【数学】2019届一轮复习人教A版函数模型及其应用学案
第九节 函数模型及其应用
1．几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模
型
f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
反比例函数
模型
f(x)＝k
x＋b(k，b 为常数且 k≠0)
二次函数模
型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数函数模
型
f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
对数函数模
型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
2．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变
化
随 x 的增大，逐
渐表现为与 y 轴平行
随 x 的增大，逐
渐表现为与 x 轴平行
随 n 值变化而
各有不同
值的比较 存在一个 x0，当 x>x0 时，有 logax
4，代入 B 选项，得 y＝
x2－1≈3，代入 D 选项，得 y＝x3>8；取 x＝3，代入 A 选项，得 y＝2x＋1－1＝15，代入 B 选
项，得 y＝x2－1＝8，代入 D 选项，得 y＝x3＝27，故选 B.
3.某种商品进价为 4 元/件，当日均零售价为 6 元/件，日均销售 100 件，当单价每增
加 1 元，日均销量减少 10 件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为 20 元，则
预计单价为多少时，利润最大( )
A．8 元/件 B．10 元/件
C．12 元/件 D．14 元/件
解析：选 B 设单价为 6＋x，日均销售量为 100－10x，则日利润 y＝(6＋x－4)(100－10x)
－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0＜x＜10)．∴当 x＝4 时，ymax＝340.即单价为
10 元/件，利润最大，故选 B.
4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙
三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油
D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
解析：选 D 根据图象知消耗 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米，故选项 A 错；
以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最
少，故选项 B 错；甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升，行驶 1 小时，
里程为 80 千米，消耗 8 升汽油，故选项 C 错；最高限速 80 千米/小时，丙车的燃油效率比
乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项 D 对．
5.(2018·德阳一诊)某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量
p(单位：毫克/升)不断减少，已知 p 与时间 t(单位：小时)满足 p(t)＝p02－ t
30，其中 p0 为 t＝
0 时的污染物数量．又测得当 t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则 p(60)＝( )
A．150 毫克/升 B．300 毫克/升
C．150ln 2 毫克/升 D．300ln 2 毫克/升
解析：选 C 因为当 t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝
1
2p0－p0
30－0 ，所以 p0＝600ln 2，因为 p(t)＝p02－ t
30，所以 p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/
升)．
6．(2018·西安八校联考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面
积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为________m.
解析：设矩形花园的宽为 y m，则x
40＝40－y
40 ，即 y＝40－x，矩形花园
的面积 S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当 x＝20 m 时，面积最大．
答案：20
7．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额 x 为 8 万元时，
奖励 1 万元．销售额 x 为 64 万元时，奖励 4 万元．若公司拟定的奖励模型为 y＝alog4x＋b.
某业务员要得到 8 万元奖励，则他的销售额应为______万元．
解析：依题意得Error!
即Error!解得 a＝2，b＝－2.
∴y＝2log4x－2，当 y＝8 时，即 2log4x－2＝8.
解得 x＝1 024(万元)．
答案：1 024
8．某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律为 y＝ekt(其中 k 为常
数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则经过 5 小时，1 个病毒能繁殖为______
个．
解析：当 t＝0.5 时，y＝2，所以 2＝e1
2k，
所以 k＝2ln 2，所以 y＝e2tln 2，
当 t＝5 时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
答案：1 024
9．根据市场调查，某商品在最近 40 天内的价格 P 与时间 t 的关系用图 1 中的一条折线
表示，销量 Q 与时间 t 的关系用图 2 中的线段表示(t∈N*)．
(1)分别写出图 1 表示的价格与时间的函数关系 P＝f(t)，图 2 表示的销售量与时间的函
数关系 Q＝g(t)(不要求计算过程)；
(2)求这种商品的销售额 S(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间．
解：(1)P＝f(t)＝Error!
Q＝g(t)＝－t
3＋43
3 ，t∈[1,40]，t∈N*.
(2)当 1≤t＜20 时，
S＝(
t
2＋11)(－t
3＋43
3 )＝－1
6(t－21
2 )2＋4 225
24 .
因为 t∈N*，所以 t＝10 或 11 时，Smax＝176.
当 20≤t≤40 时，S＝(－t＋41)(－t
3＋43
3 )＝1
3t2－28t＋1 763
3 为减函数；当 t＝20 时，Smax
＝161.
而 161＜176，所以当 t＝10 或 11 时，Smax＝176.
故当 t＝10 或 11 时，这种商品的销售额 S 最大，为 176.
10．某厂为巴西奥运会生产某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另
投入成本为 C(x)(万元)．当年产量不足 80 千件时，C(x)＝1
3x2＋10x；当年产量不小于 80 千
件时，C(x)＝51x＋10 000
x －1 450.每件商品售价为 0.05 万元，通过市场分析，该厂生产的商
品能全部售完．
(1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解：(1)由题意可得，当 0＜x＜80 时，L(x)＝0.05×1 000x－(
1
3x2＋10x＋250)，当 x≥80
时，L(x)＝0.05×1 000x－(51x＋10 000
x －1 450＋250)，
即 L(x)＝Error!
(2)当 0＜x＜80 时，L(x)＝－1
3(x－60)2＋950，
∴当 x＝60 时，L(x)取得最大值，为 950.
