且平行于BC直线为x轴建立空间直角坐标系.‎ 在直角△ABC中,∵AB=,AC=2,∴BC=1‎ A(0,0,0),B(0,,0),C(1,,0),P(0,0,1).‎ ‎(0,,0),(1,,),‎ cos<,>===‎ ‎∴直线AB与直线PC所成的角余弦为.‎ ‎(2)取平面ABC的一个法向量=(0,0,1),‎ 设PC和面ABC所成的角为,则 sin=|cos<,>|==.‎ ‎∴PC和面ABC所成的角的正弦值为.‎ 类型五:二面角 ‎【例5】 ID 401056 【高清视频空间向量在立体几何中的应用例题2】如图,在三棱柱ABC-A1B‎1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,AA1=2,C1H⊥平面AA1B1B,且C1H=.‎ ‎(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;‎ ‎(2)求二面角A-A‎1C1-B1的正弦值;‎ ‎(3)设N为棱B‎1C1的中点,点M在平面AA1B1B内,且MN⊥平面A1B‎1C1,求线段BM的长.‎ ‎【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点,依题意得A(2,0,0),B(0,0,0),C(,-,),A1(2,2,0),B1(0,2,0),C1(,,).‎ ‎(1)易得=(-,-,),=(-2,0,0),‎ 于是cos〈,〉===,‎ 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.‎ ‎(2)易知=(0,2,0),=(-,-,).‎ 设平面AA‎1C1的一个法向量m=(x,y,z),则 即不妨令x=,可得m=(,0,).‎ 设平面A1B‎1C1的一个法向量n=(x,y,z),则 即不妨令y=,可得n=(0,,).‎ 则cos〈m,n〉===,从而sin〈m,n〉=,‎ 所以二面角A-A‎1C1-B1的正弦值为.‎ ‎(3)由N为棱B‎1C1的中点,得N(,,).设M(a,b,0),‎ 则=(-a,-b,).因为MN⊥平面A1B‎1C1,‎ 由(2)知平面A1B‎1C1的一个法向量为n=(0,,),所以∥n,‎ 所以-a=0,=,‎ 解得.故M(,,0).因此=(,,0),所以线段BM的长||=.‎ ‎【总结升华】求两异面直线所成的角,用向量法就是求两直线上的两方向向量的夹角,但需注意二者范围的区别.同样地,利用向量法求二面角的大小,就是求两个半平面的法向量的夹角(或夹角的补角),在具体求解中应适当选取或求解直线的方向向量及平面的法向量.在空间直角坐标系中,常采用待定系数法求平面的法向量.‎ 举一反三:‎ ‎【变式】如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF,∠BCF=∠CEF=90°,,EF=2。‎ ‎(Ⅰ)求证:AE∥平面DCF;‎ ‎(Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A—EF—C的大小为60°?‎ ‎【解析】如图,以点为坐标原点,以和分别作为轴,轴和轴,建立空间直角坐标系.‎ D A B E F C y z x 设,‎ 则,,,,.‎ ‎(Ⅰ)证明:,,,‎ 所以,,从而,,‎ 所以平面.‎ 因为平面,所以平面平面.‎ 故平面.‎ ‎(Ⅱ)解:因为,,‎ 所以,,从而 解得.所以,.‎ 设与平面垂直,‎ 则,,解得.‎ 又因为平面,,‎ 所以,得到.‎ 所以当为时,二面角的大小为.‎ 类型六:空间距离 ‎【例5】如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2.求点A到平面MBC的距离.‎ ‎【解析】‎ 取CD中点O,连接OB,OM,‎ 则OB⊥CD,OM⊥CD.‎ 又平面MCD⊥平面BCD,‎ 所以MO⊥平面BCD.‎ 取O为原点,直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图.OB=OM=,则各点坐标分别为C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2).‎ ‎(1)设是平面MBC的法向量,则 =(1,,0),=(0,,).‎ 由⊥得·=0即x+y=0;‎ 由⊥得·=0即y+z=0.