当 x≥80 时，L(x)＝1 200－(x＋10 000
x )≤1 200－2 x·10 000
x ＝1 200－200＝1 000，∴
当且仅当 x＝10 000
x ，即 x＝100 时，L(x)取得最大值，为 1 000.
综上所述，当 x＝100 时，L(x)取得最大值 1 000，即年产量为 100 千件时，该厂在这一
商品的生产中所获利润最大．
B 级——拔高题目稳做准做
1.如图，矩形 ABCD 的周长为 8，设 AB＝x(1≤x≤3)，线段 MN
的两端点在矩形的边上滑动，且 MN＝1，当 N 沿 A→D→C→B→A 在矩形的边上滑动一周
时，线段 MN 的中点 P 所形成的轨迹为 G，记 G 围成的区域的面积为 y，则函数 y＝f(x)的
图象大致为( )
解析：选D 由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角
均是半径为1
2的扇形．
因为矩形 ABCD 的周长为 8，AB＝x，则 AD＝8－2x
2 ＝4－x，
所以 y＝x(4－x)－π
4＝－(x－2)2＋4－π
4(1≤x≤3)，
显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，
且当 x＝2 时，y＝4－π
4∈(3,4)，故选 D.
2．我们定义函数 y＝[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)为“下整函数”；定义 y＝{x}({x}
表示不小于 x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停
车场收费标准为每小时 2 元，即不超过 1 小时(包括 1 小时)收费 2 元，超过一小时，不超过
2 小时(包括 2 小时)收费 4 元，以此类推．若李刚停车时间为 x 小时，则李刚应付费为(单位：
元)( )
A．2[x＋1] B．2([x]＋1)
C．2{x} D．{2x}
解析：选 C 如 x＝1 时，应付费 2 元，
此时 2[x＋1]＝4,2([x]＋1)＝4，排除 A、B；
当 x＝0.5 时，付费为 2 元，此时{2x}＝1，排除 D，
故选 C.
3．某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本 Q(单位：
元/100 kg)与上市时间 t(单位：天)的数据如下表：
时间 t
6
0
1
00
1
80
种植成
本 Q
1
16
8
4
1
16
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变
化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求得：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
(2)最低种植成本是________(元/100 kg)．
解析：根据表中数据可知函数不单调，所以 Q＝at2＋bt＋c，且开口向上，对称轴 t＝－
b
2a＝60＋180
2 ＝120，
代入数据Error!解得Error!
所以西红柿种植成本最低时的上市天数是 120，
最低种植成本是 14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.
答案：(1)120 (2)80
4.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品还需要增
加投资 1 万元，年产量为 x(x∈N*)件．当 x≤20 时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当 x＞
20 时，年销售总收入为 260 万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元，
则 y(万元)与 x(件)的函数关系式为__________________，该工厂的年产量为________件时，
所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
解析：当 x≤20 时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当 x＞20 时，y＝260－100
－x＝160－x.
故 y＝Error!(x∈N*)．
当 0＜x≤20 时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，当 x＝16 时，ymax＝156.
当 x＞20 时，160－x＜140，
故 x＝16 时取得最大年利润．
答案：y＝Error!(x∈N*) 16
5.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价
定为 x 元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格
改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为 30 元，浮
动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为 10.假设不计其他成本，即销售
每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：
(1)每套丛书售价定为 100 元时，书商所获得的总利润是多少万元？
(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？
解：(1)每套丛书售价定为 100 元时，销售量为 15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书
的供货价格为 30＋10
5 ＝32(元)，故书商所获得的总利润为 5×(100－32)＝340(万元)．
(2)每套丛书售价定为 x 元时，由Error!得 0＜x＜150.
设单套丛书的利润为 P 元，
则 P＝x－(30＋ 10
15－0.1x)＝x－ 100
150－x－30，
因为 0＜x＜150，所以 150－x＞0，
所以 P＝－[(150－x)＋ 100
150－x]＋120，
又(150－x)＋ 100
150－x≥2 (150－x)· 100
150－x＝2×10＝20，
当且仅当 150－x＝ 100
150－x，即 x＝140 时等号成立，
所以 Pmax＝－20＋120＝100.
故每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，为 100 元．
6.(2018·山东德州期中)某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中
投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为 m 的药剂后，经过 x 天该药剂在水中释放的
浓度 y(毫克/升)满足 y＝mf(x)，其中 f(x)＝Error!当药剂在水中的浓度不低于 5(毫克/升)时
称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于 5(毫克/升)且不高于 10(毫克/升)时称为最佳净
化．
(1)如果投放的药剂的质量为 m＝5，试问自来水达到有效净化总共可持续几天？
(2)如果投放的药剂质量为 m，为了使在 9 天(从投放药剂算起包括 9 天)之内的自来水达
到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量 m 的最小值．
解：(1)当 m＝5 时，y＝Error!当 010，显然符合题意；当 x>5 时，由
5x＋95
2x－2 ≥5，解得 55 时，y′＝
－40m
(2x－2)2<0，
所以函数 y＝m(x＋19)
2x－2 在(5,9]上单调递减，
所以7m
4 ≤y<3m.综上可知7m
4 ≤y≤3m.
为使 5≤y≤10 恒成立，只要Error!
解得20
7 ≤m≤10
3 ，
所以应该投放的药剂质量 m 的最小值为20
7 .