‎ 取=(,-1,1),=(0,0,2),‎ 则d===.‎ 故点A到平面MBC的距离为.‎ 法二:(1)取CD中点O,连OB,OM,‎ 则OB=OM=,OB⊥CD,MO⊥CD,‎ 又平面MCD⊥平面BCD,‎ 则MO⊥平面BCD,‎ 所以MO∥AB,所以MO∥平面ABC,‎ 故M,O到平面ABC的距离相等.‎ 作OH⊥BC于H,连MH,则MH⊥BC.‎ 求得OH=OC·sin60°=,‎ MH= ‎=.‎ 设点A到平面MBC的距离为d,‎ 由VA-MBC=VM-ABC得 ·S△MBC·d=·S△ABC·OH.‎ 即××2×d=××2×2×,‎ 解得d=.‎ ‎【总结升华】利用向量法求点到平面的距离的步骤如下:(1)求出该平面的一个法向量;(2)找出以该点及平面内的某点为端点的线段对应的向量;(3)利用公式d=求距离.‎ 举一反三:‎ ‎【变式】如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,,,求点E到平面ACD的距离。‎ ‎【答案】以O为原点,如图建立空间直角坐标系,‎ 则 设平面ACD的法向量为则 ‎,令得是平面ACD的一个法向量。‎ 又 点E到平面ACD的距离 类型七、利用空间向量解决立体几何中的探索问题 ‎【例6】在四棱锥中,//,,,平面,. (Ⅰ)设平面平面,求证://; (Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)设点为线段上一点,且直线 与平面所成角的正弦值为,求的值.‎ ‎【证明】(Ⅰ) 因为//,平面,平面,‎ 所以//平面. ‎ 因为平面,平面平面,‎ 所以//. ‎ ‎(Ⅱ):因为平面,,所以以为坐标原点,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,‎ 则,,,. ‎ 所以 ,,‎ ‎,‎ 所以,‎ ‎.‎ 所以 ,. ‎ 因为 ,平面,‎ 平面,‎ 所以 平面. ‎ ‎(Ⅲ)解:设(其中),,直线与平面所成角为.‎ 所以 .‎ 所以 .‎ 所以 即. ‎ 所以 . ‎ 由(Ⅱ)知平面的一个法向量为. ‎ 因为 ,‎ 所以 .‎ 解得 .‎ 所以 . ‎ ‎【总结升华】空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断。在解题过程上中,往往把“是否存在”问题,转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围的解”等,所以使问题的解决更简单、有效,在立体几何二轮复习中,我们要善于运用这一方法。‎ 举一反三:‎ ‎【变式】‎ 在如图所示的几何体中,四边形为平行四边形,, 平面,,,,,且是的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的大小;(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使得与所成的角为?若存在,求出的长度;若不存在,请说明理由.‎ C A F E B M D ‎【解析】(Ⅰ)取的中点,连接.‎ N C A F E B M D 在△中,是的中点,是的中点,所以,‎ ‎ 又因为,‎ ‎ 所以且.‎ 所以四边形为平行四边形,‎ 所以.‎ 又因为平面,平面,‎ ‎ 故平面. ‎ 解法二:因为平面,,故以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系. ……1分 ‎ 由已知可得 ‎ z C A F E B M D x y ‎(Ⅰ), . ‎ 设平面的一个法向量是.‎ ‎ 由得 ‎ 令,则. ‎ 又因为,‎ ‎ 所以,又平面,所以平面. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面的一个法向量是.‎ ‎ 因为平面,所以.‎ ‎ 又因为,所以平面.‎ ‎ 故是平面的一个法向量.‎ ‎ 所以,又二面角为锐角,‎ ‎ 故二面角的大小为. ‎ ‎ (Ⅲ)假设在线段上存在一点,使得与所成的角为.‎ ‎ 不妨设(),则.‎ ‎ 所以,‎ ‎ 由题意得,‎ ‎ 化简得, ‎ ‎ 解得. ‎ ‎ 所以在线段上不存在点,使得与所成的角为. ‎
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